4.3角4.3.3余角和补角人教版数学七年级上册 如图坝底是由石块堆积而成，要测出∠1的度数，你有什么简单的方法吗？要解决这问题，我们先来学习余角和补角.导入新知 2.了解方位角的概念，并能用方位角知识解决一些简单的实际问题.1.了解余角、补角的概念，掌握余角和补角的性质，并能利用余角、补角的知识解决相关问题.素养目标 1如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角(简称为两个角互余).如图，可以说∠1是∠2的余角，或∠2是∠1的余角，或∠1和∠2互余.2余角和补角的概念知识点1探究新知 图中给出的各角，哪些互为余角？15o24o66o75o46.2o43.8o探究新知 如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角(简称为两个角互补).如图，可以说∠3是∠4的补角，或∠4是∠3的补角，或∠3和∠4互补.43探究新知 图中给出的各角，哪些互为补角？10o30o60o80o100o120o150o170o探究新知 例1若一个角的补角等于它的余角的4倍，求这个角的度数.解：设这个角为x°，则它的补角是(180–x)°，余角是(90–x)°.根据题意，得180–x=4(90–x).解得x=60.答：这个角的度数是60°.素养考点1利用余角、补角的概念求角的度数探究新知 已知∠A与∠B互余，且∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，求∠B的度数.解：设∠B的度数为x°，则∠A的度数为(3x+30)°.根据题意得：x+(3x+30)=90.解得x=15.故∠B的度数为15°.巩固练习 例2如图，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，若∠MON=40°，试求∠AOC与∠AOB的度数．ODABCNM素养考点2余角、补角、角平分线相结合的题目探究新知 所以解得x=50°，则180°–x=130°.即∠AOB=50°，∠AOC=130°.探究新知所以∠AOM=，∠AON=.解：设∠AOB=x，因为∠AOC与∠AOB互补，则∠AOC=180°–x．因为OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，ODABCNM 如图，AB是一条直线，OC是一条射线，∠AOC＝2∠AOF，∠BOC＝2∠BOE.(1)∠1与∠2互余吗？巩固练习解：互余.因为∠AOC＝2∠AOF，∠BOC＝2∠BOE,所以∠AOF=∠FOC=∠AOC,∠BOE=∠COE=∠BOC.所以∠1+∠2=(∠AOC+∠BOC）=180°=90°.所以∠1与∠2互余. (2)指出图中所有互余和互补的角．解：互余的角：∠1与∠2；∠1与∠BOE；∠2与∠AOF；∠BOE与∠AOF.互补的角：∠BOE与∠AOE；∠2与∠AOE；∠AOF与∠BOF；∠1与∠BOF；∠AOC与∠BOC.巩固练习 ∠α∠α的余角∠α的补角5°32°45°77°62°23′x°(0＜x＜90)27°37′117°37′85°175°58°148°45°135°103°13°(90–x)°(180–x)°观察可得结论：锐角的补角比它的余角大_____.90°想一想探究新知 ∠1与∠2，∠3都互为补角，∠2与∠3的大小有什么关系？思考：12同角(等角)的补角相等.结论：3∠2=180°–∠1∠3=180°–∠1同角(等角)的余角相等.类似地，可以得到：=余角和补角的性质知识点2探究新知 例如图，点A，O，B在同一直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，图中哪些角互为余角？解：因为点A，O，B在同一直线上，所以∠AOC和∠BOC互为补角.OABCDE又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，所以∠COD+∠COE=∠AOC+∠BOC=(∠AOC+∠BOC)=90°.素养考点余角和补角的识别探究新知所以∠COD和∠COE互为余角，同理∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE也互为余角. 如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．（1）∠AOD的余角是_______________，∠COD的余角是_________________;（2）OE是∠BOC的平分线吗？请说明理由．