22.1二次函数的图象和性质22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质第一课时第二课时人教版数学九年级上册 第一课时返回二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 y=a(x-h)2+k(a≠0)a>0a<0开口方向顶点坐标对称轴增减性极值向上向下(h,k)(h,k)x=hx=h当x<h时，y随着x的增大而减小.当x>h时，y随着x的增大而增大.当x<h时,y随着x的增大而增大.当x>h时，y随着x的增大而减小.x=h时,y最小值=kx=h时,y最大值=k抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上下和左右平移得到.回顾旧知二次函数y=a(x-h)2+k的性质 我们已经知道二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论二次函数y=ax2+bx+c图象和性质?导入新知 素养目标3.能根据所给的自变量的取值范围画二次函数的图象.1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k.2.能熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴. 画出二次函数y=ax2+bx+c的图象我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论的图象和性质？【思考1】怎样将化成y=a(x-h)2+k的形式？探究新知知识点1 配方可得想一想：配方的方法及步骤是什么？探究新知怎样将化成y=a(x-h)2+k的形式？ 配方(1)“提”：提出二次项系数；(2)“配”：括号内配成完全平方；(3)“化”：化成顶点式.【提示】配方后的表达式通常称为配方式或顶点式.探究新知 【思考2】你能说出的对称轴及顶点坐标吗？答：对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）.【思考3】二次函数可以看作是由怎样平移得到的？答：平移方法1：先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的；平移方法2：先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的.探究新知 【思考4】如何画二次函数的图象？…………9876543x1.利用图象的对称性列表7.553.533.557.5510xy5102.然后描点画图，得到图象如右图.O方法一：描点法探究新知 方法二：平移法268y4O-22x4-468探究新知 【思考5】结合二次函数的图象，说出其性质.510xy510x=6当x<6时，y随x的增大而减小；当x>6时，y随x的增大而增大.O探究新知开口方向：对称轴：顶点：向上x=6(6,3) 例1画出函数的图象，并说明这个函数具有哪些性质.x···-2-101234···y······-6.5-4-2.5-2-2.5-4-6.5解:函数通过配方可得，先列表：画二次函数y=ax2+bx+c的图象并且说出它的性质素养考点1探究新知 2xy-204-2-4-4-6-8然后描点、连线，得到图象如下图：由图象可知，这个函数具有如下性质：开口方向：向下顶点坐标：（1，-2）对称轴：x=1最值：x=1时，y最大值=-2当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；当x＞1时，函数值y随x的增大而减小；当x=1时，函数取得最大值，最大值y=-2.探究新知 .求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标.因此，二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标为(2,-1).解：巩固练习1 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质根据下列关系你能发现二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质吗？y=ax2+bx+c探究新知知识点2 y=ax2+bx+c二次函数的顶点式对称轴为.二次函数的一般表达式因此，抛物线的对称轴是，顶点是.探究新知 yOx（a>0）yOx（a<0）二次函数y=ax2+bx+c的图象：增减性？最小值最大值探究新知 探究新知 指出二次函数y=ax2+bx+c的有关性质例2二次函数y=x2+2x﹣3的开口方向、顶点坐标分别是（　　）A．开口向上，顶点坐标为（﹣1，﹣4）B．开口向下，顶点坐标为（1，4）C．开口向上，顶点坐标为（1，4）D．开口向下，顶点坐标为（﹣1，﹣4）解析∵二次函数y=x2+2x﹣3的二次项系数为a=1＞0，∴函数图象开口向上，∵y=x²+2x﹣3=（x+1）2﹣4，∴顶点坐标为（﹣1，﹣4）．方法点拨：把函数的一般式化为顶点式，再由顶点式确定开口方向、对称轴、顶点及其他性质.素养考点2A探究新知 顶点坐标对称轴最值y=-x2+2xy=-2x2-1y=9x2+6x-5(1,1)x=1最大值1(0,-1)y轴最大值-1最小值-6(,-6)直线x=填一填.巩固练习2. 二次函数字母系数与图象的关系一次函数y=kx+b的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空：xyOy=k1x+b1xyOy=k2x+b2y=k3x+b3k1___0b1___0k2___0b2___0＞＞＜k3___0b3___0＜＞探究新知知识点3＞ xyO二次函数的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空：a1___0b1___0c1___0a2___0b2___0c2___0＞＞＞＞＜＝开口向上，a＞0对称轴在y轴左侧，x＜0对称轴在y轴右侧，x＞0x=0时，y=c.探究新知 xyOa3___0b3___0c3___0a4___0b4___0c4___0＜＝＞＜＞＜开口向下，a＜0对称轴是y轴，x=0对称轴在y轴右侧，x＞0x=0时，y=c.