人教版数学九年级上册22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质（第1课时）回顾旧知二次函数y=a(x-h)2+k的性质y=a(x-h)2+k(a≠0)a>0a<0开口方向向上向下顶点坐标(h,k)(h,k)对称轴x=hx=h当x<h时，当x<h时,y随着x的增大y随着x的增大而减小.而增大.增减性当x>h时，当x>h时，y随着x的增大y随着x的增大而增大.而减小.极值x=h时,y最小值=kx=h时,y最大值=k抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上下和左右平移得到.导入新知我们已经知道二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论二次函数y=ax2+bx+c图象和性质?素养目标3.能根据所给的自变量的取值范围画二次函数的图象.2.能熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k.探究新知知识点1画出二次函数y=ax2+bx+c的图象我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能12否利用这些知识来讨论yx6x21的2图象和性质？12【思考1】怎样将yx6x21化成y=a(x-2h)2+k的形式？探究新知12怎样将yx6x21化成y=a(x-h)2+k的形式？212配方可得yx6x21想一想：配方的方212(x12x42)法及步骤是什么？21222(x12x6642)21222[(x12x6)642]212[(x6)6]212(x6)3.2探究新知12yx6x212(1)“提”：提出二次项系数；配方(2)“配”：括号内配成完全平方；(3)“化”：化成顶点式.12【提示】配方后的表达式通常称y(x6)32为配方式或顶点式.探究新知12【思考2】你能说出y(x6)3的对称轴及顶点坐标吗？2答：对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）.1212【思考3】二次函数y(x6)3可以看作是由yx怎22样平移得到的？答：平移方法1：先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的；平移方法2：先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的.探究新知12【思考4】如何画二次函数yx6x21的图象？2x…3456789…12y(x6)+3…7.553.533.557.5…2y方法一：描点法101.利用图象的对称性列表2.然后描点画图，得到5图象如右图.y1x2-6x212O510x探究新知方法二：平移法y-1x2-6x21y2861214y(x6)2yx222-4-2O2468x探究新知12【思考5】结合二次函数yx6x21的图象，说出2其性质.yx=6当x<6时，y随x的增大而减小；10当x>6时，y随x的增大而增大.开口方向：向上.5对称轴：x=6.顶点：(6,3).O510x探究新知素养考点画二次函数y=ax2+bx+c的图象并且说出它的性质125例画出函数y2xx2的图象，并说明这个函数具有哪些性质.12512解:函数y2xx2通过配方可得y(x1)2，2先列表：x···-2-101234···y···-6.5-4-2.5-2-2.5-4-6.5···探究新知然后描点、连线，得到图象如下图：y-4-224由图象可知，这个函数具有如下性质：x0开口方向：向下.-2顶点坐标：（1，-2）.-4对称轴：x=1.-6最值：x=1时，y最大值=-2.当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；-8当x＞1时，函数值y随x的增大而减小；当x=1时，函数取得最大值，最大值y=-2.巩固练习求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标.2解：y2x8x722(x4x)722(x4x4)8722(x2)1.因此，二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标为(2,-1).探究新知知识点2二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质根据下列关系你能发现二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质吗？22b24acby=ax+bx+ca(x)2a4a探究新知22b24acby=ax+bx+ca(x)2a4a2b4acb2,b24acb显然，二次函数ya(x)的顶点坐标为2a4a.2a4abx二次函数的对称轴为2a.一般表达式二次函数的顶点式2bb4acbx,因此，抛物线的对称轴是2a，顶点是2a4a.探究新知2b4acb二次函数y=ax2+bx+c的图象顶：点坐标，.2a4ayy最大值增减性？yax2bxcyax2bxcOxOxbbxx2a2a最小值（a>0）（a<0）探究新知探究新知素养考点指出二次函数y=ax2+bx+c的有关性质例二次函数y=x2+2x﹣3的开口方向、顶点坐标分别是（A）A．开口向上，顶点坐标为（﹣1，﹣4）方法点拨：把函数的一般B．开口向下，顶点坐标为（1，4）式化为顶点式，再由顶点式确定开口方向、对称轴、C．开口向上，顶点坐标为（1，4）顶点及其他性质.D．开口向下，顶点坐标为（﹣1，﹣4）解析∵二次函数y=x2+2x﹣3的二次项系数为a=1＞0，∴函数图象开口向上，∵y=x²+2x﹣3=（x+1）2﹣4，∴顶点坐标为（﹣1，﹣4）．