24.4弧长和扇形的面积（第1课时）人教版数学九年级上册 问题2怎样来计算弯道的“展直长度”？问题1如图，在运动会的4×100米比赛中，甲和乙分别在第1跑道和第2跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的.导入新知 2.知道公式中字母的含义，并能正确运用这些公式进行相关计算.1.能推导弧长和扇形面积的计算公式.素养目标 问题1半径为R的圆,周长是多少？ROC=2R问题2①360°的圆心角所对的弧长是多少？②1°的圆心角所对的弧长是多少？③n°的圆心角所对的弧长是多少？探究新知弧长计算公式及相关的计算知识点1 ==问题3下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几?弧长是多少？RO180°OR90°R45°OORn°探究新知180360180弧长=360·2πR180=180R9036090弧长=360·2πR90R1804536045弧长=360·2πR45R180360nn弧长=360·2πR180=nR 用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意注意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.算一算已知弧所对的圆心角为60°，半径是4，则4弧长为_3.ln2RnR360180弧长公式探究新知 解：由弧长公式，可得弧AB的长180l1009005001570(mm),因此所要求的展直长度l=2×700+1570=2970（mm）.答：管道的展直长度为2970mm．700mmR=900mm(CABD100°O700mm00m素养考点弧长公式的应用例制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度l.(单位：mm，精确到1mm)探究新知 旋转的度数为n°.解得n≈90°.因此，滑轮旋转的角度约为90°.180nR15.7,一滑轮起重机装置（如图），滑轮的半径r=10cm，当重物上升15.7cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O逆时针方向旋转多少度（假设绳索与滑轮之间没有滑动，取3.14）？解：设半径OA绕轴心O逆时针方向巩固练习·OA 半径半径AO圆心角O圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形.如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB.BB弧A扇形探究新知扇形面积计算公式及相关的计算知识点2 下列图形是扇形吗？判一判√×××√探究新知 rO问题1半径为r的圆,面积是多少？S=r2问题3下页图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，具体是多少呢?问题2①360°的圆心角所对扇形的面积是多少？②1°的圆心角所对扇形的面积是多少？③n°的圆心角所对扇形的面积是多少？探究新知 rO180°Or90°Or45°n°rO圆心角占周角的比例扇形面积占圆面积的比例扇形的面积1803601803601πr2290360903601πr2445360453601πr28n360n360nr2360探究新知 扇形面积公式①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.注意nr2半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的面积S扇形=360探究新知 圆心角大小不变时，对应的扇形面积与半径有关，半径越长，面积越大.大，面积越大.圆的半径不变时，扇形面积与圆心角有关，圆心角越总结：扇形的面积与圆心角、半径有关.O●ABDCFO●ABCD问题扇形的面积与哪些因素有关？E探究新知 问题扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？想一想:扇形的面积公式与什么公式类似？180221802扇形Snrr1nrr1lrABOOnrl180nr2S扇形=360探究新知 OR60°1803扇形的周长为360360nr26010250S===52.36(cm2).180l=2r+nr=20+6010=20+31030.47(cm).探究新知素养考点1扇形面积公式的应用例1如图，圆心角为60°的扇形的半径为10cm.求这个扇形的面积和周长.（精确到0.01cm2和0.01cm）解：∵n=60，r=10cm，∴扇形的面积为 ，则这43已知半径为2cm的扇形，其弧长为个扇形的面积S扇=3．4cm2已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积S扇=3.4巩固练习 例2如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积.（精确到0.01cm）O.BAC(1)讨论：(1)截面上有水部分的面积是指图上哪一部分？阴影部分.探究新知求阴影部分的面积素养考点2 BAO.DC(2)BAO.DC(3)(2)水面高0.3m是指哪一条线段的长？这条线段应该怎样画出来？线段DC.过点O作OD垂直于AB并交圆O于C.(3)要求图中阴影部分面积，应该怎么办？阴影部分面积=扇形OAB的面积-△OAB的面积.探究新知 解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D，交AB于点C,连接AC.∵OC＝0.6,DC＝0.3,∴OD＝OC-DC＝0.3，∴OD＝DC.又AD⊥DC，∴AD是线段OC的垂直平分线，∴AC＝AO＝OC.从而∠AOD＝60˚,∠AOB=120˚.BAO.DC(3)探究新知有水部分的面积：S＝S扇形OAB-SΔOAB120π0.621ABOD36020.12π10.630.320.22(m2) OO弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积•S弓形=S扇形-S三角形•S弓形=S扇形+S三角形弓形的面积公式探究新知 解析：阴影部分的面积就是扇形OAC的面积，由题意得：∠AOC=60°÷3=20°.扇形OACS==2π.36020π62巩固练习如图，扇形OAB的圆心角为60°，半径为6cm，C，D是弧AB的三等分点，则图中阴影部分的面积和是2π．2π C．2π解析：连接OD，∵∠ABD=30°∴∠AOD=2∠ABD=60°∴∠BOD=120°，180=3.A．2πB．4π33D．8π31.如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD=30°，BO=4，则BD的长为（D）连接中考∴BD的长=120π×48π D．6π2.如图，在平行四边形ABCD中，∠B=60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是（C）A．πB．2πC．3π解析：在平行四边形ABCD中，∵∠B=60°，∴∠C=120°，又∵⊙C的半径为3，360∴图中阴影部分的面积是：120π×32=3π.连接中考 A.C.D.33B．38477738343的面积为（C）1.已知弧所对的圆心角为90°,半径是4,则弧长2.2.如图，Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°,BC=2,O、H分别为AB、AC的中点，将△ABC顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过ABCOHC1A1H1O1课堂检测基础巩固题 3.如图，☉A、☉B、☉C、☉D两两不相交，且半径都是2cm，则图中阴影部分的面积是.12πcm2ACBD课堂检测 1.如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC＝3，∠ACB＝90°，∠A＝30°.若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为_(_4_3_)__(结果用含π的式子表示)．A1A2C1课堂检测能力提升题l 2.如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积.OABDCES△OAB解：S弓形=S扇形课堂检测2400.6210.30.6336020.240.0930.91cm2. 等于弧AA'的长.∵等边三角形ABC的边长为10cm，∴弧AA'所在圆的半径为10cm.ABA'B'C1803∴l弧AA'1201020(cm).答：顶点A从开始到结束时所经过的路程为320cm.课堂检测拓广探索题如图，一个边长为10cm的等边三角形模板ABC在水平桌面上绕顶点C按顺时针方向旋转到△A'B'C的位置，求顶点A从开始到结束所经过的路程为多少.解:由图可知，由于∠A'CB'=60°，则等边三角形木板绕点C按顺时针方向旋转了120°，即∠ACA'=120°，这说明顶点A经过的路程长 弧长180计算公式：lnR扇形定义公式360nR2S扇形1S扇形2C1R阴影部分面积求法：整体思想弓形公式S弓形=S扇形-S三角形S弓形=S扇形+S三角形割补法课堂小结 作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习课后作业 谢谢观看ThankYou