28.1锐角三角函数(第1课时)人教版数学九年级下册 鞋跟多高合适美国人体工程研究学人员调查发现，当高跟鞋的鞋底与地面的夹角为11°左右时，人脚的感觉最舒适，假设某成年人前脚掌到脚后跟长为15厘米，请问鞋跟在几厘米高度为最佳？11˚导入新知 1.经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实.2.理解锐角正弦的概念，掌握正弦的表示方法.素养目标3.会根据直角三角形的边长求一个锐角的正弦值，并且能利用正弦求直角三角形的边长. 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？分析：这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即可得AB＝2BC＝70m，也就是说，需要准备70m长的水管．ABC探究新知知识点正弦的定义解：BAC30°35m 【思考】在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？ABC50m35mB'C'AB'＝2B'C'＝2×50＝100(m).探究新知在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，由于∠A＝45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得:因此.在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于.如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比，你能得出什么结论？ABC探究新知,, 探究新知归纳总结综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于，是一个固定值；当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于，也是一个固定值. 【思考】一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？探究新知 ABCA'B'C'任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么与有什么关系？你能解释一下吗？探究新知 因为∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.因此在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值．探究新知 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA即例如，当∠A＝30°时，我们有当∠A＝45°时，我们有ABCcab对边斜边归纳：探究新知∠A的对边斜边sinA= 注意sinA是一个完整的符号，它表示∠A的正弦，记号里习惯省去角的符号“∠”；sinA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与斜边的比；sinA不表示“sin”乘“A”.探究新知 例1如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．解：（1）在Rt△ABC中，因此（2）在Rt△ABC中，因此探究新知素养考点1利用正弦的定义求有关角的正弦值ABC34（1）ABC135（2）求sinA就是要确定∠A的对边与斜边的比；求sinB就是要确定∠B的对边与斜边的比.,,,,.. 判断对错:A10m6mBC(1)（）(2)（）(3)sinA=0.6m（）(4)sinB=0.8（）√√××sinA是一个比值（注意比的顺序），无单位；2)如图②，（）×巩固练习ABC1)如图①图①图② 在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大100倍，sinA的值()A.扩大100倍B.缩小C.不变D.不能确定C巩固练习 例2如图，在平面直角坐标系内有一点P(3，4)，连接OP，求OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值.解：如图，设点A(3，0)，连接PA.A(3，0)在Rt△APO中，由勾股定理得因此α探究新知素养考点2在平面直角坐标系内求锐角的正弦值 探究新知方法点拨结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值，一般过已知点向x轴或y轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解. ABxy在平面直角坐标系中,已知点A(3,0)和B(0,-4),则sin∠OAB等于____345巩固练习 例3如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，，BC=3，求sinB及Rt△ABC的面积.ABC提示：已知sinA及∠A的对边BC的长度，可以求出斜边AB的长.然后再利用勾股定理，求出AC的长度，进而求出sinB及Rt△ABC的面积.素养考点3探究新知利用正弦求直角三角形的边长 ∴AB=3BC=3×3=9.∴∴∴探究新知ABC解：∵在Rt△ABC中，∴. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=k，sinB=h，AB=c，则BC=ck，AC=ch.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=k，sinB=h，BC=a，则归纳：探究新知ABC，. 8巩固练习如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，，BC的长是．AＣB 解：设BC=7x，则AB=25x，在Rt△ABC中，由勾股定理得即24x=24cm，解得x=1cm.故BC=7x=7cm，AB=25x=25cm.所以△ABC的周长为AB+BC+AC=7+24+25=56(cm).探究新知素养考点4利用方程和正弦求直角三角形中线段的长度例4在△ABC中，∠C=90°，AC=24cm，，求这个三角形的周长． 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,,AC=12.求sinB的值.513解:在Rt△ABC中,设AB=13x，BC=5x,由勾股定理得：(5x)2+122=(13x)2.ABC12巩固练习解得x=1.所以AB=13，BC=5.因此 连接中考A1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，则sinB=（）A．B．C．D．ABC 2.如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的正弦值是_______．连接中考 1.如图，已知点P的坐标是(a，b)，则sinα等于()OxyP(a，b)αA.B.C.D.D课堂检测基础巩固题 2.在直角三角形ABC中，若三边长都扩大2倍，则锐角A的正弦值（）A.扩大2倍B.不变C.缩小D.无法确定B课堂检测 DA.4B.6C.8D.102课堂检测3.在Rt△ABC中，∠C=90°，，BC=6，则AB的长为（）4.在△ABC中，∠C=90°，如果，AB=6，那么BC=_____. 5.如图，在正方形网格中有△ABC，则sin∠ABC的值为.课堂检测解析：∵，，，∴.∴AB2＝BC2＋AC2.∴∠ACB＝90°. 如图，在△ABC中，AB=BC=5，，求△ABC的面积.D55CBA解：作BD⊥AC于点D，∴又∵△ABC为等腰三角形,BD⊥AC,∴AC=2AD=6，∴S△ABC=AC×BD÷2=12.课堂检测能力提升题∵， 求一个角的正弦值，除了用定义直接求外，还可以转化为求和它相等角的正弦值.如图,∠C=90°，CD⊥AB.sinB可以由哪两条线段之比得到?若AC=5,CD=3,求sinB的值.┌ACBD解:∵∠B=∠ACD,∴sinB=sin∠ACD.在Rt△ACD中,，课堂检测拓广探索题∴.∴, 正弦函数正弦函数的概念正弦函数的应用已知边长求正弦值已知正弦值求边长∠A的对边斜边sinA=课堂小结 课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习