24.2点和圆、直线和圆的位置关系24.2.1点和圆的位置关系人教版数学九年级上册 我国射击运动员在奥运会上获金牌，为我国赢得荣誉.如图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆（圆心相同，半径不相同）构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？解决这个问题要研究点和圆的位置关系．导入新知 3.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念.1.理解并掌握点和圆的三种位置关系.2.理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握作图方法.4.了解反证法的证明思想.素养目标 问题1：观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？.o.C....B..A.点与圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.探究新知点和圆的位置关系知识点1 问题2：设点到圆心的距离为d,圆的半径为r，量一量在点和圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系？点P在⊙O内点P在⊙O上点P在⊙O外dddrPdPrdPrd＜rr=＞r反过来，由d与r的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？探究新知 rPdPrdPrd点P在⊙O内d<r点P在⊙O上d=r点P在⊙O外d>r数形结合：位置关系数量关系探究新知点和圆的位置关系 例1如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4.（1）以A为圆心，4为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系如何？解：AD=4=r，故D点在⊙A上AB=3<r，故B点在⊙A内AC=5>r，故C点在⊙A外判定点和圆的位置关系素养考点1探究新知 （2）若以A点为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围？（直接写出答案）3r5探究新知 1.⊙O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是：点A在；点B在；点C在.圆内圆上圆外2.圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2，若OP=，则点P在（）A.大圆内B.小圆内C.小圆外D.大圆内，小圆外oD巩固练习 问题1如何过一个点A作一个圆？过点A可以作多少个圆？·····以不与A点重合的任意一点为圆心，以这个点到A点的距离为半径画圆即可；可作无数个圆.A探究新知过不共线三点作圆知识点2 问题2如何过两点A、B作一个圆？过两点可以作多少个圆？····AB作线段AB的垂直平分线，以其上任意一点为圆心，以这点和点A或B的距离为半径画圆即可;可作无数个圆.探究新知 问题3：过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？ABCDEGF●o经过B,C两点的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上.经过A,B,C三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点O的位置.经过A,B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.探究新知 有且只有位置关系定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆.ABCDEGF●o探究新知 例2已知：不在同一直线上的三点A、B、C.求作：⊙O,使它经过点A、B、C.作法：1.连结AB，作线段AB的垂直平分线MN；2.连接AC，作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O；3.以O为圆心，OB为半径作圆.所以⊙O就是所求作的圆.ONMFEABC利用尺规法作圆素养考点2探究新知 问题4:现在你知道怎样将一个如图所示的破损的圆盘复原了吗？方法:1.在圆弧上任取三点A、B、C;2.作线段AB、BC的垂直平分线,其交点O即为圆心;3.以点O为圆心，OC长为半径作圆.⊙O即为所求.ABCO探究新知 3.如图，CD所在的直线垂直平分线段AB，怎样用这样的工具找到圆形工件的圆心．DABCO∵A、B两点在圆上，所以圆心必与A、B两点的距离相等，又∵和一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，∴圆心在CD所在的直线上，因此可以做任意两条直径，它们的交点为圆心.巩固练习解: 已知△ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C三点的圆.ABCO探究新知三角形的外接圆及外心知识点3 外接圆经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆.⊙O叫做△ABC的________，△ABC叫做⊙O的____________.到三角形三个顶点的距离相等.三角形的外心：定义：外接圆内接三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.作图：三角形三边中垂线的交点.性质：●OABC要点归纳探究新知 【练一练】判断下列说法是否正确.(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆.()(2)任意一个圆有且只有一个内接三角形.()(3)经过三点一定可以确定一个圆.()(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等.()√××√探究新知 画一画：分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点,钝角三角形的外心位于三角形外.ABC●OABCCAB┐●O●O探究新知 例3如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，O为原点，∠ABO＝60°，若△AOB的外接圆与y轴交于点D(0，3)．