2021年九年级数学上册第21章二次函数与反比例函数整合提升训练（有答案沪科版）
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2021-11-02 01:36:56
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解码专训一：函数中的决策问题名师点金：函数中的决策问题通常包括三类：利用一次函数进行决策，利用二次函数进行决策，利用反比例函数作决策．其解题思路一般是先建立函数模型，将实际问题转化为函数问题，然后利用函数的图象和性质去分析、解决问题．利用一次函数作决策题型1 购买方案1．(2015·临沂)新农村社区改造中，有一部分楼盘要对外销售．某楼盘共23层，销售价格如下：第八层楼房售价为4000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价提高50元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价降低30元，已知该楼盘每套楼房面积均为120米2.若购买者一次性付清所有房款，开发商有两种优惠方案：方案一：降价8%，另外每套楼房赠送a元装修基金；方案二：降价10%，没有其他赠送．(1)请写出售价y(元/米2)与楼层x(1≤x≤23，x取整数)之间的函数表达式；(2)老王要购买第十六层的一套楼房，若他一次性付清购买房款，请帮他计算哪种优惠方案更合算．题型2 生产方案2．(2015·无锡)某工厂以80元/箱的价格购进60箱原材料，准备由甲，乙两车间全部用于生产A产品，甲车间用每箱原材料可生产出A产品12千克，需耗水4吨；乙车间通过节能改造，用每箱原材料可生产出的A产品比甲车间少2千克，但耗水量是甲车间的一半．已知A产品售价为30元/千克，水价为5元/吨．如果要求这两车间生产这批产品的总耗水量不得超过200吨，那么该厂如何分配两车间的生产任务，才能使这次生产所能获取的利润w最大？最大利润是多少？(注：利润＝产品总售价－购买原材料成本－水费)28,题型3 运输方案3．(2015·荆州)荆州素有“鱼米之乡”的美称，某渔业公司组织20辆汽车装运鲢鱼、草鱼、青鱼共120吨去外地销售．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种鱼，且必须装满．根据下表提供的信息，解答以下问题：鲢鱼草鱼青鱼每辆汽车装鱼量(吨)865每吨鱼获利(万元)0.250.30.2(1)设装运鲢鱼的车辆为x辆，装运草鱼的车辆为y辆，求y与x之间的函数表达式；(2)如果装运每种鱼的车辆不少于2辆，那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大？并求出最大利润．利用二次函数作决策题型1 几何问题中的决策4．如图，有长为24m的围栏，一面利用墙(墙的最大可用长度a为10m)，围成中间隔有一道栅栏的长方形鸡舍．设鸡舍的宽AB为xm，面积为Sm2.(1)求S与x的函数表达式；(2)如果围成面积为45m2的鸡舍，AB的长是多少米？(3)能围成面积比45m2更大的鸡舍吗？如果能，请求出最大面积；如果不能，请说明理由．(第4题)28,5．如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P运动到B时，P，Q两点停止运动，设P点运动时间为t(s)．(1)当t为何值时，△PBQ是直角三角形？(2)设四边形APQC的面积为ycm2，求y关于t的函数表达式，当t取何值时，四边形APQC的面积最小？并求出最小值．(第5题)题型2 实际问题中的决策6．(2014·资阳)某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y1(元/台)与采购数量x1(台)满足y1＝－20x1＋1500(0＜x1≤20，x1为整数)；冰箱的采购单价y2(元/台)与采购数量x2(台)满足y2＝－10x2＋1300(0＜x2≤20，x2为整数)．(1)经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的倍，且空调采购单价不低于1200元/台，问该商家共有几种进货方案？(2)该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．在(1)的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润．7．某宾馆有50个房间供游客住宿．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的定价不得高于340元．设每个房间每天的定价增加x元(x为10的整数倍)．