专训一：四种常见的几何关系的探究名师点金：全等三角形的性质和判定是初中数学的重点内容，也是学习其他几何知识的基础，三角形全等的判定和性质是证明线段相等、角相等的重要依据，并由此还可以获得直线之间的垂直(平行)关系，线段(面积)的和、差、倍、分关系．位置关系1．如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，BM＝AC，CN＝AB.求证：AM⊥AN.(第1题)相等关系2．(2015·珠海)已知△ABC，AB＝AC，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF.(1)如图①，连接BD，AF，则BD________AF.(填“＞”，“＜”或“＝”号)(2)如图②，M为AB边上一点，过M作BC的平行线MN分别交边AC，DE，DF于点G，H，N，连接BH，GF.求证：BH＝GF.(第2题)21,和差关系3．如图，∠BCA＝α，CA＝CB，C，E，F分别是直线CD上的三点，且∠BEC＝∠CFA＝α，请提出对EF，BE，AF三条线段之间数量关系的合理猜想，并证明．(第3题)倍数关系4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝∠A，∠ACB＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕点D旋转，它的两边分别交AC，CB(或它们的延长线)于点E，F.当∠EDF绕点D旋转到DE⊥AC于点E时，如图①，易证S△DEF＋S△CEF＝S△ABC；当∠EDF绕点D旋转到DE和AC不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF，S△CEF，S△ABC又有怎样的关系？请写出你的猜想，不需证明．(第4题)21,专训二：构造全等三角形的六种常用方法名师点金：在进行几何题的证明或计算时，需要在图形中添加一些辅助线，辅助线能使题目中的条件比较集中，能比较容易找到一些量之间的关系，使数学问题较轻松地解决．常见的辅助线作法有：构造法、平行线法、旋转法、翻折法、倍长中线法和截长补短法，目的都是构造全等三角形．翻折法1．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D.求证：∠2＝∠1＋∠C.(第1题)构造法2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF.求证：∠ADC＝∠BDF.(第2题)旋转法3．如图，在正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE＋DF＝EF，求∠EAF的度数．21,(第3题)平行线法4．在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，AP平分∠BAC交BC于点P，BQ平分∠ABC交AC于点Q，且AP与BQ相交于点O.求证：AB＋BP＝BQ＋AQ.(第4题)倍长中线法5．如图，在△ABC中，D为BC的中点．(1)求证：AB＋AC>2AD；(2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．(第5题)截长补短法21,6．如图，AB∥CD，CE，BE分别平分∠BCD和∠CBA，点E在AD上．求证：BC＝AB＋CD.(第6题)专训三：全等三角形的四种常见实际应用名师点金：利用三角形全等解决实际问题的步骤：(1)明确应用哪些知识来解决实际问题；(2)根据实际问题抽象出几何图形；(3)结合图形和题意分析已知条件；(4)找到已知与未知的联系，寻求恰当的解决途径，并表述清楚．利用三角形全等测量池塘两端的距离1．如图，为了测量出池塘两端A，B之间的距离，在地面上找到一点C，连接BC，AC，使∠ACB＝90°，然后在BC的延长线上确定点D，使CD＝BC，那么只要测量出AD的长度就得到了A，B两点之间的距离．你能说明其中的道理吗？(第1题)利用三角形全等测量物体的内径221,．如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度x，动手制作一个简单的工具，利用三角形全等的知识，求出x.　(第2题)利用三角形全等判断三点是否共线3．如图，公园里有一条“Z”形道路ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段路路旁各有一个石凳E，M，F，且BE＝CF，石凳M在BC的中点处，试判断三个石凳E，M，F是否恰好在一条直线上？为什么？(第3题)21,利用三角形全等解决工程中的问题4．如图，工人师傅要在墙壁的点O处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的点B处打开，墙壁厚35cm，点B与点O的垂直距离AB长20cm，在点O处作一直线平行于地面，再在直线上截取OC＝35cm，过点C作OC的垂线，在垂线上截取CD＝20cm，连接OD，然后沿着DO的方向打孔，结果钻头正好从点B处打出，这是什么道理？(第4题)专训四：几类常见的热门考点名师点金：本章主要学习了全等三角形的性质与判定，其考查形式有利用全等三角形证明线段或角的数量关系，求线段的长度或角的度数，判断位置关系，以及利用全等三角形解决实际问题等．全等三角形的性质　　　　　　　　　　　　　　　　1．