24.4弧长和扇形的面积第一课时第二课时人教版数学九年级上册 第一课时返回弧长和扇形面积计算公式 问题1如图，在运动会的4×100米比赛中，甲和乙分别在第1跑道和第2跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？问题2怎样来计算弯道的“展直长度”？因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的.导入新知 2.知道公式中字母的含义，并能正确运用这些公式进行相关计算.1.能推导弧长和扇形面积的计算公式.素养目标 弧长计算公式及相关的计算问题1半径为R的圆,周长是多少？OR问题2①360°的圆心角所对的弧长是多少？②1°的圆心角所对的弧长是多少？③n°的圆心角所对的弧长是多少？探究新知知识点1 问题3下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几?弧长是多少？OR180°OR90°OR45°ORn°探究新知弧长=·2πR=弧长=·2πR=弧长=·2πR=弧长=·2πR= 用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.注意算一算已知弧所对的圆心角为60°，半径是4，则弧长为____.弧长公式探究新知 例1制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度l.(单位：mm，精确到1mm)解：由弧长公式，可得弧AB的长因此所要求的展直长度l=2×700+1570=2970（mm）.答：管道的展直长度为2970mm．700mm700mmR=900mm(100°ACBDO弧长公式的应用700mm素养考点1探究新知 解：设半径OA绕轴心O逆时针方向旋转的度数为n°。解得n≈90°因此，滑轮旋转的角度约为90°.1.一滑轮起重机装置（如图），滑轮的半径r=10cm，当重物上升15.7cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O逆时针方向旋转多少度（假设绳索与滑轮之间没有滑动，取3.14）？巩固练习·OA 圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形.如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB.半径半径OBA圆心角弧OBA扇形扇形面积计算公式及相关的计算探究新知知识点2 下列图形是扇形吗？判一判√×××√探究新知 问题1半径为r的圆,面积是多少？Or问题3下页图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，具体是多少呢?问题2①360°的圆心角所对扇形的面积是多少？②1°的圆心角所对扇形的面积是多少？③n°的圆心角所对扇形的面积是多少？探究新知 圆心角占周角的比例扇形面积占圆面积的比例扇形的面积Or180°Or90°Or45°Orn°探究新知 扇形面积公式半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的面积①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.注意探究新知 大小不变时，对应的扇形面积与有关，越长，面积越大.圆心角半径半径圆的不变时，扇形面积与有关，越大，面积越大.圆心角半径圆心角总结：扇形的面积与圆心角、半径有关.O●ABDCEFO●ABCD问题扇形的面积与哪些因素有关？探究新知 问题：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？想一想:扇形的面积公式与什么公式类似？ABOO探究新知 例2如图，圆心角为60°的扇形的半径为10cm.求这个扇形的面积和周长.（精确到0.01cm2和0.01cm）OR60°解：∵n=60，r=10cm，∴扇形的面积为扇形的周长为扇形面积公式的应用探究新知素养考点2 2.已知半径为2cm的扇形，其弧长为，则这个扇形的面积S扇=．3.已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积S扇=.巩固练习 例3如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积.（精确到0.01cm）(1)O.BAC讨论：(1)截面上有水部分的面积是指图上哪一部分？阴影部分.求阴影部分的面积探究新知素养考点3 O.BACD(2)O.BACD(3)(2)水面高0.3m是指哪一条线段的长？这条线段应该怎样画出来？线段DC.过点O作OD垂直于AB并交圆O于C.(3)要求图中阴影部分面积，应该怎么办？