21.2解一元二次方程21.2.2公式法人教版数学九年级上册 解：移项，得配方由此可得利用配方法解一元二次方程导入新知 化：把原方程化成x2＋px＋q=0的形式.移项：把常数项移到方程的右边，如x2＋px=－q.配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方.开方：根据平方根的意义，方程两边开平方.求解：解一元一次方程.定解：写出原方程的解.用配方法解一元二次方程的步骤方程右边是非负数x2＋px＋()2=－q＋()2(x+)2=－q＋()2【思考】如何用配方法解方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)呢？导入新知 3.会熟练应用公式法解一元二次方程.1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念.2.灵活应用△=b²－4ac的值识别一元二次方程根的情况.素养目标 ax2＋bx＋c=0(a≠0)公式法的概念探究新知知识点1一元二次方程的一般形式是什么？【思考】如果使用配方法解出一元二次方程一般形式的根，那么这个根是不是可以普遍适用呢？ 用配方法解一般形式的一元二次方程方程两边都除以a，得解:移项，得配方，得即探究新知 一元二次方程的求根公式当探究新知， 由上可知，一元二次方程的根由方程的系数a，b，c确定．因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式，当时，将a，b，c代入式子，就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.当b-4ac＜0时，方程有实数根吗？探究新知公式法的概念 解：∵a=1，b=-4，c=-7,∴b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44＞0.例1用公式法解方程：公式法解方程素养考点1（1）x2-4x-7=0；探究新知 解：则方程有两个相等的实数根：（2）2x2-2x+1=0；【思考】这里的a、b、c的值分别是什么？探究新知 则方程有两个不相等的实数根（3）5x2-3x=x+1解：原方程可化为探究新知 方程无实数根.（4）x2+17=8x探究新知解：原方程可化为 方法点拨探究新知（1）当时，一元二次方程有两个不相等的实数根.（2）当时，一元二次方程有两个相等的实数根.（3）当时，一元二次方程没有实数根. 用公式法解一元二次方程的一般步骤1.将方程化成一般形式，并写出a，b，c的值.2.求出∆的值.3.(1)当∆>0时，代入求根公式:写出一元二次方程的根.(2)当∆=0时，代入求根公式：写出一元二次方程的根.（3）当∆<0时，方程无实数根.探究新知 1.用公式法解方程：解：a=3,b=-6,c=-2∆=b2-4ac=(-6)2-4×3×(-2)=60巩固练习 用公式法解下列方程：（1）x2＋x－1=0（2）x2－2（3）2x2－2x＋1=0x＋3=0观察上面解一元二次方程的过程，一元二次方程的根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢？一元二次方程的根的情况知识点2探究新知 【思考】不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？⑴x2＋2x－8=0⑵x2=4x－4⑶x2－3x=－3（3）没有实数根.答案：（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；【发现】b2－4ac的符号决定着方程的解.探究新知 （2）当b2-4ac=0时，有两个相等的实数根：（1）当b2-4ac＞0时，有两个不等的实数根：（3）当b2-4ac<0时，没有实数根.一般的，式子b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“∆”来表示，即∆＝b2-4ac.一元二次方程的根的情况探究新知 若已知一个一元二次方程的根的情况，是否能得到判别式的值的符号呢？当一元二次方程有两个不相等的实数根时，b2-4ac＞0当一元二次方程有两个相等的实数根时，b2-4ac=0当一元二次方程没有实数根时，b2-4ac＜0【注意】一元二次方程的根的情况探究新知 例2不解方程，判断下列方程根的情况：解：a＝﹣1，b＝，c＝﹣6△=b2-4ac=24－4×（﹣1）×（-6）=0该方程有两个相等的实数根解：移项，得x2+4x-2=0a＝1，b＝4，c＝﹣2△=b2-4ac=16-4×1×（-2）=24＞0该方程有两个不相等的实数根利用判别式识别一元二次方程的根的情况素养考点2（2）x2+4x=2探究新知（1） （3）4x2+1=-3x解：移项，得4x2+3x+1=0，a＝4，b＝3，c＝1∵△=b2-4ac=9-4×4×1=-7＜0∴该方程没有实数根解：a＝1，b＝-2m，c＝4（m-1）∵△=b2-4ac=（-2m）²-4×1×4（m-1）=4m2-16（m-1）=4m2-16m+16=（2m-4）2≥0∴该方程有两个实数根（4）x²-2mx+4（m-1）=0探究新知 （2）方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式子是（）A.b²-4ac＞0B.b²-4ac＜0C.b²-4ac≤0D.b²-4ac≥0（1）下列方程中，没有实数根的方程是（）A.x²=9B.4x²=3(4x-1)C.x(x+1)=1D.2y²+6y+7=0DD巩固练习2.选一选. 例3m为何值时，关于x的一元二次方程2x2-（4m+1）x+2m2-1=0：（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？解：a=2，b=-（4m+1），c=2m2-1b2-4ac=〔-（4m+1）〕2-4×2（2m2-1）=8m+9（1）若方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac＞0，即8m+9＞0∴m＞（2）若方程有两个相等的实数根，则b2-4ac=0即8m+9=0∴m=（3）若方程没有实数根，则b2-4ac＜0即8m+9＜0∴m＜∴当m＞时，方程有两个不相等的实数根；当m=时，方程有两个相等的实数根；当m＜时，方程没有实数根利用判别式求字母的值或取值范围素养考点3探究新知 3.m为任意实数，试说明关于x的方程x2-（m-1）x-3（m+3）=0恒有两个不相等的实数根.解：∵不论m取任何实数，总有（m+5）2≥0∴b2-4ac=（m+5）2+12≥12＞0∴不论m取任何实数，上述方程总有两个不相等的实数根.巩固练习 1.若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m≥1B．m≤1C．m＞1D．m＜1巩固练习连接中考D 2.解方程x2﹣2x﹣1=0．解：a=1，b=﹣2，c=﹣1，△=b2﹣4ac=4+4=8＞0，方程有两个不相等的实数根，1，则巩固练习连接中考 1.方程x2－4x＋4＝0的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有一个实数D.没有实数根基础巩固题课堂检测B 2.关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不等的实根，则k的取值范围是（）A.k>-1B.k>-1且k≠0C.k<1D.k<1且k≠0B课堂检测基础巩固题 3.已知x2＋2x＝m－1没有实数根，求证：x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根.证明：∵没有实数根4-4(1-m)<0,∴m<0对于方程x2＋mx＝1-2m，即，∵，∴△>0∴x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根.课堂检测基础巩固题 公式法定义把各系数直接带入求根公式的解一元二次方程的方法.步骤一化成一般形式，并写出a，b，c的值；二求出b2-4ac的值；三;四写出方程的解：x1,x2.应用用判别式△=b2-4ac判定一元二次方程根的情况.课堂小结 课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习