人教版数学八年级上册14.2.1平方差公式导入新知观察与思考某同学在计算97×103时将其变成(100–3)(100+3)并很快得出结果，你知道他运用了什么知识吗？这节课，我们就来一起探讨上述计算的规律.素养目标2.了解平方差公式的几何意义，体会数形结合的思想方法.1.掌握平方差公式的推导及应用.探究新知知识点平方差公式多项式与多项式是如何相乘的？(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn(x＋3)(x＋5)=x2＋5x＋3x＋15=x2＋8x＋15.探究新知面积变了吗？a米5米(a–5)米a米5米相等吗？探究新知做一做计算下列多项式的积，你能发现什么规律？①(x＋1)(x–1)；x2–12②(m＋2)(m–2)；m2–22③(2m＋1)(2m–1)；(2m)2–12④(5y＋z)(5y–z).(5y)2–z2想一想这些计算结果有什么特点？探究新知平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2两数和与这两数差的积,等于这两个数的平方差.u公式变形:1.(a–b)(a+b)=a2–b22.(b+a)(–b+a)=a2–b2探究新知平方差公式相同为a适当交换(a+b)(a–b)=(a)2–(b)2合理加括号相反为b，–b注：这里的两数可以是两个也可以是两个等．探究新知温馨提示(a+b)(a–b)=a2–b2.1.公式中的a和b，既可以是具体的数，也可以是单项式或者多项式；2.左边是两个二项式的积，并且有一项完全相同，另一项互为相反数；3.右边是相同项的平方减去相反项的绝对值的平方.探究新知填一填(a–b)(a+b)aba2–b2(1+x)(1–x)1x12–x2(–3+a)(–3–a)–3a(–3)2–a2(1+a)(–1+a)a1a2–12(0.3x–1)(1+0.3x)0.3x1(0.3x)2–12探究新知做一做口答下列各题：(1)(–a+b)(a+b)=_b_2–_a_2_____.(2)(a–b)(b+a)=_a_2_–_b_2_____.(3)(–a–b)(–a+b)=a_2_–b_2_____.(4)(a–b)(–a–b)=_b_2_–a_2_____.探究新知素养考点1利用平方差公式计算例1计算：(1)(3x＋2)(3x–2)；(2)(–x+2y)(–x–2y).解：(1)原式=(3x)2–22=9x2–4；(2)原式=(–x)2–(2y)2=x2–4y2.易错警示：当相同项带有“负号”时，必须用括号括起来.巩固练习利用平方差公式计算：(1)(3x–5)(3x＋5)；(2)(–2a–b)(b–2a)；(3)(–7m＋8n)(–8n–7m)．解：(1)原式=(3x)2–52＝9x2–25；(2)原式=(–2a)2–b2＝4a2–b2；(3)原式=(–7m)2–(8n)2＝49m2–64n2；探究新知素养考点2利用平方差公式简便运算例2计算:(1)102×98;(2)(y+2)(y–2)–(y–1)(y+5).解:(1)102×98(2)(y+2)(y–2)–(y–1)(y+5)=(100＋2)(100–2)=y2–22–(y2+4y–5)=1002–22不符合平方差公式运=y2–4–y2–4y+算5条件的乘法，按乘法法=10000–4则进行运算.=9996；通过合理变形，=–4y+1.利用平方差公式，可以简化运算.巩固练习计算:(1)51×49;(2)(3x+4)(3x–4)–(2x+3)(3x–2).解:(1)原式=(50＋1)(50–1)(2)原式=(3x)2–42–(6x2+5x–6)=502–12=9x2–16–6x2–5x+6=2500–1=3x2–5x–10.=2499；探究新知素养考点3利用平方差公式进行化简求值例3先化简，再求值：(2x–y)(y＋2x)–(2y＋x)(2y–x)，其中x＝1，y＝2.解：原式＝4x2–y2–(4y2–x2)＝4x2–y2–4y2＋x2＝5x2–5y2.当x＝1，y＝2时，原式＝5×12–5×22＝–15.巩固练习先化简,再求值:(3–x)(3+x)+(x+1)(x–1),其中x=2.解：(3–x)(3+x)+2(x+1)(x–1)=9–x2+2(x2–1)=9–x2+2x2–2=7+x2当x=2时，原式=7+22=7+4=11探究新知素养考点4利用平方差公式进行证明例4对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n–1)–(3–n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？解：原式＝9n2–1–(9–n2)＝10n2–10.∵(10n2–10)÷10=n2–1.n为正整数，∴n2–1为整数即(3n＋1)(3n–1)–(3–n)(3＋n)的值是10的倍数．探究新知归纳总结对于平方差中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式.