(1)设一天订住的房间数为y，直接写出y与x之间的函数表达式及自变量x的取值范围；28,(2)设宾馆一天获得的利润为W元，求W与x之间的函数表达式；(3)一天订住多少个房间时，宾馆获得的利润最大？最大利润是多少元？利用反比例函数作决策8．某市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为106立方米，某运输公司承担了该项工程中运送土石方的任务．(1)该运输公司平均每天的工作量v(单位：立方米/天)与完成运送任务所需的时间t(单位：天)之间有怎样的函数关系？(2)这个运输公司共有100辆卡车，若每天一共可运送土石方104立方米，则公司完成全部运输任务需要多少时间？(3)当公司以问题(2)中的速度工作40天后，由于工程进度的需要，剩下的所有运输任务必须在50天内完成，则公司至少需要再增加多少辆卡车才能按时完成任务？28,解码专训二：函数与几何的综合应用名师点金：初中阶段函数与几何的综合应用非常广泛，解决这类问题的关键是要学会数形结合，一方面抓住几何图形的特征，灵活运用点的坐标与线段长度之间的相互转化，以及图象特征，从而解决与一次函数、反比例函数和二次函数有关的问题，另一方面已知函数的表达式可求出点的坐标，进而解决有关几何问题．与三角形的综合1．如图，在坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，A(1，0)，B(0，2)，抛物线y＝x2＋bx－2过点C.求抛物线对应的函数表达式．(第1题)2．(2015·枣庄)如图，一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝(x>0)的图象交于A(m，6)，B(3，n)两点．(1)求一次函数的表达式；(2)根据图象直接写出使kx＋b<成立的x的取值范围；(3)求△AOB的面积．(第2题)与四边形的综合28,题型1 与平行四边形的综合3．如图，过反比例函数y＝(x＞0)的图象上一点A作x轴的平行线，交双曲线y＝－(x＜0)于点B，过B作BC∥OA交双曲线y＝－(x＜0)于点D，交x轴于点C，连接AD交y轴于点E，若OC＝3，求OE的长．(第3题)题型2 与矩形的综合(第4题)4．(2015·烟台)如图，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别是(4，0)和(0，2)，反比例函数y＝(x>0)的图象过对角线的交点P并且与AB，BC分别交于D，E两点，连接OD，OE，DE，则△ODE的面积为________．5．(2015·德州)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线OB，AC相交于点D，且BE∥AC，AE∥OB.(1)求证：四边形AEBD是菱形；(2)如果OA＝3，OC＝2，求出经过点E的双曲线的函数表达式．(第5题)28,题型3 与菱形的综合(第6题)6．二次函数y＝x2的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，An在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，Bn，在二次函数位于第一象限的图象上，点C1，C2，C3，…，Cn在二次函数位于第二象限的图象上．四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，四边形A2B3A3C3，…，四边形An－1BnAnCn都是菱形，∠A0B1A1＝∠A1B2A2＝∠A2B3A3＝…＝∠An－1BnAn＝60°，菱形An－1BnAnCn的周长为________．7．(2015·武威)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在函数y＝(k>0，x>0)的图象上，点D的坐标为(4，3)．(1)求k的值；(2)若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的顶点D落在函数y＝(k>0，x>0)的图象上时，求菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离．(第7题)28,题型4 与正方形的综合8．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，正方形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为(2，2)，反比例函数y＝(x＞0，k≠0)的图象经过线段BC的中点D.