13.3等腰三角形13.3.1等腰三角形 北京五塔寺西安半坡博物馆斜拉桥梁埃及金字塔图片欣赏 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.等腰三角形：相等的两边叫做腰，另一边叫做底边.两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.ACB底边知识回顾顶角底角底角腰腰 如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特点？探究新知ABCD答：△ABC中AB=AC，所以△ABC是等腰三角形. 把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.探究新知重合的线段重合的角ACBDAB＝ACBD＝CDAD＝AD∠B＝∠C.∠BAD＝∠CAD∠ADB＝∠ADC 仔细观察自己剪出的等腰三角形纸片，你能发现这个等腰三角形有什么性质吗？说一说你的猜想.探究新知猜想等腰三角形的性质:（1）等腰三角形的两个底角相等；（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合． 在一张白纸上任意画一个等腰三角形，把它剪下来，折一折，你的猜想仍然成立吗？由此你能概括出等腰三角形的性质吗？猜想仍成立.等腰三角形的性质:（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简写成“三线合一”）．探究归纳 已知：如图，△ABC中，AB=AC．求证：∠B=∠C．AＢCD证明：作底边BC的中线AD．AB=AC，BD=CD，AD=AD，∴△ABD≌△ACD（SSS）．∴∠B=∠C．探究证明∵ 你还有其他方法证明性质1吗？答：可以作底边的高线或顶角的角平分线.AＢCD探究证明 已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD是底边BC的中线．求证：∠BAD=∠CAD，AD⊥BC．ABCD证明：∵AD是底边BC的中线∴BD=CD．∵AB=AC，BD=CD，AD=AD，∴ABD≌△ACD（SSS）．∴　∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC．∵　∠ADB+∠ADC=180°，∴　∠ADB=90°．∴AD⊥BC．探究证明 在等腰三角形性质的探索过程和证明过程中“折痕”“辅助线”发挥了非常重要的作用，由此，你能发现等腰三角形具有什么特征？探究发现等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴． 填空：（1）如图，△ABC中,AB=AC,∠A=36°,则∠B=°；ABC随堂练习72 ABC填空：（2）如图，△ABC中,AB=AC,∠B=36°,则∠A=°；随堂练习108 填空：（3）已知等腰三角形的一个内角为70°,则它的另外两个内角的度数分别是.随堂练习40°，70°或55°，55° 答：这两个角所对的边相等．思考：我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么他们所对的角相等.反过来如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边有什么关系？探究新知如何证明呢？ 证明：过A点作AE⊥BC，垂足为E.在△ABE和△ACE中，ABCE∠B=∠C，∠AEB=∠AEC=90°，AE=AE，∴△ABE≌△ACE．∴AB=AC．追问：你还有其他证明方法吗？已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C.求证：AB=AC．探究新知 等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．ABC符号语言：∵在△ABC中，∠B=∠C，∴AB=AC．探究归纳 例1：求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC．求证：AB=AC.ABCDE12例题解析 证明：∵AD∥BC，∴∠1=∠B（），∠2=∠C（）．例1：已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC．求证：AB=AC.两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等而已知，∠1=∠2，所以∴∠B=∠C．∴AB=AC（）．例题解析等边对等角ABCDE12 DC例2：已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形.作法：（1）作线段AB=a；（2）作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D；（3）在MN上取一点C，使DC=h；（4）连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形.ABMN例题解析 1、如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°.线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于()A.80°B.70°C.60°D.50°【解析】选C.因为AB=AC，∠A=20°，所以∠ABC=（180°-∠A）=80°，因为DE垂直平分AB，所以∠ABE=∠A=20°，所以∠CBE=∠ABC-∠ABE=80°-20°=60°.随堂练习C BADC2、已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC.求证：AB=AD.证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD.随堂练习 特征轴对称图形性质1两个底角相等，简称“等边对等角”性质2顶角平分线、底边上的中线、和底边上的高互相重合，简称“三线合一”等腰三角形归纳总结能根据等腰三角形的概念与性质求等腰三角形的周长或知道一角求其它两角或证线段、角相等。