27.2.2相似三角形的性质人教版数学九年级下册27.2相似三角形 相似三角形的判定方法有哪几种？1.对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似.2.平行于三角形一边，与另外两边相交所构成的三角形与原三角形相似.3.三边对应成比例的两三角形相似.4.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.5.两角分别相等的两个三角形相似.6.两边对应成比例的两直角三角形相似.导入新知 三角形除了三个角,三条边外,还有哪些几何量?【思考】如果两个三角形相似，那么它们的这些几何量有一些怎样的性质呢?高线角平分线中线面积周长导入新知 1.在理解相似三角形特征的基础上，掌握相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线、周长、面积的比等性质，并运用其进行计算与推理.2.通过实践体会相似三角形的性质，会用性质与判定解决相关的问题.素养目标3.通过学习相似三角形的性质，体验类比、转化、数形结合的数学思想. ABCA'B'C'探究新知知识点1相似三角形对应线段的比如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为，它们对应高线、对应中线、对应角平分线的比各是多少？ ACBA′B′C′（2）探究新知△ABC∽△A′B′C′相似比为对应高的比D′D CA′B′C′（1）探究新知△ABC∽△A′B′C′相似比为对应中线的比D′DAB CA′B′C′（3）探究新知△ABC∽△A′B′C′相似比为对应角平分线的比D′DAB 如图，△ABC∽△A′B′C′，若相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比又各是多少？ABCA'B'C'探究新知 相似三角形对应高的比等于相似比证明：∵△A′B′C′∽△ABC，∴∠B′=∠B．又∵∠A'D′B'=∠ADB=90°,∴△A′B′D′∽△ABD.从而.如图，△A′B′C′∽△ABC，相似比为k，分别作BC，B′C′上的高AD，A′D′．求证：探究新知 证明：∵△ABC∽△DEF.相似三角形对应中线的比等于相似比.ABCMDEFN又∵AM、DN分别是△ABC和△DEF的中线.∴△ABM∽△DEN.求证：已知：△ABC∽△DEF.AM、DN分别为中线.探究新知∴BC=2BM,EF=2EN,∴∴∴∠B=∠E, 证明：∵△ABC∽△DEF.∴∠B=∠E,∠BAC=∠EDF.又∵AM、DN分别是∠BAC和∠EDF的角平分线.相似三角形对应角平分线的比等于相似比.ABCMDEFN求证：已知：△ABC∽△DEF.AM、DN分别为角平分线.探究新知∴∴∠BAM=∠EDN.∴△AMB∽△DNE.∴，， 相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比.相似三角形对应高的比等于相似比.一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比.探究新知归纳总结 解：∵△ABC∽△DEF，DEFH例已知△ABC∽△DEF，BG、EH分别是△ABC和△DEF的角平分线，BC=6cm，EF=4cm，BG=4.8cm.求EH的长.∴.∴，解得EH=3.2.AGBC故EH的长为3.2cm.探究新知素养考点1利用相似三角形对应线段的比求线段的长度 相似三角形对应边的比为2∶3,那么相似比为________,对应角的角平分线的比为.2∶32∶3两个相似三角形对应边上的高的比为1∶4,若一个三角形的最长边是为12，则另一个三角形的最长边是_______.3或48巩固练习 相似三角形的周长比也等于相似比吗？为什么？【想一想】探究新知知识点2相似三角形周长的比 相似三角形周长的比等于相似比.已知：求证：证明1：∴.∴(等比性质).ACBB′A′C′探究新知∵△ABC∽△A′B′C′,△ABC∽△A′B′C′. ABC证明2：∴AB=kA′B′，BC=kB′C′，AC=kA′C′探究新知相似三角形的周长比等于相似比.∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为k.∴.A′B′C′ 相似三角形对应边的比为2∶5,那么周长比为________.2∶5两个相似三角形周长的比为1∶7,则它们的相似比为_______,对应边上角平分线的比为_______.1∶71∶7巩固练习 如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们的面积比是多少？ABCA'B'C'探究新知知识点3相似三角形面积的比 由前面的结论，我们有ABCA'B'C'D'D探究新知 ∴几何表述:相似三角形性质定理:相似三角形面积的比等于相似比的平方.