(1)求k的值；(2)若点P(x，y)在该反比例函数的图象上运动(不与点D重合)，过点P作PR⊥y轴于点R，作PQ⊥BC所在直线于点Q，记四边形CQPR的面积为S，求S关于x的表达式并写出x的取值范围．(第8题)9．(中考·孝感)如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F.(1)图甲中，若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE＝EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等(不要求证明)；(2)如图乙，若点E在线段BC上滑动(不与点B，C重合)．①AE＝EF是否总成立？请给出证明；②在如图乙所示的平面直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线y＝－x2＋x＋1上，求此时点F的坐标．(第9题)28,解码专训三：探究二次函数中存在性问题名师点金：存在性问题是近年来中考的热点，这类问题的知识覆盖面广，综合性强，题型构思精巧，解题方法灵活，求解时常常要猜想或者假设问题的某种关系或结论存在，再经过分析、归纳、演算、推理找出最后的答案．常见的类型有：探索特殊几何图形的存在性问题，探索周长有关的存在性问题，探索面积有关的存在性问题．探索与特殊几何图形有关的存在性问题1．(中考·扬州)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．(第1题)探索与周长有关的存在性问题2．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，OB＝OA，且∠AOB＝120°.(1)求点B的坐标；(2)求经过A，O，B三点的抛物线对应的函数表达式；(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．(第2题)28,探索与面积有关的存在性问题3．如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(1，0)，B(0，2)两点，顶点为D.(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)将抛物线沿y轴平移后经过点C(3，1)，求平移后所得抛物线对应的函数表达式；(3)设(2)中平移后的抛物线与y轴的交点为B1，顶点为D1，在此抛物线上是否存在点N，使△NBB1的面积是△NDD1面积的2倍？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．(第3题)28,解码专训四：二次函数与反比例函数中常见的热门考点名师点金：二次函数与反比例函数是中考的必考内容，难度高，综合性强，既可以与代数知识结合，又可以与几何知识结合．在中考中，反比例函数常与几何知识考查体现k的几何意义，而二次函数常以实际应用题或综合题的形式出现，重点考查最值或存在性问题．二次函数的图象与性质1．对于二次函数y＝(x－1)2＋2的图象，下列说法正确的是( )A．开口向下B．对称轴是直线x＝－1C．顶点坐标是(1，2)D．与x轴有两个交点2．(2015·安顺)如图，为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，则下列说法：①a＞0；②2a＋b＝0；③a＋b＋c＞0；④当－1＜x＜3时，y＞0.其中正确的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4(第2题) (第4题)3．抛物线y＝2x2－x＋1的顶点坐标是________，当________时，y随x的增大而增大．4．如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(0，－3)，请你确定一个b的值，使抛物线与x轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间，你所确定的b的值是________．用待定系数法求二次函数的表达式5．已知一个二次函数的图象的顶点为(8，9)，且经过点(0，1)，则二次函数表达式为________．6．(2014·咸宁)科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：28,温度t/℃－4－2014植物高度增长量l/mm4149494625科学家经过猜想、推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为______℃.7．如图，抛物线y＝ax2－5ax＋4经过△ABC的三个顶点，点A，C分别在x轴、y轴上，且BC∥x轴，AC＝BC，求抛物线对应的函数表达式．