第三章达标检测卷一、选择题(本大题共12道小题，每小题3分，共36分)1．下面的每组数分别是一个三角形的三边长：①6，8，10；②12，13，5；③17，8，15；④4，11，9.其中能构成直角三角形的有(　　)A．4组B．3组C．2组D．1组2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，若∠A＋∠C＝90°，则下列等式中成立的是(　　)A．a2＋b2＝2c2B．b2＋c2＝a2C．a2＋c2＝b2D．c2－a2＝b23．如图，阴影部分是一个正方形，此正方形的面积是(　　)A．16B．8C．4D．24．东海上一艘快艇欲驶向正东方向24km远的A处，速度为50km/h，由于水流原因，半小时后快艇到达位于A处正南方向的B处，则此时快艇距离A处(　　)A．25kmB．24kmC．7kmD．1km5．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是(　　)A．∠A＝∠B＋∠CB．∠A：∠B：∠C＝1：1：2C．b2＝a2＋c2D．a：b：c＝1：1：26．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，b的面积分别为5和13，则c的面积为(　　)A．4B．8C．12D．187．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，则BE的长是(　　)A．3B．5C.D．610 8．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AC＝17，BC＝16，AD＝15，则△ABC的面积为(　　)A．128B．136C．120D．2409．如图是台阶的示意图，已知每个台阶的宽度都是30cm，每个台阶的高度都是15cm，则A，B两点之间的距离等于(　　)A．195cmB．200cmC．205cmD．210cm10．如图是一个圆柱形的饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一根到达底部的直吸管在罐内部分的长度a(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)的范围是(　　)A．12≤a≤13B．12≤a≤15C．5≤a≤12D．5≤a≤1311．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为4，5，3，4，则最大的正方形E的面积是(　　)A．14B．15C．16D．1812．如图，已知∠C＝90°，AB＝12，BC＝3，CD＝4，AD＝13，则∠ABD的度数是(　　)A．70°B．80°C．90°D．100°二、填空题(本大题共6道小题，每小题3分，共18分)13．小明向东走80m后，沿另一方向又走了60m，再沿第三个方向走100m回到原地，小明向东走80m后是向________方向走的．14．飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩正上方4000m处，过了10s，飞机距离这个男孩头顶5000m，则飞机平均每小时飞行__________．15．某直角三角形中一直角边的长为9，另两边的长为连续自然数，则该直角三角形的周长为____________．16．如图，在一根长90cm的灯管上缠满了彩色丝带，已知可近似地将灯管看成圆柱体，且底面周长为4cm，彩色丝带均匀地缠绕了30圈，则彩色丝带的总长度为________．10 17．图①是第七届国际数学教育大会(ICME－7)的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形(如图②所示)演化而成的．如果图②中的OA1＝A1A2＝A2A3＝…A7A8＝1，那么OA82的长为________．18．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE垂直平分AC，垂足为O，AD∥BC，且AB＝5，BC＝12，则AD的长为________．三、解答题(本大题共7道小题，19－21题每题8分，22－24题每题10分，25题12分，共66分)19．如图，在四边形ABFC中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＝2AB2－CD2.试说明：AB＝BC.10 20．小颖用四块完全一样的长方形地砖，恰好拼成如图①所示图案，如图②，连接对角线后，她发现该图案中可以用“面积法”采用不同方案去说明勾股定理．设AE＝a，DE＝b，AD＝c，请你找到其中一种方案说明：a2＋b2＝c2.21．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BC＝6，AC＝8，AB＝10.求CD的长．10 22．如图所示的一块草地，已知AD＝12m，CD＝9m，∠ADC＝90°，AB＝39m，BC＝36m，求这块草地的面积．