人教版数学九年级上册22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质导入新知（1）你们喜欢打篮球吗？（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？素养目标3.能根据图象说出抛物线y=ax²的开口方向、对称轴、顶点坐标，能根据a的符号说出顶点是抛物线的最高点还是最低点.2.会用描点法画出二次函数y=ax²的图象，概括出图象的特点，知道抛物线y=ax²的开口方向与a的符号有关.1.正确理解抛物线的有关概念.探究新知知识点1二次函数y=ax2的图象的画法画出二次函数y=x2的图象.1.列表：在y=x2中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：x…-3-2-10123…y=x2…9410149…探究新知2.描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）3.连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y=x2的图象．y963ox-4-224探究新知当取更多个点时，函数y=x2的图象如下：y96对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.这条抛物线关于y轴对称,3y轴就是它的对称轴.ox-33二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.探究新知画出函数y=-x2的图象.x…-3-2-10123…y=-x2…-9-4-10-1-4-9…y-4-2024x-3-6-9探究新知知识点2二次函数y=ax2的图象性质根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.1.y＝x2的图象是一条抛物线;2.图象开口向上;3.图象关于y轴对称;4.顶点（0，0）;5.图象有最低点．探究新知说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.1.y＝-x2的图象是一条抛物线;2.图象开口向下;3.图象关于y轴对称;4.顶点（0，0）;5.图象有最高点．探究新知二次函数y=ax2的图象性质1.顶点都在原点（0,0）;2.图像关于y轴对称;3.当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下．探究新知观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a＞0)的y关系是什么？y=ax2二次项系数互为相反数，开口相反，xO大小相同，它们关于x轴对称.y=-ax2探究新知知识点3二次函数y=ax2的性质1.观察图形，y随x的变化如何变化？(-2,4)(2,4)(-1,1)(1,1)2yx2yax探究新知二次函数y=ax2的性质对于抛物线y=ax2（a＞0）当x＞0时，y随x取值的增大而增大；当x<0时，y随x取值的增大而减小.探究新知2.观察图形，y随x的变化如何变化？22yxyax(-1,-1)(1,-1)(-2,-4)(2,-4)探究新知二次函数y=ax2的性质对于抛物线y=ax2（a＜0）当x＞0时，y随x取值的增大而减小；当x<0时，y随x取值的增大而增大.探究新知122在同一直角坐标系中，画出函数yx,y2x的图象．2解：分别填表，再画出它们的图象，如图：x···－4－3－2－101234···12······yx84.520.500.524.582x···－2－1.5－1－0.500.511.52···284.520.500.524.58y2x······探究新知1222【思考】二次函数yx,yx,y2x的图象开口大小与2a的大小有什么关系？2y2x2yx86412yx22-4-224当a>0时，a越大，开口越小.探究新知122【练一练】在同一直角坐标系中，画出函数yx,y2x2的图象．x···－4－3－2－101234···12yx···-8-4.5-2-0.50-0.5-2-4.5-8···2x···－2－1.5－1－0.500.511.52···2y2x···-8-4.5－2－0.50－0.5－2－4.5－8···探究新知1222【思考】二次函数y2x,yx,y2x的图象开口大小与a的大小有什么关系？y－4－22x－24当a<0时，a越小（即a的绝对－412值越大），开口越小.－6yx2－82y2x2yx对于抛物线y=ax2，｜a｜越大，抛物线的开口越小．探究新知y＝ax2a>0a<0yyx图象OOx位置开开口向上,在x轴上方开口向下,在x轴下方口方向a的绝对值越大，开口越小对称性关于y轴对称，对称轴是直线x＝0顶点坐标是原点（0，0）顶点最值当x=0时，y最小值=0当x=0时，y最大值=0在对称轴左侧递减在对称轴左侧递增增减性在对称轴右侧递增在对称轴右侧递减探究新知填一填（1）函数y=4x2的图象的开口向上,对称轴是y轴,顶点是(0,0);（2）函数y=－3x2的图象的开口向下,对称轴是y轴,顶点是(0,0)顶点是抛物线的最高点;（3）函数y=3x2的图象的开口向上,对称轴是y轴,顶点是(0,0);顶点是抛物线的最低点;（4）函数y=－0.2x2的图象的开口向下,对称轴是y轴,顶点是(0,0).