24.3正多边形和圆第一课时第二课时人教版数学九年级上册 第一课时正多边形的相关概念及计算返回 观察上边的美丽图案，思考下面的问题：（1）这些都是生活中经常见到的利用正多边形得到的物体，你能找出正多边形吗？ （2）你知道正多边形和圆有什么关系吗？怎样做一个正多边形呢？ 3.会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题.1.了解正多边形和圆的有关概念.2.理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系. 问题1什么叫做正多边形？各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.问题2矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？不是，因为矩形不符合各边相等；不是，因为菱形不符合各角相等；注意正多边形各边相等各角相等缺一不可正多边形的对称性知识点1 问题3正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？ 正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，只有边数为偶数的正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形.问题4正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？归纳 正多边形的有关概念OABCD问题1以正四边形为例,根据对称轴的性质，你能得出什么结论？EFGHEF是边AB、CD的垂直平分线，∴OA=OB，OD=OC.GH是边AD、BC的垂直平分线，∴OA=OD；OB=OC.∴OA=OB=OC=OD.∴正方形ABCD有一个以点O为圆心的外接圆.知识点2 OABCDEFGHAC是∠DAB及∠DCB的角平分线，BD是∠ABC及∠ADC的角平分线，∴OE=OH=OF=OG.∴正方形ABCD还有一个以点O为圆心的内切圆. 1.所有的正多边形是不是也都有一个外接圆和一个内切圆？任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.2.一个正多边形的各个顶点在同一个圆上?3.所有的多边形是不是都有一个外接圆和内切圆？一个正多边形的各个顶点在同一个圆上，则这个正多边形就是这个圆的一个内接正多边形，圆叫做这个正多边形的外接圆.多边形不一定有外接圆和内切圆，只有是正多边形时才有，任意三角形都有外接圆和内切圆.想一想 OABCDEFGHRr正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫作正多边形的中心.外接圆的半径叫作正多边形的半径.内切圆的半径叫作正多边形的边心距.正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.正多边形的每个中心角都等于 中心角ABCDEFO半径R边心距r中心正多边形边数内角中心角外角346n60°120°120°90°90°90°120°60°60°正多边形的外角=中心角完成下面的表格：练一练 如图，已知半径为4的圆内接正六边形ABCDEF：①它的中心角等于度；②OCBC(填＞、＜或＝）；③△OBC是三角形；④圆内接正六边形的面积是△OBC面积的倍.⑤圆内接正n边形面积公式:_______________________.CDOBEFAP60=等边6正多边形的有关计算知识点3 例1有一个亭子,它的地基是半径为4m的正六边形,求地基的周长和面积(精确到0.1m2).CDOEFAP抽象成正多边形的有关计算素养考点 利用勾股定理,可得边心距亭子地基的面积：在Rt△OMB中,OB＝4,MB＝4mOABCDEFMr解：过点O作OM⊥BC于M. 1.如图所示，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ADE的度数是（）A．60°B．45°C．36°D．30°·ABCDEOC 2.作边心距，构造直角三角形.1.连半径，得中心角；OABCDEFRMr·方法归纳：圆内接正多边形的辅助线O边心距r边长一半半径RCM中心角一半 2.已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？广东省怀集县中洲镇泰来学校李周林解：∵直角三角形两直角边之和为8,设一边长x∴另一边长为8-x。则该直角三角形面积：S=（8-x）x÷2即当x==4,另一边为4时，S有最大值＝8∴当两直角边都是4时，直角面积最大，最大值为8. 1.图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=度连接中考解析：由多边形的外角和等于360°可知，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°.连接中考360 正多边形边数半径边长边心距周长面积34161.填表2128422122.若正多边形的边心距与半径的比为1:2，则这个多边形的边数是.3基础巩固题 4.要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要____cm.也就是要找这个正方形外接圆的直径3.如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正七边形，则一个内角为度.（不取近似值）基础巩固题 1.如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，求⊙O的面积．解：∵正方形的面积等于4，∴⊙O的面积为∴正方形的边长AB=2.则圆的直径AC=2，∴⊙O的半径=能力提升题 ABCDEFP2.如图，正六边形ABCDEF的边长为，点P为六边形内任一点．则点P到各边距离之和是多少？∴点P到各边距离之和=3BD=3×6=18．解：过P作AB的垂线，分别交AB、DE于H、K，连接BD，作CG⊥BD于G.GHK∴P到AF与CD的距离之和，及P到EF、BC的距离之和均为HK的长.∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，∵BC=CD，∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°，∴∠CBD=∠BDC=30°，BD∥HK，且BD=HK.∴CG=BC=∵CG⊥BD，∴BD=2BG=2×=2×3=6.能力提升题 如图,M,N分别是☉O内接正多边形AB,BC上的点,且BM=CN.(1)求图①中∠MON=_______;图②中∠MON=;图③中∠MON=;(2)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系.ABCDEABCD.ABCMNMNMNOOO90°72°120°图①图②图③拓广探索题 正多边形正多边形的有关概念正多边形的有关计算添加辅助线的方法：连半径，作边心距中心半径边心距中心角正多边形和圆中心角内角外角周长面积正多边形的定义正多边形的性质任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.所有正多边形都是轴对称图形，边数为偶数时，它既是轴对称图形又是中心对称图形 第二课时正多边形的画法返回 正多边形和圆有什么关系？你能借助圆画一个正多边形吗？·O 2.掌握画正多边形的关键——等分圆周的两种方法：一是量角器等分圆周；二是用尺规作图等分圆周.1.掌握正多边形的画法. 多姿多彩的正多边形:观察生活中的正多边形图案.正多边形的画法活动1知识点 几种常见的正多边形 由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性，所以会画正多边形应是学生必备能力之一.怎样画一个正多边形呢？问题1：已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形.120°①用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°．②用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°．AOCB活动2 活动3你能用以上方法画出正四边形、正五边形、正六边形吗？·ABCDO·ABCDEOOABCDEF·90°72°60° 活动4你能尺规作出正四边形、正八边形吗？·ABCDO只要作出已知⊙O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即得圆接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形…… 活动5你能尺规作出正六边形、正三角形、正十二边形吗？OABCEF·D以半径长在圆周上截取六段相等的弧，依次连结各等分点，则作出正六边形.先作出正六边形，则可作正三角形，正十二边形，正二十四边形……… 活动6说说作正多边形的方法有哪些?（1）用量角器等分圆周作正n边形；（2）用尺规作正方形及由此扩展作正八边形,用尺规作正六边形及由此扩展作正12边形、正三角形． 例已知☉O和☉O上的一点A(如图).求作☉O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH;正多边形的画法素养考点解：作法:①作直径AC;②作直径BD⊥AC;③依次连接A、B、C、D四点.∴四边形ABCD即为☉O的内接正方形.④分别以A、C为圆心,OA的长为半径作弧,交☉O于E、H、F、G;⑤顺次连接A、E、F、C、G、H各点;∴六边形AEFCGH为☉O的内接正六边形,如图所示.AO.. 画一个半径为2cm的正五边形，再作出这个正五边形的各条对角线，画出一个五角星. 尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A、B、C、D、E、F六个分点；②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点；③连结OG．问：OG的长是多少？大臣给出的正确答案应是（）A．rB．（1+）rC．（1+）rD．r连接中考D 解：如图连接CD、AC、DG、AG．∵AD是⊙O直径，∴∠ACD=90°，在Rt△ACD中，AD=2r，DC=OD=r，∠DAC=30°，∴AC=r，∵DG=AG=CA，OD=OA，∴OG⊥AD，∴∠GOA=90°，∴OG===，连接中考 广东省怀集县大岗镇中心初级中学石迎伦在图中，用尺规作图画出圆O的内接正三角形．R作法：1.作出圆的任意一条半径，2.作半径的垂直平分线，交圆于点A、B，3.分别以A、B为圆心，线段AB的长为半径作弧，两户交于点C，连接AC、BC.则△ABC即为所求.ABC基础巩固题 利用量角器画一个边长为2cm的正六边形．作法：如图，以2cm为半径作一个⊙O，用量角器画一个等于的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的6个等分点，顺次连接各分点，即可得出正六边形．·60°O90018060120能力提升题 一个平面封闭图形内(含边界)任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形(依次为正三角形、正方形、正六边形、圆)的周率从左到右依次记为a1，a2，a3，a4，则下列关系中正确的是()A.a4＞a2＞a1B.a4＞a3＞a2C.a1＞a2＞a3D.a2＞a3＞a4B拓广探索题 画一个正十二边形.作法：如图，分别以⊙O的四等分点A，B，E，F为圆心，以⊙O的半径长为半径，画8条弧与⊙O相交，就可以把⊙O分成12等份，依次连接各等分点，即得到正十二边形.拓广探索题 1.画正多边形的方法：由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角就可以等分圆周，从而得到相应的正多边形.2.画正多边形的方法1.用量角器等分圆2.尺规作图等分圆 作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习课后作业