22.1二次函数的图像和性质22.1.2二次函数y=ax2的图像和性质人教版数学九年级上册 （1）你们喜欢打篮球吗？导入新知（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？ 素养目标3.能根据图象说出抛物线y=ax²的开口方向、对称轴、顶点坐标，能根据a的符号说出顶点是抛物线的最高点还是最低点.1.正确理解抛物线的有关概念.2.会用描点法画出二次函数y=ax²的图象，概括出图象的特点，知道抛物线y=ax²的开口方向与a的符号有关. 二次函数y=ax2的图象的画法x…-3-2-10123…y=x2……画出二次函数y=x2的图象.94101941.列表：在y=x2中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：探究新知知识点1 24-2-4o369xy2.描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）3.连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y=x2的图象．探究新知 -33o369当取更多个点时，函数y=x2的图象如下：xy二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.这条抛物线关于y轴对称,y轴就是它的对称轴.对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.探究新知 画出函数y=-x2的图象.y24-2-40-3-6-9xx…-3-2-10123…y=-x2…-9-4-10-1-4-9…探究新知 根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.1.y＝x2的图象是一条抛物线;2.图象开口向上;3.图象关于y轴对称;4.顶点（0，0）;5.图象有最低点．二次函数y=ax2的图象性质探究新知知识点2 说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.1.y＝-x2的图象是一条抛物线;2.图象开口向下;3.图象关于y轴对称;4.顶点（0，0）;5.图象有最高点．探究新知 1.顶点都在原点（0,0）;3.当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下．2.图像关于y轴对称;探究新知二次函数y=ax2的图象性质 观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a＞0)的关系是什么？二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称.xyOy=ax2y=-ax2探究新知 二次函数y=ax2的性质1.观察图形，y随x的变化如何变化？(-2,4)(-1,1)(2,4)(1,1)探究新知知识点3 对于抛物线y=ax2（a＞0）当x＞0时，y随x取值的增大而增大；当x<0时，y随x取值的增大而减小.探究新知二次函数y=ax2的性质 (-2,-4)(-1,-1)(2,-4)(1,-1)2.观察图形，y随x的变化如何变化？探究新知 对于抛物线y=ax2（a＜0）当x＞0时，y随x取值的增大而减小；当x<0时，y随x取值的增大而增大.探究新知二次函数y=ax2的性质 解：分别填表，再画出它们的图象，如图：x···－4－3－2－101234·········x···－2－1.5－1－0.500.511.52·········84.520.5084.520.584.520.5084.520.5在同一直角坐标系中，画出函数的图象．探究新知 xyO-222464-48【思考】二次函数的图象开口大小与a的大小有什么关系？当a>0时，a越大，开口越小.探究新知 【练一练】在同一直角坐标系中，画出函数的图象．x···－4－3－2－101234·········x···－2－1.5－1－0.500.511.52·········-8-4.5-2-0.50-8-4.5-2-0.5-8-4.5－2－0.50－8－4.5－2－0.5探究新知 xyO－22－2－4－64－4－8当a<0时，a越小（即a的绝对值越大），开口越小.【思考】二次函数的图象开口大小与a的大小有什么关系？对于抛物线y=ax2，｜a｜越大，抛物线的开口越小．探究新知 y＝ax2a>0a<0图象位置开口方向对称性顶点最值增减性开口向上,在x轴上方开口向下,在x轴下方a的绝对值越大，开口越小关于y轴对称，对称轴是直线x＝0顶点坐标是原点（0，0）当x=0时，y最小值=0当x=0时，y最大值=0在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减yOxyOx探究新知 （3）函数y=x2的图象的开口,对称轴是,顶点是;顶点是抛物线的最点（2）函数y=－3x2的图象的开口,对称轴是,顶点是顶点是抛物线的最点.（1）函数y=4x2的图象的开口,对称轴是,顶点是;向上向下y轴y轴(0,0)(0,0)（4）函数y=－0.2x2的图象的开口,对称轴是,顶点是.