阴影部分面积=扇形OAB的面积-△OAB的面积探究新知 解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D，交AB于点C,连接AC.∵OC＝0.6,DC＝0.3,∴OD＝OC-DC＝0.3，∴OD＝DC.又AD⊥DC，∴AD是线段OC的垂直平分线，∴AC＝AO＝OC.从而∠AOD＝60˚,∠AOB=120˚.O.BACD(3)探究新知有水部分的面积：S＝S扇形OAB-SΔOAB OO弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积S弓形=S扇形-S三角形S弓形=S扇形+S三角形弓形的面积公式探究新知 2π4.如图，扇形OAB的圆心角为60°，半径为6cm，C，D是弧AB的三等分点，则图中阴影部分的面积和是_____．解析：阴影部分的面积就是扇形OAC的面积，由题意得：∠AOC=60°÷3=20°.S扇形OAC==2π.巩固练习2π 1.如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD=30°，BO=4，则的长为（　　）A．B．C．2πD．解析：连接OD，∵∠ABD=30°，∴∠AOD=2∠ABD=60°，∴∠BOD=120°，∴的长==.巩固练习D连接中考 2.如图，在平行四边形ABCD中，∠B=60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是（　　）A．πB．2πC．3πD．6π巩固练习C连接中考解析：在平行四边形ABCD中，∵∠B=60°，∴∠C=120°，又∵⊙C的半径为3，∴图中阴影部分的面积是：=3π， 2.如图，Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°,BC=2,O、H分别为AB、AC的中点，将△ABC顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过的面积为（）B．C.D.1.已知弧所对的圆心角为90°,半径是4,则弧长.CABCOHC1A1H1O1课堂检测基础巩固题 3.如图，☉A、☉B、☉C、☉D两两不相交，且半径都是2cm，则图中阴影部分的面积是.ABCD课堂检测基础巩固题 1.如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC＝，∠ACB＝90°，∠A＝30°.若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为________(结果用含π的式子表示)．A1A2C1课堂检测能力提升题l 2.如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积.OABDCE解：课堂检测能力提升题 如图，一个边长为10cm的等边三角形模板ABC在水平桌面上绕顶点C按顺时针方向旋转到△A'B'C的位置，求顶点A从开始到结束所经过的路程为多少.ABA'B'C解:由图可知，由于∠A'CB'=60°，则等边三角形木板绕点C按顺时针方向旋转了120°，即∠ACA'=120°，这说明顶点A经过的路程长等于弧AA'的长.∵等边三角形ABC的边长为10cm，∴弧AA'所在圆的半径为10cm.∴l弧AA'答：顶点A从开始到结束时所经过的路程为课堂检测拓广探索题 弧长计算公式：扇形定义公式阴影部分面积求法：整体思想弓形公式S弓形=S扇形-S三角形S弓形=S扇形+S三角形割补法课堂小结 第二课时返回圆锥的侧面积及全面积 下面图片是什么形状的？你会求它们的面积吗？ 2.会求圆锥的侧面积，并能解决一些简单的实际问题.1.体会圆锥侧面积的探索过程. 圆锥及相关概念知识点1 顶点母线底面半径侧面高圆锥的形成 圆锥的高母线SAOBr我们把连接圆锥的顶点S和底面圆上任一点的连线SA，SB等叫做圆锥的母线．圆锥的母线圆锥有无数条母线，它们都相等．圆锥的高从圆锥的顶点到圆锥底面圆心之间的距离是圆锥的高． 要点归纳h由勾股定理得：如果用r表示圆锥底面的半径,h表示圆锥的高线长,l表示圆锥的母线长,那么r、h、l之间数量关系是：r2+h2=l2Or 填一填:根据下列条件求值（其中r、h、l分别是圆锥的底面半径、高线、母线长）（1）l=2，r=1则h=_______.(2)h=3,r=4则l=_______.(3)l=10,h=8则r=_______.56hOr lor思考：圆锥的侧面展开图是什么图形？扇形圆锥的侧面展开图是扇形.圆锥的侧面展开图知识点2 问题：1.沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这个扇形的弧长与底面的周长有什么关系？2.圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径与圆锥中的哪一条线段相等？ lo侧面展开图概念对比rlr扇形其侧面展开图扇形的半径=母线的长侧面展开图扇形的弧长=底面周长 圆锥的侧面积计算公式的推导lo侧面展开图lr圆锥的全面积计算公式(r表示圆锥底面的半径,l表示圆锥的母线长)∵又∵∴（l为弧长，R为扇形的半径） 例1一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°、弧长为20的扇形，试求该圆锥底面的半径及它的母线的长.解：设该圆锥的底面的半径为r，母线长为a.可得r=10.可得a=30.又圆锥有关概念的计算素养考点1 1.如图所示的扇形中，半径R=10，圆心角θ=144°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面.(1)则这个圆锥的底面半径r=．(2)这个圆锥的高h=.ACBθR=10Or4 αOhrl例2如图，圆锥形的烟囱帽，它的底面直径为80cm,母线为50cm.在一块大铁皮上裁剪时，如何画出这个烟囱帽的侧面展开图？求出该侧面展开图的面积.解：该烟囱的侧面展开图是扇形，如图所示.设该扇形的面积为S.圆锥有关面积的计算素养考点2 解法一解法二S=×2πr·l=×2π×40×50=2000π解法三S=πr·l=π×40×50=2000π 2.已知一个圆锥的底面半径为12cm，母线长为20cm，则这个圆锥的侧面积为，全面积为. 例3蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面积为35m2，高为3.5m，外围高为1.5m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡（精确到1m2）？利用圆锥的面积解决实际问题素养考点3 解：如图是一个蒙古包示意图．根据题意，下部圆柱的底面积为35m2，高为1.5m；上部圆锥的高为3.5－1.5=2（m）．圆柱的底面积半径为圆锥的母线长为圆柱的侧面积为2π×3.34×1.5≈31.46（平方米），侧面展开扇形的弧长为圆锥的侧面积为20×（31.46+40.81）≈1446（平方米）．答：至少需要1446平方米的毛毡. 3.圆锥形烟囱帽(如图)的母线长为80cm，高为38.7cm,求这个烟囱帽的面积（取3.14，结果保留2个有效数字）解：∵l=80，h=38.7∴r=∴S侧=πrl≈3.14×70×80≈1.8×104（cm2）答：烟囱帽的面积约为1.8×104cm2.lhr 如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2，圆柱高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是（　　）A．（30+5）πm2B．40πm2C.（30+5）πm2D．55πm2A连接中考 1.圆锥的底面半径为3cm，母线长为6cm，则这个圆锥侧面展开图扇形的圆心角是_______．2.一个扇形，半径为30cm，圆心角为120度，用它做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面半径为_____．180°10cm3.已知圆锥的底面的半径为3cm，高为4cm，则它的侧面积是，全面积是．15πcm224πcm2基础巩固题 如图，已知圆锥的母线长AB=8cm，轴截面的顶角为60°，求圆锥全面积.解：∵AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形.∴AB=BC=AC=8cm.∴S侧=πrl=π×4×8=32π(cm2),S底=πr2=π×4×4=16π(cm2),∴S全=S侧+S底=48π(cm2).能力提升题 （1）在半径为10的圆的铁片中，要裁剪出一个直角扇形，求能裁剪出的最大的直角扇形的面积？（2）若用这个最大的直角扇形恰好围成一个圆锥，求这个圆锥的底面圆的半径？（3）能否从最大的余料③中剪出一个圆做该圆锥的底面？请说明理由．ABC①②③O拓广探索题 解：（1）连接BC，则BC=20，∵∠BAC=90°，AB=AC，（3）延长AO交⊙O于点F，交扇形于点E，EF=最大半径为所以不能．ABC①②③O∴S扇形=∴AB=AC=（2）圆锥侧面展开图的弧长为：EF 课堂小结r2+h2=l2S圆锥侧＝πrl.S圆锥全＝S圆锥侧+S圆锥底＝πrl+πr2圆锥的高母线rSAOBhlo侧面展开图r底面①其侧面展开图扇形的半径=母线的长l②侧面展开图扇形的弧长=底面周长重要图形重要结论 作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习课后作业