11.2与三角形有关的角11.2.1三角形的内角(第1课时)人教版数学八年级上册 我的形状最小，那我的内角和最小.我的形状最大，那我的内角和最大.不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的.一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧.导入新知 2.会运用三角形内角和定理进行计算.1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°.素养目标 我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°.与三角形的形状、大小无关.【思考】你有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢?折叠还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？探究新知知识点三角形的内角和 剪拼ABC21探究新知 测量480720600600＋480＋720＝1800探究新知锐角三角形 三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？三角形的内角和定理的证明在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.探究新知还有其他的拼接方法吗？ 三角形三个内角的和等于180°.求证：∠A+∠B+∠C=180°.已知：△ABC.证法1：过点A作l∥BC，∴∠B=∠1.(两直线平行，内错角相等)∠C=∠2.(两直线平行，内错角相等)∵∠2+∠1+∠BAC=180°，∴∠B+∠C+∠BAC=180°.12探究新知 证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA，∴∠A=∠1.(两直线平行，内错角相等)∠B=∠2.(两直线平行，同位角相等)又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，∴∠A+∠B+∠ACB=180°.CBAED12探究新知 CBAEDF证法3：过D作DE∥AC，作DF∥AB.∴∠C=∠EDB，∠B=∠FDC.(两直线平行，同位角相等)∠A+∠AED=180°，∠AED+∠EDF=180°，(两直线平行，同旁内角相补)∴∠A=∠EDF.∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，∴∠A+∠B+∠C=180°.探究新知同学们还有其他的方法吗？ 【思考】多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.探究新知12CBAED12CBAEDF C24AB3EQDFPGH1BGC24A3EDFH1同学们按照上图中的辅助线，给出证明步骤.探究新知试一试 为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.思路总结为了证明三个角的和为180°，通过作平行线，利用平行线的性质，把所证问题转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.作辅助线探究新知 例1如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.ABCD解：由∠BAC=40°，AD是△ABC的角平分线，得∠BAD=∠BAC=20°.在△ABD中，∠ADB=180°–∠B–∠BAD=180°–75°–20°=85°.利用三角形的内角和定理求角的度数素养考点1探究新知 如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数．解：∵∠A＝50°，∠B＝70°，∴∠ACB＝180°–∠A–∠B＝60°.∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD＝∠ACB＝30°.∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠BCD＝30°，在△BDC中，∠BDC＝180°–∠B–∠BCD=80°.变式题探究新知 如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中∠A=150°，∠B=∠D=40°.求∠C的度数.解：∠C＝180°×2–(40°＋40°＋150°)＝130°.在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝80°，则∠A的度数为()A．30°B．40°C．50°D．60°D巩固练习 如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，则∠ADE的大小是()A．45°B．54°C．40°D．50°C巩固练习 例2如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，∴∠AFE＝180°–∠FEA–∠A＝60°.又∵∠CFD＝∠AFE，∴∠CFD＝60°.∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，∠D＝180°–∠CFD–∠FCD＝40°.探究新知 直线l1∥l2，一块含45°角的直角三角尺如图放置，∠1＝85°，则∠2＝________．40°巩固练习l1l2 基本图形由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D.由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4.归纳总结探究新知34 例3在△ABC中，∠A的度数是∠B的度数的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.解:设∠B度数为x，则∠A度数为3x，∠C度数为(x＋15)，从而有3x＋x＋(x＋15)＝180.解得x＝33.所以3x＝99，x＋15＝48.答：∠A，∠B，∠C的度数分别为99°，33°，48°.素养考点2方程的思想与三角形内角和定理的综合应用探究新知方法点拨：三角形中求角的度数问题，当角之间存在数量关系时，一般根据三角形内角和为180°，列方程求解. 在△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的平分线，求∠DCE的度数．分析：根据已知条件用∠A表示出∠B和∠ACB，利用三角形的内角和求出∠A，再求出∠ACB，∠ACD，最后根据角平分线的定义求出∠ACE即可求得∠DCE的度数．比例关系可考虑用方程思想求角度.变式题探究新知 解：∵∠A＝∠B＝∠ACB，设∠A＝x，∴∠B＝2x，∠ACB＝3x.∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，∴x＋2x＋3x＝180°，得x＝30°，∴∠A＝30°，∠ACB＝90°.∵CD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝180°–90°–30°＝60°.∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ACE＝×90°＝45°，∴∠DCE＝∠ACD–∠ACE＝60°–45°＝15°.探究新知 ②在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是_________三角形.①在△ABC中，∠A=35°，∠B=43°，则∠C=.③在△ABC中，∠A=∠B+10°，∠C=∠A+10°，则∠A=，∠B=，∠C=.102°直角60°50°70°巩固练习完成下列各题.解析：设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，由三角形的内角和定理得：x+2x+3x=180°，解得x=30°，3x=90°. 北.AD北.CB.东E例4如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？利用三角形的内角和定理解决实际问题(方位问题）素养考点3探究新知 解：∠CAB=∠BAD–∠CAD=80°–50°=30°.由AD//BE，得∠BAD+∠ABE=180°.所以∠ABE=180°–∠BAD=180°–80°=100°，∠ABC=∠ABE–∠EBC=100°–40°=60°.在△ABC中，∠ACB=180°–∠ABC–∠CAB=180°–60°–30°=90°，答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°.北.AD北.CB.东E探究新知 如图，一艘渔船在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，另一艘货轮在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向，那么在灯塔A处观看B和C处时的视角∠BAC是多少度？巩固练习 解：∵在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，∴∠ABD＝60°.又∵∠DBE＝90°，∴∠ABE＝90°–∠ABD＝90°–60°＝30°.∵在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向，∴∠ACE＝90°–40°＝50°.∴∠BAC＝∠ACE–∠ABE＝50°–30°＝20°.即在灯塔A处观看B和C处时的视角∠BAC是20°.巩固练习 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（）A．44°B．40°C．39°D．38°解析：∵∠A=54°，∠B=48°，∴∠ACB=180°–54°–48°=78°，∵CD平分∠ACB交AB于点D，∴∠DCB=78°=39°，∵DE∥BC，∴∠CDE=∠DCB=39°．C连接中考 1.求出下列各图中的x值．x=70x=60x=30x=50课堂检测基础巩固题 3.如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=___________.BACD4132E40°（280°2.在△ABC中，若∠A=30°，∠B=50°，则∠C=．100°课堂检测 1.如图，四边形ABCD中，点E在BC上，∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数．解：∵∠A+∠ADE=180°，∴AB∥DE，∴∠CED=∠B=78°．又∵∠C=60°，∴∠EDC=180°–（∠CED+∠C）=180°–（78°+60°）=42°．能力提升题课堂检测 2.如图，在△ABC中，∠B=42°，∠C=78°，AD平分∠BAC．求∠ADC的度数.解：∵∠B=42°，∠C=78°，∴∠BAC=180°–∠B–∠C=60°.∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAC=30°，∴∠ADC=180°–∠B–∠CAD=72°.课堂检测 如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，若∠BAC=60°，求∠BPC的度数．解：∵△ABC中，∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°．∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）=60°．∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，∴∠BPC=180°–60°=120°．拓广探索题课堂检测 【思考】你能直接写出∠BPC与∠A之间的数量关系吗？解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）．∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，∴∠BPC=180°–（∠ABC+∠ACB）=180°–（180°–∠A）=90°+∠A．课堂检测 求角度证法应用转化为一个平角或同旁内角互补辅助线三角形的内角和等于180°作平行线转化思想课堂小结 课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习