如图，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，下列等式中不正确的是(　　)(第1题)A．AB＝ACB．∠BAE＝∠CADC．BD＝CED．AD＝DE21,2．已知△ABC≌△A′B′C′，∠A＝∠A′＝50°，∠B＝∠B′＝60°，AB＝15cm，则∠C′的度数为________，A′B′的长度为________．3．如图，已知△ABC≌△ADE，BC边的延长线交AD于点F，交AE的延长线于点G，∠ACB＝105°，∠CAD＝15°，∠ADE＝25°，求∠DFB和∠G的度数．(第3题)全等三角形的判定4．在△ABC和△A′B′C′中，下列各组条件中，不能判定△ABC≌△A′B′C′的是(　　)①AB＝A′B′；②BC＝B′C′；③AC＝A′C′；④∠A＝∠A′；⑤∠B＝∠B′；⑥∠C＝∠C′.A．具备①②③B．具备①②④C．具备③④⑤D．具备②③⑥　(第5题)5．如图，已知BC＝EC，∠A＝∠D，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为________(只需填一个)．6．(中考·宁德)如图所示，点D，A，C在同一直线上，AB∥CE，AB＝CD，∠B＝∠D.求证：△ABC≌△CDE.(第6题)全等三角形的性质与判定的综合应用7．如图，AD＝AE，BD＝CE，∠ADB＝∠AEC＝100°，∠BAE＝70°，下列结论错误的是(　　)21,　(第7题)A．△ABE≌△ACDB．△ABD≌△ACEC．∠DAE＝40°D．∠C＝30°8．(2014·黄冈)如图所示，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F.求证：DE＝DF.(第8题)9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，F分别在AB，AC上，CF＝CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF.　(第9题)(1)求证：△BCD≌△FCE；(2)若EF∥CD，求∠BDC的度数．21,全等三角形在实际问题中的应用10．某校七(3)班学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B之间的距离，设计了如下方案：方案一：如图①，先在平地上取一个可以直接到达A，B的点C，连接AC，BC，并延长AC到点D，延长BC到点E，使DC＝AC，EC＝BC，最后测出DE的长即为A，B之间的距离．(第10题)方案二：如图②，先过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C，D两点，使BC＝CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，测出DE的长即为A，B之间的距离．阅读后回答下列问题：(1)方案一是否切实可行？________，理由是________________________________________________________________________________________________________________________________________________.(2)方案二是否切实可行？________，理由是________________________________________________________________________________________________________________________________________________.(3)方案二中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是__________________________；若∠ABD＝∠BDE，但不一定垂直，方案二是否成立？__________________．数学思想方法的应用a．转化思想11．如图，AB＝DC，∠A＝∠D.求证：∠ABC＝∠DCB.21,(第11题)b．分类讨论思想12．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝10cm，BC＝8cm，D为AB的中点．点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上以相同速度由点C向点A运动，一个点到达终点后另一个点也停止运动．当△BPD与△CQP全等时，求点P运动的时间．(第12题)c．类比思想13．在△ABC中，若AD是∠BAC的平分线，E点和F点分别在AB和AC上，且DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，如图①，则可以得到以下两个结论：①∠21,AED＋∠AFD＝180°；②DE＝DF.那么在△ABC中，仍然有条件“AD是∠BAC的平分线，点E和点F分别在AB和AC上”，请探究以下两个问题：(1)若∠AED＋∠AFD＝180°，如图②，则DE与DF是否仍相等？若仍相等，请证明；否则请说明理由．(2)若DE＝DF，则∠AED＋∠AFD＝180°是否成立？(只写出结论，不证明)(第13题)答案专训一1．证明：如图，∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠1＋∠BAC＝90°，∠2＋∠BAC＝90°.∴∠1＝∠2.