巩固练习填一填.顶点坐标对称轴最值y=-x2+2x(1,1)x=1最大值1y=-2x2-1(0,-1)y轴最大值-111y=9x2+6x-5(,-6)直线x=最小值-633探究新知知识点3二次函数字母系数与图象的关系一次函数y=kx+b的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空：yyk_＜__0k_＞__0k2_＞__013b1_＞__0b3_＞__0b2_＜__0OxOxy=k3x+b3y=k2x+b2y=k1x+b1探究新知2二次函数yaxbxc的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空：bb12xx2ay2a12a___0a1_＞__02＞x=0时，b1_＞__0b2_＜__0y=c.c1_＞__0c2_＝__0Ox对称轴在y轴开口向上，a＞0左侧，x＜0b1b2x＜0x＞02a12a2对称轴在y轴右侧，x＞0探究新知byb4x3xa_＜__0a___02a2a34＜43b3_＝__0b4_＞__0c3_＞__0c4_＜__0x=0时，y=c.Oxb开口向下，a＜0对称轴是y轴，x3=02a3x=0对称轴在y轴右侧，x＞0探究新知二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系字母符号图象的特征a＞0开口_____向__上______a＜0开口_____向__下______b=0对称轴为__y___轴a、b同号对称轴在y轴的__左__侧a、b异号对称轴在y轴的__右__侧c=0经过原点c＞0与y轴交于__正___半轴c＜0与y轴交于__负___半轴探究新知素养考点利用二次函数y=ax2+bx+c的图象确定字母的值例已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2.其中正确的个数是D()A．1B．2C．3D．4【解析】由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得c＞0，则abc＞0，故①正确；由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确；由图象上横坐标为x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确；由图可知x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－1的点在第二象限得出a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确．巩固练习二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，下列选项中正确的是（B）A．a＞0B．b＞0C．c＜0D．ac>0解析根据开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，确定a、b、c的符号，根据对称轴和图象确定y＞0或y＜0时，x的范围，确定代数式的符号．①∵开口向下，∴a＜0，A错误；②对称轴在y轴的右侧和a＜0，可知b＞0，B正确；③抛物线与y轴交于正半轴，c＞0，C错误；④因为a<0，c>0，所以ac<0，D错误．连接中考2如图是二次函数y=ax+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（A）A．①②④B．①②⑤C．②③④D．③④⑤课堂检测基础巩固题1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x，y的部分对应值如下表：x-10123y51-1-11则该二次函数图象的对称轴为(D)5A.y轴B.直线x=23C.直线x=2D.直线x=2课堂检测y2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：x（1）a，b同号；（2）当x=–1和x=3时，–1O3–2函数值相等；（3）4a+b=0；（4）当y=–2时，x的值只能取0；其中正确的是（2）.课堂检测3.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=-1是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<03；③a-b+c=-9a；④若（-3，y1）,（，y2）是抛物2线上两点，则y>y.其中正确的是（B）y12A．①②③B．①③④O2xC．①②④D．②③④x=-1课堂检测能力提升题根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：2直线x=33,5(1)y2x12x13;2(2)y5x80x319;直线x=88,1159(3)y2xx2;直线x=1.25,24819(4)yx12x.直线x=0.5,24课堂检测拓广探索题1311.已知函数y=-2x2+x-4,当x=4时，y有最大值8.2.已知二次函数y=x2-2x+1，那么它的图象大致为（B）A．B．C．D．课堂小结2b24acby=ax2+bx+c（a≠0)ya(x)2a4a(一般式)(顶点式)2b4acb顶点：(,)2a4ab对称轴：x2a课后作业教材作业从课后习题中选取作业内容自主安排配套练习册练习谢谢观看ThankYou!</h时，当x<h时,y随着x的增大y随着x的增大而减小.而增大.增减性当x>