13.3等腰三角形13.3.2等边三角形（第2课时）人教版数学八年级上册 2.这个特殊的直角三角形相比一般的直角三角形有什么不同之处，它有什么特殊性质？1.等边三角形是轴对称图形，若沿着其中一条对称轴折叠，能产生什么特殊图形？导入新知想一想: 素养目标1.探索含30°角的直角三角形的性质．2.会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算. 如图，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？分离拼接ACB探究新知含30°角的直角三角形的性质知识点问题1： 将一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如图所示，你有什么发现？探究新知问题2： 性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.ABCD如图，显然，△ADC与△ABC关于AC成轴对称图形，因此AB=AD,∠BAD=2×30°=60°，从而△ABD是一个等边三角形.再由AC⊥BD,可得BC=CD=AB.探究新知你还能用其他方法证明吗？ 证明：延长BC到D，使BD=AB，连接AD.在△ABC中，∵　∠C=90°，∠A=30°,∴∠B=60°．∴△ABD是等边三角形．又∵AC⊥BD,已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.求证：BC=AB．ABCD证明方法：倍长法∴BC=AB．∴BC=BD．探究新知方法一： 探究新知方法点拨倍长法就是延长得到的线段是原线段的正整数倍，即1倍、2倍……倍长法 EABC证明：在BA上截取BE=BC，连接EC.∵∠B=60°，BE=BC.∴△BCE是等边三角形，∴∠BEC=60°，BE=EC.∵∠A=30°，∴∠ECA=∠BEC–∠A=60°–30°=30°.∴AE=EC，∴AE=BE=BC，∴AB=AE+BE=2BC.∴BC=AB．证明方法：截半法探究新知方法二： 探究新知方法点拨在证明中，在较长的线段上截取一条线段等于较短的线段就是截半法.截半法 含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.∵　在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，探究新知归纳总结应用格式：∴BC=AB．ABC 例1如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是()A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．D解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.探究新知利用含30°角的直角三角形的性质求线段的值素养考点1ABCD △ABC中，AB=AC，∠C=30°,DA⊥BA于A，BD=9.6cm，则AD=.BCD4.8cmBCDAA巩固练习如图∠C=90°，D是CA的延长线上的一点，∠BDC=15°，且AD=AB，则BC=AD. 例2如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于()A．3B．2C.1.5D．1解析：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5.EC探究新知 探究新知归纳总结含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形． 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，AB=4．则BD=.1ABCD解析：在△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴BC=AB=4×=2.同理可得：BD=BC=2×=1.巩固练习 已知:等腰三角形的底角为15°,腰长为20.求腰上的高.解:过点C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D.∵∠B=∠ACB=15°(已知),∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°，ACBD15°15°20))∴CD=AC=×20=10.巩固练习 例3如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由．解：理由如下：∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°.∵DE是∠ADB的平分线，∴∠ADE＝∠BDE.又∵DE＝DE，∴△AED≌△BED(ASA).探究新知 在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.∵∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.∴CD＝AD＝BD，即CD＝DB.探究新知 探究新知归纳总结含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质． Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B和∠A各是多少度？边AB与BC之间有什么关系？证明：∵∠B+∠A=180°–∠C=90°，∠B=2∠A，∴∠B=60°，∠A=30°.∴AB=2BC.巩固练习 例4如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB=7.4cm，∠A=30°，立柱BC,DE有多长？ABCDE探究新知利用直角三角形的性质解决实际问题素养考点2图中BC,DE分别是哪个直角三角形的直角边？它们所对的锐角分别是多少度？ ABCDE解：∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°，∴BC=AB,DE=AD.∴BC=AB=×7.4=3.7(m).又AD=AB,∴DE=AD=×3.7=1.85(m).答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.探究新知 如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC=1，则OF=．解：作EH⊥OA于H，∵∠AOE=∠BOE=15°，EC⊥OB，EH⊥OA，∴EH=EC=1，∠AOB=30°.∵EF∥OB，∴∠EFH=∠AOB=30°，∠FEO=∠BOE.∴EF=2EH=2，∠FEO=∠FOE.∴OF=EF=2．2H连接中考 1.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为()A．6米B．9米C．12米D．15米2.某市在旧城绿化改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮优化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要()A．300a元B．150a元C．450a元D．225a元BB基础巩固题课堂检测 3.在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,若AB=10,则BC=.54.如图，Rt△ABC中，∠A=30°，AB+BC=12cm，则AB=______cm.8ACB第4题图课堂检测 1.在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分线，BE=5，则求AC的长．解：连接AE，∵DE是AB的垂直平分线，∴BE=AE，∴∠EAB=∠B=15°，∴∠AEC=∠EAB+∠B=30°．∵∠C=90°，∴AC=AE=BE=2.5．能力提升题课堂检测 2.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中点，DE⊥AB于E点，求证：BE=3EA.证明：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°.∵D是BC的中点，∴AD⊥BC.∴∠ADC=90°，∠BAD=∠DAC=60°.∴AB=2AD.∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∴∠ADE=30°，∴AD=2AE.∴AB=4AE，∴BE=3AE.课堂检测 如图，已知△ABC是等边三角形，D,E分别为BC,AC上的点，且CD=AE，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q,求证:BP=2PQ.∴△ADC≌△BEA.证明：∵△ABC为等边三角形，∴AC=BC=AB,∠C=∠BAC=60°，∵CD=AE，拓广探索题课堂检测 ∴∠CAD=∠ABE.∵∠BAP+∠CAD=60°，∴∠ABE+∠BAP=60°.∴∠BPQ=60°.又∵BQ⊥AD，∴BP=2PQ.∴∠PBQ=30°，∴∠BQP=90°，课堂检测 内容在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半使用要点含30°角的直角三角形的性质①分清30°的角所在的直角边②作辅助线，构造直角三角形注意前提条件：直角三角形中证题方法倍长法截半法课堂小结 课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习