∠COE、∠BOEOABCDE∠COE、∠BOE解：OE平分∠BOC，理由如下：因为∠DOE=90°，所以∠AOD+∠BOE=90°，所以∠COD+∠COE=90°，所以∠AOD+∠BOE=∠COD+∠COE，因为OD平分∠AOC,所以∠AOD=∠COD，所以∠COE=∠BOE，所以OE平分∠BOC．巩固练习 如图,已知∠AOB=90°，∠AOC=∠BOD，则与∠AOC互余的角有__________________.∠BOC和∠AODOABCD巩固练习 方位角知识点3探究新知东西北南O正东：正南：正西：正北：西北方向：西南方向：东北方向：东南方向：射线OAABCD45°EGFH45°45°45°射线OB射线OC射线OD射线OE射线OF射线OH射线OG八大方位 45°如图，说出下列方位.(1)射线OA表示的方向为_________.(2)射线OB表示的方向为_________.(3)射线OC表示的方向为_______________.(4)射线OD表示的方向为_________.北东西南CABD北偏东40°北偏西65°南偏西45°(西南)南偏东20°40°65°70°O20°探究新知说一说 例如图,货轮O在航行过程中,发现灯塔A在它南偏东60°的方向上.同时,在它北偏东40°,南偏西10°,西北(即北偏西45°)方向上又分别发现了客轮B，货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法画出表示客轮B，货轮C和海岛D方向的射线.东南西北60°●B40°10°45°C●●A●DO●素养考点利用方位角解答实际问题探究新知 费俊龙、聂海胜乘坐“神舟”六号遨游太空时，我国当时派出远望一号~四号船队，跟踪检测.其中远望一、二号停在太平洋洋面上，某一时刻，分别测得神舟六号在北偏东60°和北偏东30°的方向，你能在下图中画出当时神舟六号所处的位置吗？●●远望一号远望二号巩固练习 ●●远望一号远望二号60°30°●巩固练习 1.若一个角为65°，则它的补角的度数为（）A．25°B．35°C．115°D．125°C2.如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为（　　）A．北偏东30°B．北偏东80°C．北偏西30°D．北偏西50°解析：如图，因为∠2=∠1=50°．∠3=∠4–∠2=80°–50°=30°，此时的航行方向为北偏东30°.A连接中考 1.一个角的余角是它的2倍，这个角的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°A2.下列说法正确的是（）A．一个角的补角一定大于它本身B．一个角的余角一定小于它本身C．一个钝角减去一个锐角的差一定是一个锐角D．一个角的余角一定小于其补角D课堂检测基础巩固题 3.如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列方式中∠α与∠β互余的是（　　）A．图①B．图②C．图③D．图④4.∠α=35°，则∠α的补角为______度．145A课堂检测 5.如图，已知∠ACB=∠CDB=90°.(1)图中有哪几对互余的角？(2)图中哪几对角是相等的角(直角除外)？为什么？答案：∠A+∠B=90°，∠A+∠2=90°，∠1+∠B=90°，∠1+∠2=90°.答案：∠B=∠2,∠A=∠1.(同角的余角相等)(同角的余角相等)ACD12B课堂检测 一个角的补角是它的3倍,这个角是多少度?解:180–x=3x解得:x=45答:这个角是45°.则它的补角为(180°–x°),得:设这个角为x°,课堂检测能力提升题 60°30°垃圾打捞船A和B都停驻在湖边观测湖面，从A船发现它的北偏东60°方向有白色漂浮物，同时，从B船也发现该白色漂浮物在它的北偏西30°方向.(1)试在图中确定白色漂浮物C的位置；AB北北C课堂检测拓广探索题 60°北A.南偏东30°B.南偏西30°C.南偏东60°D.南偏西60°(2)点C在点A的北偏东60°的方向上，那么点A在点C的______方向上.60°30°AB北北CD课堂检测 互余互补两角间的数量关系对应图形性质同角或等角的补角相等同角或等角的余角相等课堂小结∠1+∠2=90°∠1+∠2=180°∠1=90°-∠2∠1=180°-∠2 方位角物体运动的方向与正北、正南方向之间的夹角称为方位角，一般以正北、正南为基准，用向东或向西旋转的角度表示方向.定义书写通常要先写北或南，再写偏东或偏西课堂小结 课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习