11.3多边形及其内角和11.3.2多边形的内角和人教版数学八年级上册 【思考】你知道正六边形的内角和是多少吗？导入新知 1.能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式.2.能运用多边形的内角和公式与外角和公式解决问题.素养目标 你知道长方形和正方形的内角和是多少度？三角形内角和是多少度？三角形内角和是180°.都是360°.猜想任意四边形的内角和是多少度？多边形的内角和探究新知知识点1问题1：问题2：问题3： 猜想：四边形ABCD的内角和是360°.你能用以前学过的知识说明一下你的结论吗？解法一：如图，连接AC，所以四边形被分为两个三角形，所以四边形ABCD内角和为180°×2=360°.ABCD探究新知猜想与证明问题4： 解法二：如图，在BC边上任取一点E，连接AE，DE，所以该四边形被分成三个三角形，所以四边形ABCD的内角和为180°×3–(∠AEB+∠AED+∠CED)=180°×3–180°=360°.ABCDE探究新知 解法三：如图，在四边形ABCD内部取一点E，连接AE，BE，CE，DE，把四边形分成四个三角形：△ABE，△ADE，△CDE，△CBE.所以四边形ABCD内角和为：180°×4–(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB)=180°×4–360°=360°.ABCDE探究新知 ABCDP解法四：如图，在四边形外任取一点P，连接PA、PB、PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形.所以四边形ABCD内角和为180°×3–180°=360°.这四种方法都运用了转化思想，把四边形分割成三角形，转化到已经学了的三角形内角和求解.结论：四边形的内角和为360°.探究新知 例1如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由.解：如图，四边形ABCD中，∠A+∠C=180°.∠A+∠B+∠C+∠D=(4–2)×180°=360°，因为∠B＋∠D=360°–（∠A＋∠C）=360°–180°=180°.所以ABCD如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补.素养考点1运用四边形内角和定理进行证明或计算探究新知 如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．巩固练习解：连接BE.∵∠DOB＝∠C＋∠D，∠DOB＝∠CBE＋∠DEB，∴∠C＋∠D＝∠CBE＋∠DEB，∴∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＝∠A＋∠ABC＋∠CBE＋∠DEB＋∠DEF＋∠F＝∠A＋∠ABE＋∠BEF＋∠F.∵在四边形ABEF中，∠A＋∠ABE＋∠BEF＋∠F＝(4–2)×180°＝360°，∴∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＝360°. ACDEBABCDEF你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方法求五边形和六边形内角和吗?内角和为180°×3=540°.内角和为180°×4=720°.探究新知问题5： n边形六边形五边形四边形三角形多边形内角和分割出三角形的个数从多边形的一顶点引出的对角线条数图形边数······0n–31231234n–2（n–2）·180º1×180º=180º2×180º=360º3×180º=540º4×180º=720º························由特殊到一般探究新知 分割多边形三角形分割点与多边形的位置关系顶点边上内部外部转化思想多边形的内角和公式n边形内角和等于(n–2)×180°.注意：①n边形的内角和随边数的增加而增加，每增加一条边其内角和增加180°.②多边形的内角和是180°的整倍数.探究新知归纳总结 例2一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？解：设这个多边形边数为n，则（n–2）•180=360+720，解得n=8，∵这个多边形的每个内角都相等，（8–2）×180°=1080°，∴它每一个内角的度数为1080°÷8=135°．素养考点2利用多边形内角和公式求角度或边数探究新知 根据多边形的内角和完成下列题目.(1)一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是()A．4条B．5条C．6条D．7条(2)若一个多边形的边数为8条，则这个多边形的内角和是()A．900°B．540°C．1080°D．360°(3)若一个多边形增加一条边，那么它的内角和()A．增加180°B．增加360°C．减少360°D．不变CCA巩固练习 例3已知n边形的内角和θ=（n–2）×180°．（1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°．甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n．若不对，说明理由；解：∵360°÷180°=2，630°÷180°=3......90°，∴甲的说法对，乙的说法不对，360°÷180°+2=4．故甲同学说的边数n是4；探究新知 （2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x．解：依题意有（n+x–2）×180°–（n–2）×180°=360°，解得x=2．故x的值是2．探究新知 如图，在五边形ABCDE中，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，AP平分∠EAB，BP平分∠ABC，求∠P的度数．分析：根据五边形的内角和等于540°，由∠C，∠D，∠E的度数可求∠EAB+∠ABC的度数，再根据角平分线的定义可得∠PAB与∠PBA的角度和，进一步求得∠P的度数．