探究新知 字母符号图象的特征a＞0开口_____________a＜0开口_____________b=0对称轴为_____轴a、b同号对称轴在y轴的____侧a、b异号对称轴在y轴的____侧c=0经过原点c＞0与y轴交于_____半轴c＜0与y轴交于_____半轴向上向下y左右正负探究新知二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系 例3已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2.其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4D由图象上横坐标为x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确；由图可知x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－1的点在第二象限得出a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确．【解析】由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得c＞0，则abc＞0，故①正确；由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确；利用二次函数y=ax2+bx+c的图象确定字母的值素养考点3探究新知 3.二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，下列选项中正确的是（）A．a＞0B．b＞0C．c＜0D．ac>0巩固练习解析根据开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，确定a、b、c的符号，根据对称轴和图象确定y＞0或y＜0时，x的范围，确定代数式的符号．①∵开口向下，∴a＜0，A错误；②对称轴在y轴的右侧和a＜0，可知b＞0，B正确；③抛物线与y轴交于正半轴，c＞0，C错误；④因为a<0，c>0，所以ac<0，D错误．B 如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（　　）A．①②④B．①②⑤C．②③④D．③④⑤巩固练习A连接中考 1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：x-10123y51-1-11A.y轴B.直线x=C.直线x=2D.直线x=则该二次函数图象的对称轴为()D课堂检测基础巩固题 Oyx–1–232.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：（1）a、b同号；（2）当x=–1和x=3时，函数值相等；（3）4a+b=0；（4）当y=–2时，x的值只能取0；其中正确的是.（2）课堂检测基础巩固题 3.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=-1是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③a-b+c=-9a；④若（-3，y1）,（，y2）是抛物线上两点，则y1>y2.其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④xyO2x=-1B课堂检测基础巩固题 根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：直线x=3直线x=8直线x=1.25直线x=0.5课堂检测能力提升题 1.已知函数y=-2x2+x-4,当x=时，y有最大值.2.已知二次函数y=x2-2x+1，那么它的图象大致为（）B课堂检测拓广探索题 顶点：对称轴：y=ax2+bx+c（a≠0)(一般式)配方法公式法(顶点式)课堂小结 第二课时返回待定系数法求二次函数的解析式 用待定系数法求函数的解析式已知一次函数经过点（1，3）和（-2，-12），求这个一次函数的解析式。解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b,因为一次函数经过点（1，3）和（-2，-12），所以解得k=3，b=-6一次函数的解析式为y=3x-6.【思考】如何用待定系数法求二次函数的解析式呢？导入新知 素养目标2.灵活应用三点式、顶点式、交点式求二次函数的解析式.1.会用待定系数法求二次函数的解析式. 【思考】回忆一下用待定系数法求一次函数的解析式的一般步骤．求二次函数y=ax2+bx+c的解析式的关键是什么？用三点式求二次函数的解析式探究新知知识点1 我们知道，由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的解析式。对于二次函数，由几个点的坐标可以确定二次函数？已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4)，求这个函数的解析式.解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c.由已知得：a-b+c=10a+b+c=4三个未知数，两个等量关系，这个方程组能解吗？第一步:设出解析式的形式；第二步:代入已知点的坐标；第三步：解方程组。探究新知 已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4)、(2,7)，求这个函数的解析式.第一步:设出解析式的形式；第二步:代入已知点的坐标；第三步：解方程组。解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c.由已知得：a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7三个未知数，三个等量关系，这个方程组能解吗？探究新知 a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7①②③?