向上y轴(0,0)向下y轴(0,0)高低填一填探究新知 例1已知y=(m+1)x是二次函数,且其图象开口向上,求m的值和函数解析式m2+m解:依题意有:m+1>0①m2+m=2②解②得:m1=－2,m2=1由①得:m>－1因此m=1此时,二次函数为:y=2x2.利用函数y=ax2的图像性质确定字母的值素养考点1探究新知 已知是二次函数，且当x＞0时，y随x增大而增大，则k=.解：是二次函数，即二次项的系数不为0，x的指数等于2.又因当x＞0时，y随x增大而增大,即说明二次项的系数大于0.因此，，解得k=2.2巩固练习1. 二次函数y=ax2的实际应用二次函数y=ax2是刻画客观世界许多现象的一种重要模型.物体自由下落的高度h与下落时间t之间的关系（g代表重力加速度，为定值）质量为m的物体运动时的能量E与其运动速度v之间的关系（m为定值）物体做匀加速运动时，行驶路程与时间的关系（a代表加速度，为定值）探究新知知识点4 例2已知正方形的周长为Ccm，面积为Scm2，（1）求S与C之间的二次函数关系式；即：S=（c＞0）（2）画出它的图象；（3）根据图象，求出当S=1cm2时，正方形的周长；（4）根据图象，求出C取何值时，S≥4cm2.二次函数y=ax2与不等式的综合运用注意自变量的范围素养考点2探究新知 解：（1）∵正方形的周长为Ccm，∴正方形的边长为cm，∴S与C之间的关系式为S=；（2）作图如右：（3）当S=1cm2时，C2=16，即C=4cm（4）若S≥4cm2，即≥4，解得C≥8.，或c≤-8(舍去）.因此C≥8cm.探究新知 (1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则y1_____y2；(填“>”“＝”或“<”)；(2)如图，此二次函数的图象经过点(0，0)，长方形ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和．<巩固练习2已知二次函数y＝2x2. (2)解：∵二次函数y＝2x2的图象经过点C，∴当x＝2时，y＝2×22＝8.∵抛物线和长方形都是轴对称图形，且y轴为它们的对称轴，∴OA＝OB，∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右边空白部分面积，∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16.巩固练习 方法点拨二次函数y＝ax2的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中，我们根据图象中点具有的对称性转变到同一变化区域中(全部为升或全部为降)，根据图象中函数值高低去比较；对于求不规则的图形面积，采用等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解．探究新知 已知抛物线y=ax2(a＞0)过点A（-2，y1）、B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（）．A.y1＞0＞y2B.y2＞0＞y1C.y1＞y2＞0D.y2＞y1＞0C巩固练习连接中考 1.函数y=2x2的图象的开口,对称轴,顶点是;在对称轴的左侧，y随x的增大而,在对称轴的右侧,y随x的增大而.2.函数y=-3x2的图象的开口,对称轴,顶点是;在对称轴的左侧,y随x的增大而,在对称轴的右侧,y随x的增大而.向上向下y轴y轴(0,0)(0,0)减小减小增大增大xxyyOO课堂检测基础巩固题 3.如右图，观察函数y=（k-1）x2的图象,则k的取值范围是.xyk>14.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：开口方向对称轴顶点向上向下向下向上y轴y轴y轴y轴（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）O课堂检测基础巩固题 已知二次函数y=x2，若x≥m时，y最小值为0，求实数m的取值范围．解：在二次函数y=x2中，a=1＞0因此当x=0时，y有最小值.∵当x≥m时，y最小值=0，∴m≤0．课堂检测能力提升题 已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．解：由题意得解得因此两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)．∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4.两交点与原点所围成的三角形面积S△ABO＝S△ACO＋S△BOC.在△BOC中，OC边上的高就是B点的横坐标值的绝对值1；在△ACO中，OC边上的高就是A点的横坐标值的绝对值4.因此S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝×4×1+×4×4＝10.课堂检测拓广探索题 二次函数y=ax2的图象及性质画法描点法以对称轴为中心对称取点图象抛物线轴对称图形性质重点关注4个方面开口方向及大小对称轴顶点坐标增减性课堂小结 作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习课后作业