14.3因式分解14.3.1提公因式法人教版数学八年级上册 我们知道，利用整式的乘法运算，可以将几个整式的积化为一个多项式的形式，反过来，能不能将一个多项式化成几个整式的积的形式呢？若能，这种变形叫做什么呢？导入新知 2.理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式.1.理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别和联系.素养目标3.会利用因式分解进行简便计算. 如图，一块菜地被分成三部分，你能用不同的方式表示这块草坪的面积吗？abcm方法一：m(a+b+c)方法二：ma+mb+mcm(a+b+c)=ma+mb+mc整式乘法?探究新知知识点1因式分解的概念 1.运用整式乘法法则或公式填空：(1)m(a+b+c)=；(2)(x+1)(x–1)=；(3)(a+b)2=.ma+mb+mcx2–1a2+2ab+b22.根据等式的性质填空：(1)ma+mb+mc=()()(2)x2–1=()()(3)a2+2ab+b2=()2ma+b+cx+1x–1a+b都是多项式化为几个整式的积的形式比一比，这些式子有什么共同点？探究新知 把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.探究新知 x2–1(x+1)(x–1)因式分解整式乘法x2–1=(x+1)(x–1)等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积整式乘法与因式分解有什么关系？是互为相反的变形，即探究新知想一想 例下列从左到右的变形中是因式分解的有()①x2–y2–1＝(x＋y)(x–y)–1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x–y)2＝x2–2xy＋y2；④x2–9y2＝(x＋3y)(x–3y)．A．1个B．2个C．3个D．4个B方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．素养考点1因式分解变形的识别探究新知 在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有.不是因式分解的，请说明原因.①②③④⑤⑥③⑥am+bm+c=m(a+b)+c24x2y=3x·8xyx2–1=(x+1)(x–1)(2x+1)2=4x2+4x+1x2+x=x2(1+)2x+4y+6z=2(x+2y+3z)最后不是积的运算因式分解的对象是多项式是整式乘法每个因式必须是整式巩固练习 pa+pb+pc用提公因式法分解因式多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式.相同因式p观察下列多项式，它们有什么共同特点？x2＋x相同因式x知识点2探究新知问题1： 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.(a+b+c)pa+pb+pcp=探究新知 找出3x2–6xy的公因式.系数：最大公约数.3字母：相同的字母.x所以这个算式的公因式是3x.指数：相同字母的最低次数.1如何确定一个多项式的公因式？探究新知问题2： 找出多项式的公因式的正确步骤：3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.2.定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母.探究新知归纳总结 找一找:下列各多项式的公因式是什么？3aa22(m+n)3mn–2xy(1)3x+6y(2)ab–2ac(3)a2–a3(4)4(m+n)2+2(m+n)(5)9m2n–6mn(6)–6x2y–8xy2探究新知 (1)8a3b2+12ab3c；例1把下列各式分解因式.分析：提公因式法步骤(分两步)第一步:找出公因式；第二步:提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积.(2)2a(b+c)–3(b+c).公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.素养考点1利用提公因式法分解因式探究新知 解：(1)8a3b2+12ab3c=4ab2·2a2+4ab2·3bc=4ab2(2a2+3bc)；如果提出公因式4ab，另一个因式是否还有公因式？另一个因式将是2a2b+3b2c，它还有公因式是b.(2)2a(b+c)–3(b+c)=(b+c)(2a–3).如何检查因式分解是否正确？做整式乘法运算.探究新知 因式分解：(1)3a3c2＋12ab3c；(2)2a(b＋c)–3(b＋c)；(3)(a＋b)(a–b)–a–b.(3)原式＝(a＋b)(a–b–1)．解：(1)原式＝3ac(a2c＋4b3)；(2)原式＝(2a–3)(b＋c)；巩固练习 把12x2y+18xy2分解因式.解：原式=3xy(4x+6y).错误公因式没有提尽，还可以提出公因式2.注意：公因式要提尽.正解：原式=6xy(2x+3y).小明的解法有误吗？巩固练习 当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1.错误注意：某项提出莫漏1.