23．如图，某港口O位于南北延伸的海岸线上，东面是大海．“远洋”号、“长峰”号两艘轮船同时离开港口O，各自沿固定方向航行，“远洋”号每小时航行12海里，“长峰”号每小时航行16海里，它们离开港口1小时后，分别到达A，B两个位置，且AB＝20海里，已知“远洋”号沿着北偏东60°方向航行，请判断“长峰”号航行的方向，并说明理由．10 24．如图所示的圆柱形容器的高为1.2m，底面周长为1m．在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一只蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁的点A处，且距离容器上沿0.3m(点A，B在同一个经过圆柱中心轴的截面上)，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为多少(容器厚度忽略不计)?10 25．如图甲是一个直角三角形ABC，它的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC全等的三角形，放在边长为a＋b的大正方形内．(1)由图乙、图丙，可知①是以________为边长的正方形，②是以________为边长的正方形，③的四条边的长都是________，且每个角都是直角，所以③是以________为边长的正方形．(2)图乙中①的面积为________，②的面积为________，图丙中③的面积为________．(3)图乙中①②的面积之和为________．(4)图乙中①②的面积之和与图丙中③的面积有什么关系？为什么？由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？10 答案一、1.B　2.C　3.B　4.C　5.D　6.B7．B　8.C　9.A　10.A　11.C　12.C二、13.北或南14．1080km15．90　16．150cm17．8　【点拨】由题意可得OA22＝12＋12＝2，OA32＝12＋2＝3，…，所以OAn2＝n，所以OA82＝8.18.三、19.解：因为在△ABC中，∠ABC＝90°，所以AB2＋BC2＝AC2.因为在△ACD中，CD⊥AD，所以AD2＋CD2＝AC2.所以AB2＋BC2＝AD2＋CD2.又因为AD2＝2AB2－CD2，所以AB2＋BC2＝2AB2－CD2＋CD2.所以AB2＝BC2.所以AB＝BC.20．解：(答案不唯一)因为AE＝a，DE＝b，AD＝c，所以S正方形EFGH＝EH2＝(a＋b)2，S正方形EFGH＝4S△AED＋S正方形ABCD＝4×ab＋c2＝2ab＋c2，所以(a＋b)2＝2ab＋c2.所以a2＋b2＝c2.21．解：因为在△ABC中，BC＝6，AC＝8，AB＝10，所以BC2＋AC2＝AB2.所以∠ACB＝90°.10 因为AC×BC＝AB×CD，所以×6×8＝×10×CD，解得CD＝4.8.22．解：连接AC.因为∠ADC＝90°，所以AC2＝CD2＋AD2＝92＋122＝225，所以AC＝15m.在△ABC中，AB2＝1521，AC2＋BC2＝152＋362＝1521.所以AB2＝AC2＋BC2，所以∠ACB＝90°，所以S△ABC－S△ACD＝AC·BC－AD·CD＝×15×36－×12×9＝216(m2)．所以这块草地的面积是216m2.【点拨】求解不规则图形的面积时，常通过作辅助线构造直角三角形，进而利用勾股定理求出各边的长，然后由直角三角形的判定方法判定出直角三角形，再结合三角形的面积公式进行求解．23．解：由题意得OA＝12海里，OB＝16海里，AB＝20海里．因为122＋162＝202，所以OA2＋OB2＝AB2.所以△OAB是直角三角形，∠AOB＝90°.因为∠DOA＝60°，所以∠COB＝180°－90°－60°＝30°.所以“长峰”号航行的方向是南偏东30°.24．解：圆柱形容器的侧面展开图如图所示，作点A关于直线EF的对称点A′，连接A′B，交EF于点P，连接AP，则AP＋PB的值为壁虎捕捉蚊子的最短距离．过点B作BM⊥AA′于点M.易知在Rt△A′MB中，A′M＝1.2m，BM＝0.5m，根据勾股定理可得A′B＝1.3m.因为A′B＝AP＋PB，10 所以壁虎捕捉蚊子的最短距离为1.3m.25．解：(1)a；b；c；c(2)a2；b2；c2(3)a2＋b2(4)图乙中①②的面积之和与图丙中③的面积相等．理由：由大正方形的边长为a＋b，得大正方形的面积为(a＋b)2，图乙中可把大正方形分成四部分，分别是边长为a的正方形，边长为b的正方形，还有两个长为a，宽为b的长方形，根据面积相等得(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab.由图丙可得(a＋b)2＝c2＋4×ab.所以a2＋b2＝c2.所以图乙中①②的面积之和与图丙中③的面积相等．由此能得到关于直角三角形三边长的关系：两直角边的平方和等于斜边的平方．10