(1)求∠DAO的度数；(2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．解：(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°，∠DOA＝90°，∴∠DAO＝30°；圆与平面直角坐标系相结合的问题探究新知素养考点3 (2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．∵点D的坐标是(0，3)，∴OD＝3.在Rt△AOD中，∵∠DOA＝90°，∴AD为直径.又∵∠DAO=30°，∴AD＝2OD＝6，OA＝因此圆的半径为3．∴△AOB外接圆的面积是9π.解题妙招：图形中求三角形外接圆的面积时，关键是确定外接圆的直径(或半径)长度．探究新知点A的坐标(，0) 4.如图,已知直角坐标系中,A(0,4),B(4,4),C(6,2).(1)写出经过A,B,C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标.(2)判断点D(5,-2)和圆M的位置关系.巩固练习解：(1)在方格纸中，线段AB和BC的垂直平分线相交于点(2，0)，所以圆心M的坐标为(2，0).(2)圆的半径线段DM,所以点D在圆M内. 例4如图，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24cm，O到BC的距离是5cm，求△ABC的外接圆的半径．解：连接OB，过点O作OD⊥BC.D则OD＝5cm，在Rt△OBD中即△ABC的外接圆的半径为13cm.考查三角形的外接圆的有关知识探究新知素养考点4 5.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,则它的外心与顶点C的距离为(　　)A.5cmB.6cmC.7cmD.8cm巩固练习A 思考：经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？l1l2ABCP探究新知反证法知识点4如图，假设过同一条直线l上三点A、B、C可以作一个圆，设这个圆的圆心为P.那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，即点P为l1与l2的交点.而l1⊥l，l2⊥l这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾.所以过同一条直线上的三点不能作圆． 反证法的定义先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．反证法的一般步骤假设命题的结论不成立（提出与结论相反的假设）;从这个假设出发，经过推理，得出矛盾;由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.探究新知 例5求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.已知：△ABC求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.证明：假设，则。因此这与矛盾．假设不成立．因此．△ABC中没有一个内角小于或等于60°∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°三角形的内角和为180度△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.∠A+∠B+∠C>180°反证法的应用探究新知素养考点5 6.利用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设（）A.有一个锐角小于45°B.每一个锐角都小于45°C.有一个锐角大于45°D.每一锐角都大于45°巩固练习D 1.已知△ABC的三边a，b，c，满足a+b2+|c﹣6|+28=4+10b，则△ABC的外接圆半径=．巩固练习连接中考2.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BC=4，则⊙O的直径为．4 1.如图，请找出图中圆的圆心，并写出你找圆心的方法?ABCO课堂检测基础巩固题 2.正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作⊙A，则点B在⊙A；点C在⊙A；点D在⊙A.上上外3.⊙O的半径r为5cm，O为原点，点P的坐标为（3,4），则点P与⊙O的位置关系为（）A.在⊙O内B.在⊙O上C.在⊙O外D.在⊙O上或⊙O外B课堂检测基础巩固题 4.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则它的外接圆半径=.55.如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝20°，则∠C的度数是________．70°课堂检测基础巩固题 1.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）MRQABCPA．点PB．点QC．点RD．点MB课堂检测能力提升题 1·2cm3cm2.画出由所有到已知点的距离大于或等于2cm并且小于或等于3cm的点组成的图形.O课堂检测能力提升题 某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘要确定其圆心和半径,请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．解：(1)在圆形瓷盘的边缘选A、B、C三点；(2)连接AB、BC；(3)分别作出AB、BC的垂直平分线；(4)两垂直平分线的交点就是瓷盘的圆心.ABC课堂检测拓广探索题 点与圆的位置关系点在圆外点在圆上点在圆内d>rd=rd<r作圆过一点可以作无数个圆过两点可以作无数个圆定理：过不在同一直线上的三个点确定一个圆注意：同一直线上的三个点不能作圆点P在圆环内r≤d≤RRrP课堂小结 一个三角形的外接圆是唯一的.反证法定义步骤假设，推理，得证三角形的外心定义性质在各类三角形中的位置课堂小结 课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习