探究新知∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，归纳:∴.A′B′C′ABC 已知两个三角形相似，请完成下列表格：相似比2k……周长比……面积比10000……24100100kk2巩固练习 解：在△ABC和△DEF中，∵AB=2DE，AC=2DF，又∵∠D=∠A，∴△DEF∽△ABC，相似比为1:2.ABCDEF∴例1如图，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D.若△ABC的边BC上的高为6，面积为，求△DEF的边EF上的高和面积.探究新知素养考点1利用相似三角形面积的比求面积或线段 ABCDEF面积为探究新知∴△DEF的边EF上的高为，∵△ABC的边BC上的高为6，面积为， 如果两个相似三角形的面积之比为4:9，较大三角形一边上的高为18，则较小三角形对应边上的高为______.巩固练习12 ∴△ADE∽△ABC.∵它们的相似比为3:5，∴面积比为9:25.BCADE解：∵∠BAC=∠DAE，且素养考点2利用相似三角形面积的比求多边形的面积(比）探究新知例2如图，D，E分别是AC，AB上的点，已知△ABC的面积为100cm2，且，求四边形BCDE的面积.又∵△ABC的面积为100cm2，∴△ADE的面积为36cm2.∴四边形BCDE的面积为100－36=64(cm2). 如图，这是圆桌正上方的灯泡（点A）发出的光线照射桌面形成阴影的示意图，已知桌面的直径为1.2米，桌面距离地面为1米，若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积约为多少(结果保留两位小数)？ADEFCBH解：∵FH=1米，AH=3米，桌面的直径为1.2米，∴AF=AH－FH=2(米)，DF=1.2÷2=0.6(米).∵DF∥CH，∴△ADF∽△ACH，巩固练习 ∴即解得CH=0.9米.(平方米).答：地面上阴影部分的面积为2.54平方米.巩固练习∴阴影部分的面积为：ADEFCBH 连接中考C1.两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（　　）A．B．2：3C．4：9D．8：272.已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为（　　）A．32B．8C．4D．16C 2.如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B=∠C=90°，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河宽AB=_____m．C课堂检测基础巩固题1001.在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积之比为（　　）A．B．C．D． 3.把一个三角形变成和它相似的三角形，(1)如果边长扩大为原来的5倍，那么面积扩大为原来的______倍；(2)如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为原来的______倍.2510课堂检测 4.两个相似三角形的一对对应边分别是35cm、14cm，(1)它们的周长差60cm，这两个三角形的周长分别是________________；(2)它们的面积之和是58cm2，这两个三角形的面积分别是______________.100cm、40cm50cm2、8cm2课堂检测 如图，△ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，EF∥AB.当D点为AB中点时，求S四边形BFED:S△ABC的值.ABCDFE解：∵DE∥BC，D为AB中点，∴△ADE∽△ABC，相似比为1:2，因此面积比为1:4.∴课堂检测能力提升题 ABCDFE又∵EF∥AB，∴△EFC∽△ABC，相似比为1:2，面积比为1:4.设S△ABC=4，则S△ADE=1，S△EFC=1，S四边形BFED=S△ABC－S△ADE－S△EFC=4－1－1=2，∴S四边形BFED:S△ABC=2:4=.课堂检测 如图，△ABC中，DE∥BC，DE分别交AB、AC于点D、E，S△ADE＝2S△DCE，求S△ADE∶S△ABC解：过点D作AC的垂线，交点为F，则∴又∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.ABCDEF课堂检测拓广探索题 ∴即S△ADE:S△ABC＝4:9.课堂检测ABCDEF 相似三角形的性质相似三角形对应线段的比等于相似比相似三角形面积的比等于相似比的平方课堂小结相似三角形周长的比等于相似比 课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习