巩固练习 解：∵∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E=540°，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，∴∠EAB+∠ABC=540°–∠C–∠D–∠E=230°.∵AP平分∠EAB，∴∠PAB＝∠EAB，同理可得∠ABP＝∠ABC，∵∠P+∠PAB+∠PBA=180°，∴∠P=180°–∠PAB–∠PBA=180°−(∠EAB+∠ABC)=180°−×230°=65°．巩固练习 241324132413241324132413241324132413241324132413用形状、大小完全相同的任意四边形可拼成一块无空隙的地板，你知道这是为什么吗？探究新知 多边形的外角和如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和．任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？EBCD12345A互补5×180°=900°知识点2探究新知 EBCD12345A五边形外角和=360°=5个平角–五边形内角和=5×180°–(5–2)×180°结论：五边形的外角和等于360°.这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？探究新知 在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和．n边形外角和n边形的外角和等于360°.–(n–2)×180°=360°=n个平角–n边形内角和=n×180°AnA2A3A41234nA1【思考】n边形的外角和又是多少呢？与边数无关探究新知 回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？每个内角的度数是每个外角的度数是练一练：(1)若一个正多边形的内角是120°，那么这是正____边形.(2)已知多边形的每个外角都是45°，则这个多边形是______边形.六正八探究新知 例1已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求这个多边形的边数.解：设多边形的边数为n.∵它的内角和等于(n–2)•180°，多边形外角和等于360°，∴(n–2)•180°=2×360º.解得n=6.∴这个多边形的边数为6.素养考点3多边形的内角和公式和外角和公式的综合应用探究新知 例2已知一个多边形的每个内角与外角的比都是7:2，求这个多边形的边数.解法一：设这个多边形的内角为7x°，外角为2x°，根据题意得7x+2x=180，解得x=20.即每个内角是140°，每个外角是40°.360°÷40°=9.答：这个多边形是九边形.还有其他解法吗？探究新知 解法二：设这个多边形的边数为n，根据题意得解得n=9.答：这个多边形是九边形.探究新知 如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，求∠BED的度数．解：由题意得AB=AE，所以∠AEB=(180°–∠A)=36°，所以∠BED=∠AED–∠AEB=108°–36°=72°.巩固练习 1.已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为（　　）A．6B．7C．8D．9解析：正多边形的一个外角等于40°，且外角和为360°，则这个正多边形的边数是：360°÷40°=9．D连接中考 2.若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是_____．解析：设多边形的边数为n，根据题意，得（n–2）•180=3×360，解得n=8．则这个多边形的边数是8．8连接中考 1.判断．(1)当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加.（）(2)当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加.（）(3)三角形的外角和与八边形的外角和相等.（）2.一个多边形的每一个外角都是36°，则这个多边形的边数是．基础巩固题10课堂检测 3.如图所示，小华从点A出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，走的路程一共是________米．150课堂检测 4.一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形内角和等于（）A.360°B.540°C.720°D.900°B课堂检测 一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，求得到的多边形的内角和.解：设多边形的边数为n，则有180×（n–2）=1800°，解得n=12.∴原多边形边数为12.∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1，∴新多边形的边数可能是11，12，13，∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°.能力提升题课堂检测 如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度数.解：如图，∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝五边形的内角和＝540°.89拓广探索题课堂检测 多边形的内角和内角和计算公式(n–2)×180°(n≥3的整数）①边数增加1，内角和增加180°；②内角和是180°的整倍数.外角和多边形的外角和等于360°特别注意：与边数无关.正多边形内角=，外角=课堂小结 课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习