第24章圆的复习人教版九年级数学上册 圆中的计算与圆有关的位置关系圆的基本性质一、知识结构圆点与圆的位置关系圆与圆的位置关系直线与圆的位置关系扇形面积,弧长,圆锥的侧面积和全面积弧、弦与圆心角圆周角及其与同弧上圆心角圆的对称性切线圆的切线切线长 一.圆的基本概念:1.圆的定义:到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.2.有关概念:(1)弦、直径(圆中最长的弦)(2)弧、优弧、劣弧、等弧(3)弦心距．O 弦、弧、圆心角、圆周角在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这弧所对的圆心角的一半.直径所对的圆周角是直角.90°的圆周角所对的弦是直径. 二.圆的基本性质1.圆的对称性:(1)圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.圆有无数条对称轴.(2)圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转任何一个角度都能与自身重合,即圆具有旋转不变性.． 练习1.如图,⊙O为△ABC的外接圆，AB为直径,AC=BC,则∠A的度数为；2.⊙O中,弦AB所对的圆心角∠AOB=100°，则弦AB所对的圆周角为_________; 3.如何用一把直角尺检查镜上的装饰品是否恰好为半圆形？练习 4.如图，AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦，延长BD到点C,使DC=BD,连接AC交⊙O与点F.(1)AB与AC的大小有什么关系?为什么?(2)按角的大小分类,请你判断△ABC属于哪一类三角形，并说明理由。练习 垂径定理●OABCDM└③AM=BM,重视：垂径定理——直角三角形若①CD是直径②弦AB⊥CD可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.垂径定理推论②CD⊥AB,由①CD是直径③AM=BM可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.●OCD●MAB┗有关垂径定理的问题常涉及到半径、弦、弦心距、平行弦、弓形高 1、⊙O的半径为10，弦AB∥CD，AB=16，CD=12，则AB、CD间的距离是___.练习2、如图，CD为⊙O直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1，AB=10，则CD=..ABDEO3、如图,⊙M与x轴相交于点A(2,0)，B(8,0),与y轴相切于点C,则圆心M的坐标是.C 4.圆周角:定义:顶点在圆周上，两边和圆相交的角，叫做圆周角.性质:(1)在同一个圆中,同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.∠BAC=∠BOC12 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有的圆周角相等.相等的圆周角所对的弧相等.圆周角的性质(2)∵∠ADB与∠AEB、∠ACB是同弧所对的圆周角∴∠ADB=∠AEB=∠ACB 性质3:半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于900(直角).性质4:900的圆周角所对的弦是圆的直径.∵AB是⊙O的直径∴∠ACB=900圆周角的性质: ●A●B●C点与圆的位置关系点到圆心的距离d与圆的半径r之间关系点在圆外点在圆上点在圆内●Odrd﹥rd=rd﹤r点与圆的位置关系不在同一直线上的三个点确定一个圆。 5.已知：△ABC，AC=12，BC=5，AB=13,则△ABC的外接圆半径为。练习6.如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B点坐标(4,4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为。 ．O．Ol(1)当直线与圆相离时d＞r;(2)当直线与圆相切时d=r;(3)当直线与圆相交时d＜r.直线与圆位置关系的识别:∟drl∟dr．Ol∟dr设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则: 直线与圆的位置关系圆心与直线的距离d与圆的半径r的关系直线名称直线与圆的交点个数相离相切相交●ldrd﹥r——0d=r切线1d﹤r割线2直线和圆的位置关系切线的判定定理经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径.切线长定理从圆外一点向圆所引的两条切线长相等;并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 切线的识别方法1.与圆有一个公共点的直线。2.圆心到直线的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。3.经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。．OA∟l∵OA是半径,OA⊥l∴直线l是⊙O的切线. 切线的性质:(1)圆的切线垂直于经过切点的半径.(2)经过圆心垂直于切线的直线必经过切点.(3)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.．O．A∟l∴OA⊥l∵直线l是⊙O的切线,切点为A 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；这点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。BAPO．．．∵PA、PB为⊙O的切线∴PA=PB,∠APO=∠BPO 不在同一直线上的三点确定一个圆.O．．C．B．A三角形的外接圆与内切圆:三角形的外心就是三角形各边垂直平分线的交点.．OABC三角形的内心就是三角形各角平分线的交点. 等边三角形的外心与内心重合.特别的:内切圆半径与外接圆半径的比是1:2.OABCD 圆与圆的位置关系:.....外离外切相交内切内含 ．O1．O2．O1．O2．O1．O2．O2．O1．O1．O2两圆的位置关系数量关系及识别方法外离外切相交内切内含d＞R+rd=R+rd=R-rd＜R-rR-r＜d＜R+r 练习1.已知圆心O到直线a的距离为5,圆的半径为r,当r=__时,圆O与a相切.2.如图圆O切PB于点B,PB=4,PA=2,则圆O的半径是____.OABP3.如图PA,PB,CD都是圆O的切线,PA的长为4cm,则△PCD的周长为_____cmABCDOP. 练习4.如图，PA、PB是圆的切线，A、B为切点，AC为直径，∠BAC=200，则∠P=。ACBP直角三角形的内切圆半径与三边关系:三角形的内切圆半径与圆面积: 1.已知⊙O1和⊙O2的半径分别为5和2，O1O2＝3,则⊙O1和⊙O2的位置关系是;练习2.已知两圆的半径分别是2和3，两圆的圆心距是4，则这两个圆的位置关系是;3.两圆相切,圆心距为10cm,其中一个圆的半径为6cm,则另一个圆的半径为_____;4.已知圆O1与圆O2的半径分别为12和2,圆心O1的坐标为(0,8),圆心O2的坐标为(-6,0),则两圆的位置关系是______; 正多边形和圆边长、半径、边心距中心角、内角 三.正多边形:2.半径：正多边形外接圆的半径叫做这个正多边形的半径．１.中心：一个正多边形外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．3.中心角：正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角．4.边心距：中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距．OABFDCEG 有关圆的计算弧长的计算公式为：扇形的面积公式为： 圆锥的侧面积和全面积：有关圆的计算OPABrhl 练习1.扇形AOB的半径为12cm,∠AOB=120°求弧AB的长和扇形的面积及周长.2.如图,当半径为30cm的转动轮转过120°时,传送带上的物体A平移的距离为____.A3.小红准备用纸板制作圆锥形的礼帽,圆锥帽底面积半径为9cm,母线长为36cm,请你计算制作一个这样的礼帽需要纸板的面积为_________. 4.⊙O2和⊙O1相交于点A、B，它们的半径分别为2和，公共弦AB长为2，则(1)∠O1AO2=_____.(2)两圆的圆心距=. 5.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE=70°，则∠BOD=()A．35°B.70°C．110°D.140°D 6、如图，A是半径为5的⊙O内的一点，且OA=3，过点A且长小于8的()A.0条B.1条C.2条D.4条A过点A且弦长为整数的弦有()条4 7、在等腰△ABC中，AB=AC=2cm，若以A为圆心，1cm为半径的圆与BC相切，则∠ABC的度数为（）A、30°B、60°C、90°D、120°ACB22DA 8.梯形ABCD外切于⊙O,AD∥BC,AB=CD,（1）若AD=4,BC=16,则⊙O的直径为_______;10MN（2）若AO=6,BO=8,则S⊙O=_______;π8