(第7题)二次函数与一元二次方程或不等式的关系8．抛物线y＝－9x2＋3x＋12与坐标轴的交点个数是( )A．3 B．2 C．1 D．09．二次函数y＝ax2＋bx＋c的x与y的部分对应值如下表．利用二次函数图象可知，当函数值y＜0时，x的取值范围是( )x－3－2－1012345y1250－3－4－30512A.x＜0或x＞2 B．0＜x＜2C．x＜－1或x＞3D．－1＜x＜310．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中错误的是( )(第10题)28,A．a－b＋c＝0B．x＝3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根C．a＋b＋c＞0D．当x＜1时，y随x的增大而减小11．已知关于x的二次函数y＝x2－(2m－1)x＋m2＋3m＋4. (1)探究m取不同值时，该二次函数的图象与x轴的交点的个数；(2)设该二次函数的图象与x轴的交点分别为A(x1，0)，B(x2，0)，且x12＋x22＝5，与y轴的交点为C，它的顶点为M，求直线CM的函数表达式．二次函数的应用12．(2015·滨州)一种进价为每件40元的T恤，若销售单价为60元，则每周可卖出300件．为提高利润，欲对该T恤进行涨价销售．经过调查发现：每涨价1元，每周要少卖出10件．请确定该T恤涨价后每周的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数表达式，并求销售单价定为多少元时，每周的销售利润最大．28,13．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，一直角边靠在两坐标轴上，且有点A(0，2)，点C(－1，0)，如图所示，抛物线y＝ax2＋ax－2经过点B.(1)求点B的坐标；(2)求抛物线对应的函数表达式；(3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外)，使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．(第13题)反比例函数的图象与性质14．(2015·海南)点A(－1，1)是反比例函数y＝的图象上一点，则m的值为( )A．－1 B．－2 C．0 D．115．对于反比例函数y＝，下列说法正确的是( )A．图象经过点(2，－2)B．图象位于第二、四象限C．y随x的增大而增大D．当x>0时，y随x的增大而减小16．已知点A(1，y1)，B(2，y2)，C(－3，y3)都在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )A．y3<y1<y2b．y1<y2<y3c．y2<y1<y3d．y3<y2<y128,(第17题)17．(2015·眉山)如图，a、b是双曲线y＝(k≠0)上的两点，过a点作ac⊥x轴，交ob于d点，垂足为c.若△ado的面积为1，d为ob的中点，则k的值为(>0)的图象上，得矩形A′B′C′D′，求矩形ABCD的平移距离m和反比例函数的表达式．(第23题)答案解码专训一1．解：(1)当1≤x≤8时，y＝4000－30(8－x)＝4000－240＋30x＝30x＋3760；当8＜x≤23时，y＝4000＋50(x－8)＝4000＋50x－400＝50x＋3600.∴所求函数表达式为y＝(2)当x＝16时，方案一每套楼房费用(设为W1元)：W1＝120×(50×16＋3600)×92%－a＝485760－a；方案二每套楼房费用(设为W2元)：W2＝120×(50×16＋3600)×90%＝475200.∴当W1＜W2时，即485760－a＜475200时，a＞10560；当W1＝W2时，即485760－a＝475200时，a＝10560；当W1＞W2时，即485760－a＞475200时，a＜10560.28,因此，当每套赠送装修基金多于10560元时，选择方案一合算；当每套赠送装修基金等于10560元时，两种方案一样；当每套赠送装修基金少于10560元时，选择方案二合算．2．解：设甲车间用x箱原材料生产A产品，则乙车间用(60－x)箱原材料生产A产品．由题意得4x＋2(60－x)≤200，解得x≤40.w＝30[12x＋10(60－x)]－80×60－5[4x＋2(60－x)]＝50x＋12600，∵50＞0，∴w随x的增大而增大，∴当x＝40时，w取得最大值，为14600元．答：甲车间用40箱原材料生产A产品，乙车间用20箱原材料生产A产品，可使工厂所获利润最大，最大利润为14600元．3．解：(1)由题意得：装运青鱼的车辆为(20－x－y)辆．∵8x＋6y＋5(20－x－y)＝120，∴y＝－3x＋20.(2)∵∴解得2≤x≤6.