解：原式=x(3x–6y).把3x2–6xy+x分解因式.正解：原式=3x·x–6y·x+1·x=x(3x–6y+1)小亮的解法有误吗？巩固练习 提出负号时括号里的项没变号.错误把–x2+xy–xz分解因式.解：原式=–x(x+y–z).注意：首项有负常提负.正解：原式=–(x2–xy+xz)=–x(x–y+z)小华的解法有误吗？巩固练习 提取公因式分解因式的技巧：①当公因式是多项式时，把多项式看成一个整体提取公因式；②分解因式分解到不能分解为止；③某一项全部提取后，不要漏掉“1”；④首项有负号常提负号；⑤检查因式分解的结果是否正确，可用整式的乘法验证.归纳总结探究新知 例2计算：(1)39×37–13×91；(2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16–20.16×14.(2)原式＝20.16×(29＋72＋13–14)＝2016.＝13×20＝260；解：(1)原式＝3×13×37–13×91＝13×(3×37–91)方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便．素养考点2利用因式分解进行简便运算探究新知 =259=9900(1)992＋99(2)=99×(99+1)简便计算.巩固练习解：原式=259解：原式=99×99+99(3)13.8×0.125+86.2×解：原式=13.8×0.125+86.2×0.125=0.125×(13.8+86.2)=0.125×100=12.5 例3已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值．∴原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28.解：∵a＋b＝7，ab＝4，方法总结：含a±b，ab的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用a±b和ab表示的式子，然后将a±b，ab的值整体带入即可.素养考点3利用因式分解求整式的值探究新知 已知a+b=5，ab=3，求a2b+ab2的值.解:a2b+ab2=ab(a+b)=3×5=15巩固练习 1.分解因式：a2–5a=_________．2.若a+b=4，ab=1，则a2b+ab2=．解析：∵a+b=4，ab=1，∴a2b+ab2=ab(a+b)=1×4=4．a(a–5)4连接中考 1.多项式15m3n2+5m2n–20m2n3的公因式是()A．5mnB．5m2n2C．5m2nD．5mn22.把多项式(x+2)(x–2)+(x–2)提取公因式(x–2)后，余下的部分是()A．x+1B．2xC．x+2D．x+33.下列多项式的分解因式，正确的是()A．12xyz–9x2y2=3xyz(4–3xyz)B．3a2y–3ay+6y=3y(a2–a+2)C．–x2+xy–xz=–x(x2+y–z)D．a2b+5ab–b=b(a2+5a)BCD课堂检测基础巩固题 4.把下列各式分解因式：(1)分解因式：m2–3m=．(2)12xyz–9x2y2=_____________；(3)因式分解：(x+2)x–x–2=___________．(4)–x3y3–x2y2–xy=_______________；3xy(4z–3xy)–xy(x2y2+xy+1)(5)(x–y)2+y(y–x)=_____________.(y–x)(2y–x)5.若9a2(x–y)2–3a(y–x)3＝M·(3a＋x–y)，则M等于_____________.3a(x–y)2m(m–3)(x+2)(x–1)课堂检测 6.简便计算：(1)1.992+1.99×0.01;(2)20132+2013–20142;(3)(–2)101+(–2)100.(2)原式=2013×(2013+1)–20142=2013×2014–20142=2014×(2013–2014)=–2014．解：(1)原式=1.99×(1.99+0.01)=3.98；(3)原式=(–2)100×(–2+1)=2100×(–1)=–2100.课堂检测 解：(1)2x2y+xy2=xy(2x+y)=3×4=12.(2)原式=(2x+1)[(2x+1)–(2x–1)]=(2x+1)(2x+1–2x+1)=2(2x+1).(1)已知:2x+y=4，xy=3，求代数式2x2y+xy2的值.(2)化简求值：(2x+1)2–(2x+1)(2x–1)，其中x=.当x=时，能力提升题原式=2×(2×+1)=4.课堂检测 △ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断△ABC的形状，并说明理由．∴△ABC是等腰三角形．解：整理a＋2ab＝c＋2bc得，a＋2ab–c–2bc＝0，(a–c)＋2b(a–c)＝0，(a–c)(1＋2b)＝0，∴a–c＝0或1＋2b＝0，即a＝c或b＝–0.5(舍去)，拓广探索题课堂检测 提公因式法分解因式定义am+bm+mc=m(a+b+c)方法确定公因式的方法：三定，即定系数；定字母；定指数第一步找公因式；第二步提公因式注意1.分解因式是一种恒等变形；2.公因式：要提尽；3.不要漏项；4.提负号，要注意变号课堂小结 课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习