第13章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1.在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数是(　　)A．40°B．50°C．60°D．70°2．现有两根木棒，它们的长分别是30cm和80cm，若要钉成一个三角形木架，则应选取的第三根木棒长为(　　)A．40cmB．50cmC．60cmD．130cm3．等腰三角形的两边长分别为6和3，则这个三角形的周长是(　　)A．12B．15C．12或15D．184．下面给出的四个命题中，假命题是(　　)A．如果a＝3，那么|a|＝3B．如果x2＝4，那么x＝±2C．如果(a－1)(a＋2)＝0，那么a－1＝0或a＋2＝0D．如果(a－1)2＋(b＋2)2＝0，那么a＝1或b＝－25．对于命题“如果∠1＋∠2＝180°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的例子是(　　)A．∠1＝100°，∠2＝80°B．∠1＝50°，∠2＝50°C．∠1＝∠2＝90°D．∠1＝80°，∠2＝80°6．若a，b，c是△ABC的三边长，且a2＋b2－6a－10b＋34＝0，则c的取值范围是(　　)A．c＜8B．2＜c＜8C．2≤c≤8D．4＜c＜167．如图，F是AB上一点，E是AC上一点，BE，CF相交于点D，∠A＝70°，∠ACF＝30°，∠ABE＝20°，则∠BDC的度数为(　　)A．172°B．80°C．120°D．60°(第7题)　　(第8题)　　(第9题)　　(第10题)8．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，若∠B＝40°，∠C＝60°，则∠ADE的度数为(　　)6,A．30°B．40°C．50°D．60°9．如图，点D，E在△ABC的边上，CD与BE相交于点F，则∠1，∠2，∠3，∠4应满足的关系是(　　)A．∠1＋∠4＝∠2＋∠3B．∠1＋∠2＝∠3＋∠4C．∠1＋∠2＝∠4－∠3D．∠2－∠1＝∠3＋∠410．小明把一副含45°，30°角的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α＋∠β等于(　　)A．180°B．360°C．210°D．270°二、填空题(每题3分，共18分)11．命题“和为180°的两个角互为补角”的逆命题是_________________________________________________________．12．如图，直线m∥n，直角三角形ABC的顶点A在直线n上，∠C＝90°.若∠1＝25°，∠2＝70°，则∠B＝________．(第12题)　　　　(第14题)　　　　(第16题)13．等腰三角形一腰上的中线把三角形的周长分成16cm和12cm，则等腰三角形的底边长为______________．14．如图，D是△ABC的边BC上任意一点，E，F分别是线段AD，CE的中点．若△ABC的面积为m，则△BEF的面积为________．15．在△ABC中，BC边不动，点A竖直向上运动，∠A越来越小，∠B、∠C越来越大．若∠A减小α，∠B增加β，∠C增加γ，则α、β、γ三者之间的数量关系是______________．16．如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于点O，CE为△ABC的外角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论：①∠1＝2∠2；②∠BOC＝3∠2；③∠BOC＝90°＋∠1；④∠BOC＝90°＋∠2，正确的有________．(把所有正确的结论的序号写在横线上)三、解答题(17，18题每题8分，其余每题9分，共52分)6,17．如图，有三个论断：①∠1＝∠2；②∠B＝∠C；③∠A＝∠D，请你从中任选两个作为条件，第三个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．(第17题)18．梦雪的爸爸将一段长为30米的渔网围成一个三角形，已知第一条边长为a米，第二条边长比第一条边长的2倍还多2米．(1)请用a表示第三条边长；(2)请求出a的取值范围．19．如图，一艘渔船在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，另一艘货轮在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向，那么在灯塔A处观看B和C时的视角∠BAC是多少度？6,(第19题)20．如图，已知CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E.