设此次销售获利为W万元，则W＝0.25×8x＋0.3×6y＋0.2×5(20－x－y)＝－1.4x＋36.∵k＝－1.4＜0，∴W随x的增大而减小，∴当x＝2时，W取得最大值，为33.2万元．此时y＝－3x＋20＝14，20－x－y＝4.故应安排2辆汽车装运鲢鱼，14辆汽车装运草鱼，4辆汽车装运青鱼，能使此次销售获利最大且最大利润为33.2万元．4．解：(1)因为宽AB＝xm，则BC＝(24－3x)m，此时面积S＝x(24－3x)＝－3x2＋24x.(2)由已知得－3x2＋24x＝45，化为x2－8x＋15＝0.解得x1＝5，x2＝3.∵0＜24－3x≤10，得≤x＜8，∴x2＝3不符合题意，故AB＝5m，即该鸡舍的宽为5m.(3)S＝－3x2＋24x＝－3(x2－8x)＝－3(x－4)2＋48.∵≤x＜8，∴当x＝时，S最大值＝46m2.∴能围成面积比45m2更大的鸡舍．鸡舍的长取10m，宽取4m，这时鸡舍的最大面积为46m2.5．解：(1)由题意可知，∠B＝60°，BP＝(3－t)cm，BQ＝tcm.若△PBQ是直角三角形，则∠BPQ＝30°或∠BQP＝30°，于是BQ＝BP或BP＝BQ，即t＝(3－t)或3－t＝t.解得t＝1或t＝2，即当t为1s或2s时，△PBQ是直角三角形．(2)过点P作PM⊥BC于点M，则易知BM＝BP＝(3－t)cm.∴PM＝＝(3－t)cm.∴S四边形APQC＝S△ABC－S△PBQ＝×3×－t·(3－t)＝t2－t＋，28,即y＝t2－t＋，易知0<t<3.于是y＝＋，∴当t＝时，y取得最小值，为，即当t为s时，四边形apqc的面积最小，最小值为cm2.6．解：(1)由题意可知，空调的采购数量为x1台，则冰箱的采购数量为(20－x1)台，由题意，得解得11≤x1≤15，∵x1为整数，∴x1可取的值为11，12，13，14，15，∴该商家共有5种进货方案．(2)设总利润为w元，y2＝－10x2＋1300＝－10(20－x1)＋1300＝10x1＋1100，则w＝(1760－y1)x1＋(1700－y2)x2＝1760x1－(－20x1＋1500)x1＋(1700－10x1－1100)(20－x1)＝1760x1＋20x12－1500x1＋10x12－800x1＋12000＝30x12－540x1＋12000＝30(x1－9)2＋9570，当x1＞9时，w随x1的增大而增大，∵11≤x1≤15，∴当x1＝15时，w最大值＝30×(15－9)2＋9570＝10650.答：采购空调15台时总利润最大，最大利润为10650元．7．解：(1)y＝50－x(0≤x≤160，且x是10的整数倍)．(2)由题意可知，w＝(180＋x－20)，即w＝－x2＋34x＋8000.(3)∵w＝－x2＋34x＋8000＝－(x－170)2＋10890，∴当x<170时，w随x的增大而增大，又∵0≤x≤160，∴当x＝160时，w最大值＝10880，此时，y＝50－×160＝34.答：一天订住34个房间时，宾馆获得的利润最大，最大利润是10880元．8．解：(1)因为工程需要运送的土石方总量为106立方米，所以运输公司平均每天的工作量v与完成运送任务所需要的时间t之间成反比例关系且函数表达式为v＝.(2)由vt＝106，把v＝104代入，得t＝＝100，即若每天一共可运送土石方104立方米，则该公司完成全部运输任务需要100天．(3)设要完成剩余的运输任务运输公司平均每天的工作量为v′立方米>0)的图象上，∴m＝1，n＝2，即A(1，6)，B(3，2)．又∵A(1，6)，B(3，2)在一次函数y＝kx＋b的图象上，∴，解之，得，即一次函数表达式为y＝－2x＋8.(2)根据图象可知使kx＋b<成立的x的取值范围是0<x<1或x>3.(3)分别过点A、B作AE⊥x轴，BC⊥x轴，垂足分别为E、C，直线AB交x轴于D点．令－2x＋8＝0，得x＝4，即D(4，0)．∵A(1，6)，B(3，2)，∴AE＝6，BC＝2.∴S△AOB＝S△AOD－S△ODB＝×4×6－×4×2＝8.3．解：设A，则B，∴(a－3)·＝－3.∴a＝2.∴A(2，3)，B(－1，3)．∵C(－3，0)，∴直线BC对应的函数表达式为y＝x＋.与y＝－联立从而求出D.∴求出直线AD的函数表达式为y＝x＋.∴OE＝.4. 点拨：因为C(0，2)，A(4，0)，由矩形的性质可得P(2，1)，28,把P点坐标代入反比例函数表达式可得k＝2，所以反比例函数表达式为y＝，D点的横坐标为4，所以AD＝＝，点E的纵坐标为2，所以2＝，CE＝1，则BE＝3，所以S△ODE＝S矩形OABC－S△OCE－S△BED－S△OAD＝8－1－－1＝.5．(1)证明：∵BE∥AC，AE∥OB，∴四边形AEBD是平行四边形，∵四边形OABC是矩形，∴DA＝AC，DB＝OB，AC＝BO，∴DA＝DB.