由②-①可得：2b=-6b=-3由③-①可得：3a+3b=-3a+b=-1a=2将a=2，b=-3代入①可得：2+3+c=10c=5∴解方程组得：a=2,b=-3,c=5.探究新知 例1已知一个二次函数的图象过点A(-1,0),B(4,5),C(0,-3).三点，求这个函数的解析式.解：设所求抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c.∵抛物线经过点A(-1，0),B(4，5),C(0，-3).∴解得a＝1，b＝-2，c＝-3.∴抛物线的解析式为y＝x2-2x-3.利用三点式求二次函数的解析式素养考点1探究新知 求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定系数a，b，c的值。若已知条件是二次函数图像上三个点的坐标，可设解析式为y=ax2+bx+c,列出关于a，b，c的方程组，并求出a，b，c，就可以写出二次函数的解析式。归纳任意两点的连线不与y轴平行三点式求二次函数的解析式探究新知 已知一个二次函数的图象过点A(0,0),B(-1,-1),C(1,9)三点，求这个函数的解析式.第一步:设出解析式的形式；第二步:代入已知点的坐标；第三步:解方程组。解：设所求抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c.∵抛物线经过点A(0,0),B(-1,-1),C(1,9).∴解得a＝4，b＝5，c＝0.∴抛物线的解析式为y＝4x2+5x.0=c-1=a-b+c9=a+b+c巩固练习1. 用交点式y=a(x-x1)(x-x2)求二次函数解析式一个二次函数，当自变量x＝0时，函数值y＝-1，当x＝-2与时，y＝0，求这个二次函数的解析式.探究新知知识点2两种方法的结果一样吗？两种方法哪一个更简捷？ 交点式求二次函数的解析式：若已知抛物线与x轴的两交点坐标，可设解析式为y=a（x-x1）（x-x2），把另一点的坐标代入，解关于a的一元一次方程.例2已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点(两点的纵坐标都为0)，与y轴交于点C(0,3)，求这个二次函数的解析式.解:∵图象与x轴交于A(1,0)，B(3,0)∴设函数解析式为y＝a(x-1)(x-3)∵图象过点C(0,3)∴3=a(0-1)(0-3)，解得a=1.∴二次函数解析式为y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3利用交点式求二次函数的解析式素养考点2探究新知 已知抛物线与x轴交于A（－1，0），B（1,0）并经过点M（0,1），求抛物线的解析式.因此所求的抛物线解析式为y=－x2+1.解:∵图象与x轴交于A(-1,0)，B(1,0)∴设函数解析式为y＝a(x+1)(x-1)∵图象过点M(0,1)∴1=a(0+1)(0-1)，解得a=-1.∴二次函数解析式为y=-1(x+1)(x-1)巩固练习2. 【思考】图象顶点为(h,k)的二次函数的解析式是y=a(x-h)2+k，如果顶点坐标已知，那么求解析式的关键是什么？用二次函数顶点式y=a(x-h)2+k求函数解析式探究新知知识点3 利用顶点式求二次函数的解析式例3已知抛物线顶点为(1,-4)，且又过点(2,-3)，求其解析式.解：∵抛物线顶点为(1,-4)∴设其解析式为y=a(x-1)2-4，又抛物线过点(2,-3)，则-3=a(2-1)2-4，则a=1.∴其解析式为y=(x-1)2-4＝x2-2x-3.探究新知素养考点3 若已知顶点坐标和一点，可设解析式为y=a(x-h)2+k，将另一点坐标代入解关于a的一元一次方程.归纳顶点式求二次函数的解析式探究新知 3.已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为（﹣1，2），且图象过点（1，﹣3），求这个二次函数的关系式.解：∵抛物线顶点为(-1,2)∴设其解析式为y=a(x+1)2+2，又抛物线过点(1,-3)，则3=a(1+1)2+2，则a=.所以这个二次函数的关系式是y=(x+1)2+2.巩固练习 已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5），求该函数的关系式.解：设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4y=﹣x2﹣2x+3连接中考巩固练习连接中考 1.如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A(-2,-2),且过点B(0,2),则y与x的函数关系式为()A.y=x2+2B.y=(x-2)2+2C.y=(x-2)2-2D.y=(x+2)2-22.已知二次函数的图象经过点(4,-3),并且当x=3时有最大值4,则其解析式为.Dy=-7(x-3)2+4.课堂检测基础巩固题 如图所示,已知抛物线的对称轴是直线x=3,它与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,点A、C的坐标分别是(8,0)、(0,4),求这个抛物线的解析式.解：由抛物线过A(8,0)及对称轴为x=3,知抛物线一定过点(-2,0).设这个抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-8),∵抛物线过点(0,4),∴4=a(0+2)(0-8),课堂检测能力提升题 已知抛物线顶点(1,16)，且抛物线与x轴的两交点间的距离为8，求其解析式.解:由题意可知抛物线与x轴交点坐标为(5,0)，(-3,0),设解析式为y=a(x-5)(x+3),∵抛物线过点(1,16)∴16=a(1-5)(1+3),解得a=-1.∴抛物线的解析式为y=-(x-5)(x+3)=-x2+2x+15.课堂检测拓广探索题 待定系数法求二次函数的解析式三点式交点式顶点式已知抛物线上三个点的坐标，设解析式为y=ax2+bx+c已知抛物线与x轴两交点的坐标，设解析式为y=（x-x1）（x-x2）已知抛物线顶点坐标和另一个点的坐标，设解析式为y=a（x-h）2+k课堂小结 作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习课后作业