(1)如果∠B＝35°，∠E＝20°，求∠BAC的度数；(2)求证：∠BAC＝∠B＋2∠E.(第20题)6,21．如图①，AD，AE分别是△ABC中BC边上的高和中线，已知AD＝5cm，EC＝3.5cm.(1)求△ABE和△AEC的面积；(2)通过做题，你能发现什么结论？(3)根据(2)中的结论，解决下列问题：如图②，CD是△ABC的中线，DE是△ACD的中线，EF是△ADE的中线．若△AEF的面积为1cm2，求△ABC的面积．(第21题)22．如图①，在△ABC中，AE平分∠BAC，∠C＞∠B，F是AE上一点，且FD⊥BC于点D.(1)试猜想∠EFD，∠B，∠C的关系，并说明理由；(2)如图②，当点F在AE的延长线上时，其余条件不变，(1)中的结论还成立吗？说明理由．①　　　　　　　　②6,(第22题)6,答案一、1.B　2.C　3.B　4.D5．C　【点拨】A满足条件∠1＋∠2＝180°，也满足结论∠1≠∠2，故错误；B不满足条件，也不满足结论，故错误；C满足条件，不满足结论，故正确；D不满足条件，也不满足结论，故错误．6．B　7.C　8.C　9.D　10.C二、11.互为补角的两个角的和为180°12．45°　【点拨】∵m∥n，∴∠2＝∠BAC＋∠1.∴∠BAC＝∠2－∠1＝45°，∴∠B＝90°－∠BAC＝45°.13.cm或12cm　【点拨】设等腰三角形的腰长是xcm，底边长是ycm，根据题意得或解得或经检验，均符合三角形的三边关系．因此等腰三角形的底边长是cm或12cm.14.15．α＝β＋γ　【点拨】∵三角形内角和是一个定值，为180°，∴∠A＋∠B＋∠C＝180°.当∠A越来越小，∠B、∠C越来越大时，∠A－α＋∠B＋β＋∠C＋γ＝180°，∴α＝β＋γ.16．①④　【点拨】∵CE为∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，∴∠DCE＝∠ACD，∠DBE＝∠ABC.又∵∠DCE是△BCE的外角，∴∠2＝∠DCE－∠DBE＝(∠ACD－∠ABC)＝∠1，故①正确；∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝180°－(180°－∠1)＝90°＋∠1＝90°＋∠2，故②③错误，④正确．三、17.解：已知：∠1＝∠2，∠B＝∠C.求证：∠A＝∠D.证明：∵∠1＝∠CGD，∠1＝∠2，∴∠CGD＝∠2，∴EC∥BF，∴∠AEC＝∠B.又∵∠B＝∠,C，∴∠AEC＝∠C，∴AB∥CD，∴∠A＝∠D.(答案不唯一)18．解：(1)第三条边长为30－a－(2a＋2)＝28－3a(米)．(2)根据三角形三边关系，得2a＋2－a＜28－3a＜2a＋2＋a，解得＜a＜.19．解：依题意，得∠DBA＝60°，∠FCA＝40°.∴∠ABC＝∠DBC－∠DBA＝90°－60°＝30°，∠BCA＝∠BCF＋∠FCA＝90°＋40°＝130°.∴在△ABC中，∠BAC＝180°－∠ABC－∠BCA＝180°－30°－130°＝20°.答：在灯塔A处观看B和C时的视角∠BAC是20°.20．(1)解：∵∠B＝35°，∠E＝20°，∴∠ECD＝∠B＋∠E＝55°.∵CE是∠ACD的平分线，∴∠ACD＝2∠ECD＝110°，∴∠BAC＝∠ACD－∠B＝75°.(2)证明：∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE.∵∠DCE＝∠B＋∠E，∴∠ACE＝∠B＋∠E，∴∠BAC＝∠ACE＋∠E＝∠B＋∠E＋∠E＝∠B＋2∠E.21．解：(1)∵AE是△ABC中BC边上的中线，∴BE＝EC＝3.5cm.∴S△ABE＝·BE·AD＝×3.5×5＝(cm2)，S△AEC＝·EC·AD＝×3.5×5＝(cm2)．(2)三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形．(3)由(2)中的结论，可得S△ABC＝2S△ACD＝4S△ADE＝8S△AEF＝8×1＝8(cm2)．22．解：(1)∠EFD＝∠C－∠B.理由如下：由AE是∠BAC的平分线知∠BAE＝∠BAC.由三角形外角的性质知∠FED＝∠B＋∠BAC，故∠B＋∠BAC＋∠EFD＝90°①.由三角形内角和定理，得∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，所以∠B＋∠BAC＋∠C＝90°②.,②－①，得∠EFD＝∠C－∠B.(2)成立．理由如下：由对顶角相等和三角形的外角性质知∠FED＝∠AEC＝∠B＋∠BAC，故∠B＋∠BAC＋∠EFD＝90°③.由三角形内角和定理，得∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，所以∠B＋∠BAC＋∠C＝90°④.④－③，得∠EFD＝∠C－∠B.