∴四边形AEBD是菱形．(2)解：连接DE，交AB于F，∵四边形AEBD是菱形，∴DF＝EF＝OA＝，AF＝AB＝1，∴E.设所求反比例函数表达式为y＝，把点E代入得1＝，解得k＝.∴所求反比例函数表达式为y＝.6．4n(第7题)7．解：(1)如图，过点D作x轴的垂线，垂足为F，∵点D的坐标为(4，3)，∴OF＝4，DF＝3，∴OD＝5，∴AD＝5，∴点A坐标为(4，8)，∴k＝xy＝4×8＝32，∴k＝32；(2)将菱形ABCD沿x轴正方向平移，使得点D落在函数y＝(x>0)的图象上D′点处，过点D′作x轴的垂线，垂足为F′.∵DF＝3，∴D′F′＝3.∴点D′的纵坐标为3，∵点D′在y＝的图象上，∴3＝，解得x＝，即OF′＝，∴FF′＝－4＝，∴菱形ABCD平移的距离为.8．解：(1)∵正方形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为(2，2)，∴C(0，2)．28,∵D是BC的中点，∴D(1，2)．∵反比例函数y＝(x＞0，k≠0)的图象经过点D，∴k＝2.(2)当P在直线BC的上方，即0＜x＜1时，∵点P(x，y)在该反比例函数的图象上运动，∴y＝.∴S四边形CQPR＝CQ·PQ＝x·＝2－2x；当P在直线BC的下方，即x＞1时，同理求出S四边形CQPR＝CQ·PQ＝x·＝2x－2，综上，S＝9．解：(1)如图甲，取AB的中点G，连接EG.△AGE与△ECF全等．(第9题)(2)①若点E在线段BC上滑动，AE＝EF总成立．证明：如图乙，在AB上截取AM＝EC.∵AB＝BC，∴BM＝BE，∴△MBE是等腰直角三角形，∴∠AME＝180°－45°＝135°.又∵CF平分正方形的外角，∴∠ECF＝135°，∴∠AME＝∠ECF.而∠BAE＋∠AEB＝∠CEF＋∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△AME≌△ECF，∴AE＝EF.②如图乙，过点F作FH⊥x轴于点H.由①知，FH＝BE＝CH.设BH＝a，则FH＝a－1，∴点F的坐标为(a，a－1)．∵点F恰好落在抛物线y＝－x2＋x＋1上，∴a－1＝－a2＋a＋1，∴a2＝2，a＝或－(负值不合题意，舍去)，∴a－1＝－1，∴点F的坐标为(，－1)．解码专训三1．解：(1)将A，B，C三点的坐标代入y＝ax2＋bx＋c，得解得∴所求表达式为y＝－x2＋2x＋3.(2)∵点A，B关于直线l对称，∴PA＝PB.∴当点P为直线BC与l的交点时，△PAC的周长最小．由B(3，0)，C(0，3)易求直线BC的函数表达式为y＝－x＋3；将x＝1代入，于是易求点P的坐标为(1，2)．(3)存在．点M的坐标为(1，1)，(1，)，(1，－)，(1，0)．点拨：对于(3)问，假设存在符合条件的点M，设M(1，m)，由A(－1，0)，C(0，3)，28,结合勾股定理易得MA2＝m2＋4，MC2＝m2－6m＋10，AC2＝10.①若MA＝MC，则MA2＝MC2，得m2＋4＝m2－6m＋10，得m＝1；②若MA＝AC，则MA2＝AC2，得m2＋4＝10，得m＝±；③若MC＝AC，则MC2＝AC2，得m2－6m＋10＝10，得m＝0或m＝6；当m＝6时，M，A，C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去．综上可知，符合条件的点M的坐标为(1，1)，(1，)，(1，－)，(1，0)．2．解：(1)过点B作BD⊥y轴于点D，则∠BOD＝120°－90°＝30°.由A(－2，0)可得OA＝2，∴OB＝2.于是在Rt△BOD中，易得BD＝1，OD＝.∴点B的坐标为(1，)．(2)由抛物线经过点A(－2，0)，O(0，0)，可设抛物线对应的函数表达式为y＝ax(x＋2)，将点B的坐标(1，)代入，得a＝，因此所求表达式为y＝x2＋x.(第2题)(3)存在．如图，易知抛物线的对称轴是直线x＝－1，当点C是抛物线的对称轴与线段AB的交点时，△BOC的周长最小．设直线AB对应的函数表达式为y＝kx＋b，则解得∴y＝x＋，当x＝－1时，y＝，因此点C的坐标为.3．解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(1，0)，B(0，2)，∴解得∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2－3x＋2.(2)当x＝3时，由y＝x2－3x＋2得y＝2，可知抛物线y＝x2－3x＋2过点(3，2)，∴将原抛物线沿y轴向下平移1个单位长度后过点C.∴平移后抛物线对应的函数表达式为y＝x2－3x＋1.(3)假设存在点N，则点N在抛物线y＝x2－3x＋1上，可设N点坐标为(x0，x02－3x0＋1)．由(2)知，BB1＝DD1＝1.