又∵BM＝CA，AB＝NC，∴△ABM≌△NCA.∴∠3＝∠N.∵∠N＋∠4＝90°，∴∠3＋∠4＝90°，即∠MAN＝90°.∴AM⊥AN.(第1题)21,　　(第2题)2．(1)＝(2)证明：将△DEF沿FE方向平移，使点E与点C重合，设ED平移后与MN相交于R，如图，∵MN∥BC，RC∥EH，∴∠GRC＝∠RHE＝∠DEF，∠RGC＝∠GCB，易得∠GRC＝∠RGC，过点C作CZ⊥GR，∴∠CZR＝∠CZG＝90°，又∵CZ＝CZ，∴△CZR≌△CZG，∴CR＝CG.又∵MN∥BF，CR∥EH，∴四边形RCEH为平行四边形，∴CR＝EH.∴CG＝HE.由平移的性质得BC＝EF，∴BC＋CE＝CE＋EF，即BE＝CF.易得∠HEB＝∠GCF，∴△BEH≌△FCG(SAS)，∴BH＝FG.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3．解：猜想：EF＝BE＋AF.证明：∵∠BCE＋∠CBE＋∠BEC＝180°，∠BCE＋∠ACF＋∠BCA＝180°，∠BCA＝α＝∠BEC，∴∠CBE＝∠ACF.又∵∠BEC＝∠CFA＝α，CB＝AC，∴△BEC≌△CFA(AAS)．∴BE＝CF，EC＝FA.∴EF＝CF＋EC＝BE＋AF.(第4题)4．解：在题图(2)中结论仍成立；在题图(3)中不成立．对于题图(2)证明如下：如图，过点D作DM⊥AC，DN⊥BC，垂足分别为M，N，则∠DME＝∠DNF＝∠MDN＝90°.21,又∵∠A＝∠ABC，∠AMD＝∠BND＝90°，且易知DA＝DB，∴△ADM≌△BDN，∴DM＝DN.∵∠MDE＋∠EDN＝∠MDN＝90°，∠EDN＋∠NDF＝∠EDF＝90°，∴∠MDE＝∠NDF.∴△DME≌△DNF.∴S四边形DMCN＝S四边形DECF＝S△DEF＋S△CEF.由题图(1)可知S四边形DMCN＝S△ABC，∴S△DEF＋S△CEF＝S△ABC.在题图(3)中，S△DEF，S△CEF，S△ABC之间的关系是S△DEF－S△CEF＝S△ABC.专训二1．证明：如图，延长AD交BC于点F.(相当于将AB边向下翻折，与BC边重合，A点落在F点处，折痕为BE)∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠BDF＝90°.在△ABD和△FBD中，∴△ABD≌△FBD(ASA)．∴∠2＝∠DFB.又∵∠DFB＝∠1＋∠C，∴∠2＝∠1＋∠C.(第1题)　　(第2题)21,2．证明：如图，过点B作BG⊥BC交CF的延长线于点G.∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠ACF＝90°.∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴∠1＋∠ACF＝180°－∠AEC＝180°－90°＝90°.∴∠1＝∠2.在△ACD和△CBG中，∴△ACD≌△CBG(ASA)．∴∠ADC＝∠G，CD＝BG.∵点D为BC的中点，∴CD＝BD.∴BD＝BG.又∵∠DBG＝90°，∠DBF＝45°，∴∠GBF＝∠DBG－∠DBF＝90°－45°＝45°.∴∠DBF＝∠GBF.在△BDF和△BGF中，∴△BDF≌△BGF(SAS)．∴∠BDF＝∠G.∴∠ADC＝∠BDF.点拨：本题运用了构造法，通过作辅助线构造△CBG、△BGF是解题的关键．3．解：如图，延长CB到点H，使得BH＝DF，连接AH.∵∠ABE＝90°，∠D＝90°，∴∠D＝∠ABH＝90°.在△ABH和△ADF中，∴△ABH≌△ADF.∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF.∴∠BAH＋∠BAF＝∠DAF＋∠BAF，即∠HAF＝∠BAD＝90°.∵BE＋DF＝EF，∴BE＋BH＝EF，即HE＝EF.在△AEH和△AEF中，　(第3题)∴△AEH≌△AEF.∴∠EAH＝∠EAF.∴∠EAF＝∠HAF＝45°.21,点拨：图中所作辅助线，相当于将△ADF绕点A顺时针旋转90°，使AD边与AB边重合，得到△ABH.4．证明：过点O作OD∥BC交AB于点D，∴∠ADO＝∠ABC.∵∠BAC＝60°，∠C＝40°，∴∠ABC＝80°.∴∠ADO＝80°.∵BQ平分∠ABC，∴∠QBC＝40°.∴∠AQB＝∠C＋∠QBC＝80°.∴∠ADO＝∠AQB.易知∠DAO＝∠QAO，OA＝OA，∴△ADO≌△AQO.∴OD＝OQ，AD＝AQ.又∵OD∥BP，∴∠PBO＝∠DOB.又∵∠PBO＝∠DBO，∴∠DBO＝∠DOB.∴过点D作DM⊥BQ，∴∠DMB＝∠DMO＝90°.又∵DM＝DM，∴△DMB≌△DMO.∴BD＝OD.∴BD＝OQ.∵∠BAC＝60°，∠ABC＝80°，BQ平分∠ABC，AP平分∠BAC，∴∠BAP＝30°，∠ABQ＝40°，∴∠BOP＝70°.∵∠BAP＝30°，∠ABC＝80°，∴∠APB＝70°.∴∠BOP＝∠APB，过点B作BN⊥OP，∴∠BNO＝∠BNP＝90°，又∵BN＝BN，∴△BNO≌△BNP.∴BO＝BP.∴AB＋BP＝AD＋DB＋BP＝AQ＋OQ＋BO＝AQ＋BQ.5．(1)证明：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE.∵D为BC的中点，∴CD＝BD.又∵AD＝ED，∠ADC＝∠EDB，∴△ADC≌△EDB.∴AC＝EB.∵AB＋BE>AE，∴AB＋AC>2AD.(2)解：∵AB－BE