在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系．巩固练习如果两个连续奇数分别是2n–1，2n+1(其中n为正整数)，证明两个连续奇数的平方差是8的倍数.证明：(2n+1)2–(2n–1)2=[(2n+1)+(2n–1)][(2n+1)–(2n–1)]=(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1)=4n×2=8n因为8n是8的倍数，所以结论成立.探究新知素养考点5利用平方差公式解决实际问题例5王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？解：李大妈吃亏了．理由：原正方形的面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a–4)＝a2–16，∵a2＞a2–16，∴李大妈吃亏了．探究新知归纳总结解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简算式，解决问题．巩固练习如图1,在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的正方形(a>b),把余下的部分剪成一个矩形(如图2).通过计算两个图形(阴影部分)的面积,验证了一个等式,这个等式是(A)aaA.a2–b2=(a+b)(a–b)B.(a+b)2=a2+2ab+b2bbC.(a–b)2=a2–2ab+b2图1图2D.(a+2b)(a–b)=a2+ab–2b2连接中考1.化简(x–1)(x+1)的结果是x2–1．2.某同学化简a(a+2b)–(a+b)(a–b)出现了错误，解答过程如下：原式=a2+2ab–(a2–b2)(第一步)=a2+2ab–a2–b2(第二步)=2ab–b2(第三步)(1)该同学解答过程从第二步开始出错，错误原因是去括号时没有变号；(2)写出此题正确的解答过程．原式=a2+2ab–(a2–b2)=a2+2ab–a2+b2=2ab+b2．课堂检测基础巩固题1.下列运算中，可用平方差公式计算的是(C)A．(x＋y)(x＋y)B．(–x＋y)(x–y)C．(–x–y)(y–x)D．(x＋y)(–x–y)2.计算(2x+1)(2x–1)等于(A)A．4x2–1B．2x2–1C．4x–1D．4x2+13.两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是___1_0____．课堂检测4.利用平方差公式计算：(1)(a+3b)(a–3b)；(2)(3+2a)(–3+2a)；解:原式=(a)2–(3b)2解:原式=(2a+3)(2a–3)=a2–9b2；=(2a)2–32=4a2–9；(3)(–2x2–y)(–2x2+y).解:原式=(–2x2)2–y2=4x4–y2.课堂检测5.计算：20152–2014×2016.解：20152–2014×2016=20152–(2015–1)(2015+1)=20152–(20152–12)=20152–20152+12=1课堂检测6.利用平方差公式计算:2(1)(a–2)(a+2)(a+4)(2)(x–y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).22解:原式=(a–4)(a+4)解：原式=(x2–y2)(x2+y2)(x4+y4)=a4–16.=(x4–y4)(x4+y4)=x8–y8.课堂检测能力提升题先化简，再求值：(x+1)(x–1)+x2(1–x)+x3，其中x＝2.解：原式=x2–1＋x2–x3＋x3=2x2–1.将x＝2代入上式，原式=2×22–1=7.课堂检测拓广探索题已知x≠1，计算：(1＋x)(1–x)＝1–x2，(1–x)(1＋x＋x2)＝1–x3，(1–x)(1＋x＋x2＋x3)＝1–x42n1–xn+1(1)观察以上各式并猜想：(1–x)(1＋x＋x＋…＋x)＝________；(n为正整数)(2)根据你的猜想计算：①(1–2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝_–_6_3_____；②2＋22＋23＋…＋2n＝_2_n＋_1_–_2___(n为正整数)；100③(x–1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝x–1________；课堂小结两个数的和与这两个数的差的积，等内容于这两个数的平方差.平方差公式1.符号表示：(a+b)(a–b)=a2–b2注意2.紧紧抓住“一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用.课后作业教材作业从课后习题中选取作业内容自主安排配套练习册练习谢谢观看ThankYou!