将y＝x2－3x＋1配方得y＝－，∴抛物线的对称轴为直线x＝.28,(第3题)当0<x0<时，如图①.∵s△nbb1＝2s△ndd1，∴×1×x0＝2××1×，∴x0＝1，此时x02－3x0＋1＝－1，∴点n的坐标为(1，－1)；当x0>时，如图②.同理可得×1×x0＝2××1×，∴x0＝3，此时x02－3x0＋1＝1，∴点N的坐标为(3，1)．综上，符合条件的点N的坐标为(1，－1)，(3，1)．解码专训四1．C2．C 点拨：根据函数图象开口向下可得a＜0，所以①错误；当－1＜x＜3时，y＞0,所以④正确；因为抛物线与x轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0)，所以其对称轴为直线x＝1，所以－＝1，因此2a＋b＝0，所以②正确；当x＝1时，y＝a＋b＋c＞0，所以③正确．所以②③④正确．3.；x＞4. 点拨：答案不唯一．5．y＝－x2＋2x＋1 6.－17．解：对称轴为直线x＝－＝.又∵BC∥x轴，∴BC＝AC＝5.∵OC＝4，∴OA＝3，∴A(－3，0)．∴9a＋15a＋4＝0.∴a＝－.∴y＝－x2＋x＋4.∴抛物线对应的函数表达式为28,y＝－x2＋x＋4.8．A 9.D 10.D11．解：(1)令y＝0，得x2－(2m－1)x＋m2＋3m＋4＝0，Δ＝(2m－1)2－4(m2＋3m＋4)＝－16m－15.当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，即－16m－15＞0，∴m＜－，此时二次函数的图象与x轴有两个交点；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，即－16m－15＝0，∴m＝－，此时二次函数的图象与x轴只有一个交点；当Δ＜0时，方程没有实数根，即－16m－15＜0，∴m＞－，此时二次函数的图象与x轴没有交点．(2)由一元二次方程根与系数的关系得x1＋x2＝2m－1，x1x2＝m2＋3m＋4，∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(2m－1)2－2(m2＋3m＋4)＝2m2－10m－7.∵x12＋x22＝5，∴2m2－10m－7＝5.∴m2－5m－6＝0.解得m1＝6，m2＝－1.∵m＜－，∴m＝－1.∴y＝x2＋3x＋2.令x＝0，得y＝2，∴二次函数的图象与y轴的交点C的坐标为(0，2)．又∵y＝x2＋3x＋2＝－，∴顶点M的坐标为.设过点C(0，2)与M的直线的函数表达式为y＝kx＋b，则解得∴直线CM的函数表达式为y＝x＋2.12．解：由题意，得y＝(x－40)[300－10(x－60)]，即y＝－10x2＋1300x－36000(60≤x≤90)．配方，得y＝－10(x－65)2＋6250.∴当x＝65时，y有最大值6250.因此，当该T恤销售单价定为65元时，每周的销售利润最大．(第13题)13．解：(1)如图，过点B作BD⊥x轴，垂足为D.∵∠BCD＋∠ACO＝90°，∠ACO＋∠CAO＝90°，∴∠BCD＝∠CAO.又∵∠BDC＝∠COA＝90°，CB＝AC，∴△BCD≌△CAO，∴BD＝OC＝1，CD＝OA＝2，∴点B的坐标为(－3，1)．(2)∵抛物线y＝ax2＋ax－2经过点B(－3，1)，∴1＝9a－3a－2，解得a＝.∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2＋x－2.28,(3)假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形：①若以点C为直角顶点，则延长BC至点P1，使得P1C＝BC，连接AP1，得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1M⊥x轴于点M，∵CP1＝BC，∠MCP1＝∠BCD，∠P1MC＝∠BDC＝90°，∴△MP1C≌△DBC.∴CM＝CD＝2，P1M＝BD＝1，可求得点P1的坐标为(1，－1)；②若以点A为直角顶点，则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2＝AC，连接AP2，得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2N⊥y轴于点N，同理可证△AP2N≌△CAO.∴NP2＝OA＝2，AN＝OC＝1，可求得点P2的坐标为(2，1)，经检验，点P1(1，－1)与点P2(2，1)都在抛物线y＝x2＋x－2上．14．B 15.D 16.D(第17题)17．B 点拨：过点B作BE⊥x轴于点E，∵D为OB的中点，∴CD是△OBE的中位线，则CD＝BE.设A，则B，CD＝，AD＝－，∵△ADO的面积为1，∴AD·OC＝1，·x＝1.