探究新知素养考点利用函数y=ax2的图像性质确定字母的值m2+m例已知y=(m+1)x是二次函数,且其图象开口向上,求m的值和函数解析式m+1>0,①解:依题意有:m2+m=2,②解②,得m1=－2,m2=1.由①,得m>－1.因此m=1.此时,二次函数为y=2x2.巩固练习2kk4已知y(k2)x是二次函数，且当x＞0时，y随x增大而增大，则k=2.2kk4解：y(k2)x是二次函数，即二次项的系数不为0，x的指数等于2.又因当x＞0时，y随x增大而增大,即2kk42说明二次项的系数大于0.因此，，解得k=2.k2＞0探究新知知识点4二次函数y=ax2的实际应用二次函数y=ax2是刻画客观世界许多现象的一种重要模型.12121hgtEmvSat2222物体自由下落的高质量为m的物体运物体做匀加速运动度h与下落时间t之动时的能量E与其时，行驶路程与时间的关系（g代表重运动速度v之间的间的关系（a代表力加速度，为定值）关系（m为定值）加速度，为定值）探究新知素养考点二次函数y=ax2与不等式的综合运用例已知正方形的周长为Ccm，面积为Scm2，2周长（1）求S与C之间的二次函数关系式；面积24c即：S=（c＞0）16（2）画出它的图象；注意自变量的范围（3）根据图象，求出当S=1cm2时，正方形的周长；（4）根据图象，求出C取何值时，S≥4cm2.探究新知解：（1）∵正方形的周长为Ccm，C∴正方形的边长为cm，42C∴S与C之间的关系式为S=；16（2）作图如右：（3）当S=1cm2时，C2=16，即C=4cm.2C（4）若S≥4cm2，即≥4，解得C≥8，或c≤-8(舍去）.16因此C≥8cm.巩固练习已知二次函数y＝2x2.(1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则y1__<___y2；(填“>”“＝”或“<”)；(2)如图，此二次函数的图象经过点(0，0)，长方形ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和．巩固练习(2)解：∵二次函数y＝2x2的图象经过点C，∴当x＝2时，y＝2×22＝8.∵抛物线和长方形都是轴对称图形，且y轴为它们的对称轴，∴OA＝OB,∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右边空白部分面积，∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16.探究新知方法点拨二次函数y＝ax2的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中，我们根据图象中点具有的对称性转变到同一变化区域中(全部为升或全部为降)，根据图象中函数值高低去比较；对于求不规则的图形面积，采用等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解．连接中考2已知抛物线y=ax(a＞0)过点A（-2，y1）,B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（C）A.y1＞0＞y2B.y2＞0＞y1C.y1＞y2＞0D.y2＞y1＞0课堂检测基础巩固题1.函数y=2x2的图象的开口向上,对称轴y轴,顶点y是(0,0);在对称轴的左侧，y随x的增大而减小,在对称轴的右侧,y随x的增大而增大.Ox2.函数y=-3x2的图象的开口向下,对称轴y轴,yx顶点是(0,0);O在对称轴的左侧,y随x的增大而增大,在对称轴的右侧,y随x的增大而减小.课堂检测3.如右图，观察函数y=（k-1）x2的图象,则ky的取值范围是k>1.4.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：Ox开口方向对称轴顶点2y3x向上y轴（0,0）2y3x向下y轴（0,0）12yx向上y轴（0,0）312yx向下y轴（0,0）3课堂检测能力提升题已知二次函数y=x2，若x≥m时，y最小值为0，求实数m的取值范围．解：在二次函数y=x2中，a=1＞0因此当x=0时，y有最小值.∵当x≥m时，y最小值=0，∴m≤0．课堂检测拓广探索题已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．y3x4,x4,x1,解：由题意得2解得或yx,y16,y1,因此两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)．∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4.两交点与原点所围成的三角形面积S△ABO＝S△ACO＋S△BOC.在△BOC中，OC边上的高就是B点的横坐标值的绝对值1；在△ACO中，OC边上的高就是A点的横坐标值的绝对值4.11因此S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝×4×1+2×4×4＝10.2课堂小结以对称轴为中画法描点法心对称取点二次函数2图象抛物线轴对称图形y=ax的图象及性质开口方向及大小重点关性质对称轴注4个方面顶点坐标增减性课后作业教材作业从课后习题中选取作业内容自主安排配套练习册练习谢谢观看ThankYou!