解得k＝.18．解：(1)将B(2，－4)代入y＝得－4＝，解得m＝－8.∴反比例函数表达式为y＝.∵点A(－4，n)在双曲线y＝上，∴n＝2.∴A(－4，2)．把A(－4，2)，B(2，－4)代入y＝kx＋b得解得∴一次函数的表达式为y＝－x－2.(2)令y＝0，则－x－2＝0，x＝－2.∴C(－2，0)，∴OC＝2.∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝×2×2＋×2×4＝6.(3)x1＝－4，x2＝2.(4)－4<x<0或x>2.19．A 20.0.521．解：(1)设小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量与漂洗次数的函数表达式分别为：y1＝，y2＝，将和分别代入两个表达式得：1.5＝，2＝，解得：k1＝，k2＝2.28,∴小红的函数表达式是：y1＝，小敏的函数表达式是：y2＝；(2)把y＝0.5分别代入两个函数表达式得：＝0.5，＝0.5，解得：x1＝3，x2＝4，10×3＝30(L)，5×4＝20(L)，答：小红共用30L水，小敏共用20L水，小敏的方法更值得提倡．22．(1)证明：∵点P在双曲线y＝上，∴设P点坐标为.∵点D在双曲线y＝上，BP∥x轴，∴设D点坐标为.由题意可得BD＝，BP＝，故D是BP的中点．(2)解：S四边形BPAO＝·m＝6，设C点坐标为，D点坐标为，则S△OBD＝·y·＝，S△OAC＝·x·＝，∴S四边形ODPC＝S四边形PBOA－S△OBD－S△OAC＝6－－＝3.23．解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝1，BC＝AD＝2，∵A，AD∥x轴，∴B，C，D；(2)∵将矩形ABCD向右平移m个单位，∴A′，C′，∵点A′，C′在反比例函数y＝(x>0)的图象上，∴(－3＋m)＝(－1＋m)，解得：m＝4，∴A′，∴k＝，∴矩形ABCD的平移距离m＝4，28,反比例函数的表达式为：y＝.28</x<0或x></x0<时，如图①.∵s△nbb1＝2s△ndd1，∴×1×x0＝2××1×，∴x0＝1，此时x02－3x0＋1＝－1，∴点n的坐标为(1，－1)；当x0></x<1或x></t<3.于是y＝＋，∴当t＝时，y取得最小值，为，即当t为s时，四边形apqc的面积最小，最小值为cm2.6．解：(1)由题意可知，空调的采购数量为x1台，则冰箱的采购数量为(20－x1)台，由题意，得解得11≤x1≤15，∵x1为整数，∴x1可取的值为11，12，13，14，15，∴该商家共有5种进货方案．(2)设总利润为w元，y2＝－10x2＋1300＝－10(20－x1)＋1300＝10x1＋1100，则w＝(1760－y1)x1＋(1700－y2)x2＝1760x1－(－20x1＋1500)x1＋(1700－10x1－1100)(20－x1)＝1760x1＋20x12－1500x1＋10x12－800x1＋12000＝30x12－540x1＋12000＝30(x1－9)2＋9570，当x1＞9时，w随x1的增大而增大，∵11≤x1≤15，∴当x1＝15时，w最大值＝30×(15－9)2＋9570＝10650.答：采购空调15台时总利润最大，最大利润为10650元．7．解：(1)y＝50－x(0≤x≤160，且x是10的整数倍)．(2)由题意可知，w＝(180＋x－20)，即w＝－x2＋34x＋8000.(3)∵w＝－x2＋34x＋8000＝－(x－170)2＋10890，∴当x<170时，w随x的增大而增大，又∵0≤x≤160，∴当x＝160时，w最大值＝10880，此时，y＝50－×160＝34.答：一天订住34个房间时，宾馆获得的利润最大，最大利润是10880元．8．解：(1)因为工程需要运送的土石方总量为106立方米，所以运输公司平均每天的工作量v与完成运送任务所需要的时间t之间成反比例关系且函数表达式为v＝.(2)由vt＝106，把v＝104代入，得t＝＝100，即若每天一共可运送土石方104立方米，则该公司完成全部运输任务需要100天．(3)设要完成剩余的运输任务运输公司平均每天的工作量为v′立方米></y1<y2b．y1<y2<y3c．y2<y1<y3d．y3<y2<y128,(第17题)17．(2015·眉山)如图，a、b是双曲线y＝(k≠0)上的两点，过a点作ac⊥x轴，交ob于d点，垂足为c.若△ado的面积为1，d为ob的中点，则k的值为(>
2021年九年级数学上册第21章二次函数与反比例函数整合提升训练（有答案沪科版）
2023-01-11
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