人教版数学九年级上册22.2二次函数与一元二次方程导入新知以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h2=20t-5t．（1）小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？（2）小球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？（3）小球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）小球从飞出到落地要用多少时间？素养目标3.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.2.掌握二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根.1.探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.探究新知知识点1二次函数与一元二次方程的关系如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2，考虑以下问题：探究新知（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多h少飞行时间？15O13t你能结合上图，指解：15=20t-5t2,出为什么在两个时t2-4t+3=0,间求的高度为15m吗？解得t1=1,t2=3.∴当球飞行1s或3s时，它的高度为15m.探究新知（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？h=20t-5t2h20解：20=20t-5t2,O4tt2-4t+4=0,你能结合图形指出为解得t1=t2=2.什么只在一个时间球故当球飞行2秒时，它的高度为20m？的高度为20米.探究新知（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？h=20t-5t220.5h解：20.5=20t-5t2,Ott2-4t+4.1=0,因为(-4)2-4×4.1<0,你能结合图形指出所以方程无解.为什么球不能达到20.5m的高度?即球的飞行高度达不到20.5米.探究新知（4）球从飞出到落地要用多少时间？hh=20t-5t2Ot解：小球飞出时和落地时的高度均为0m，0=20t-5t2,t2-4t=0,解得t1=0,t2=4.当球飞行0秒和4秒时，它的高度为0米.即0秒时球地面飞出，4秒时球落回地面.探究新知为一个常数（定值）从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程.如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是一个一元二次方程.探究新知二次函数与一元二次方程关系密切．例如，已知二次函数y=－x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．反过来，解方程x2－4x+3=0又可以看作已知二次函数y=x2－4x+3的值为0，求自变量x的值．探究新知二次函数与一元二次方程的关系（1）已知二次函数中因变量的值，求自变量的值解一元二次方程探究新知素养考点二次函数与一元二次方程的关系例已知二次函数y=2x2-3x-4的函数值为1，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程2x2-3x-4=1.反之，解一元二次方程2x2-3x-5=0,又可以看作已知二次函数y=2x2-3x-5的函数值为0时自变量x的值.解之得：x1=-1，x2=2.5巩固练习二次函数y=x2-3x+2，当x=1时，y=0;当y=0时，x=1或2.抛物线y=4x2-1与y轴的交点坐标为(0,-1);与x轴(0.5,0)和（-0.5,0）的交点坐标为.探究新知知识点2利用二次函数与x轴的交点讨论一元二次方程的根的情况【思考】观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？（1）y=x2+x-2；（2）y=x2-6x+9；（3）y=x2-x+1.探究新知对二应次一函元数二图次象方与程x轴的的根公先画出函数图象：是共多点少的？横坐标是多少？222yxx2yx6x9yxx1公共点的函数值为0.无公共点2220xx20x6x90xx1x1=-2，x2=1.x1=x2=3.方程无解有两个不等的实根有两个相等的实根没有实数根探究新知由上述问题，你可以得到什么结论呢？方程ax2+bx+c=0的解就是抛物反过来，由一元二线y=ax2+bx+c与x轴公共点的次方程的根的情况，也可以确定相应的横坐标.当抛物线与x轴没有公二次函数的图象与共点时，对应的方程无实数根.x轴的位置关系.探究新知二次函数与一元二次方程的关系（2）抛物线一元二次方程Δ=b2–4acy=ax2+bx+c与xax2+bx+c=0的根轴有两个交点有两个不等实根Δ>0有一个交点有两个相等实根Δ=0没有交点没有根Δ<0若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点，则b2–4ac≥0.探究新知y=ax2+bx+c△=b2–4acyΔ＜0Δ=0a＞0Δ＞0o那么a<0时x呢？探究新知yy=x2－6x＋9y=x2－x＋1观察图象，完成下表：y=x2＋x－21x抛物线与x轴公共点相应的一元二次公共点个数横坐标方程的根y=x2－x＋10个x2-x+1=0无解y=x2－6x＋91个3x2-6x+9=0，x1=x2=3y=x2＋x－22个-2,1x2+x-2=0，x1=-2,x2=1探究新知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系二次函数y=ax2+bx+c一元二次方程b2-4ac的图象与x轴交点ax2+bx+c=0的根有两个交点有两个不相等的实数根b2-4ac>0有两个相等的有两个重合的交点实数根b2-4ac=0没有交点没有实数根b2-4ac<0探究新知素养考点1利用二次函数与一元二次方程的根的关系确定字母的值（范围）例1已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．(1)求证：此抛物线与x轴总有交点；(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值．解：(1)证明：∵m≠0，∴Δ＝[-(m＋2)]2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2.∵(m－2)2≥0，∴Δ≥0，因此抛物线与x轴总有两个交点；2（2）令y=0，则（x-1）（mx-2）=0，即x-1=0或mx-2=0，解得x1=1,x2=m.当m为正整数1或2时，x2的值为整数，因为当m为2时，Δ=0，抛物线与x轴只有一个交点，所以正整数m的值为1.巩固练习已知抛物线y=kx2+2x-1与x轴有两个交点，则k的取值范围是k>-1且k≠0．分析：函数与x轴有两个交点，2即kx2x1=0有两个不相等的实数根.20且k0，即24k(1)0且k0，则k1且k0.探究新知素养考点2二次函数与一元二次方程关系在实际生活中的应用2x68例2如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线y-x10105运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？探究新知（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？2x68解：由抛物线的表达式得2.1-x,101052即x6x50.x=1，x=5.解得12即当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是1m或5m.探究新知（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？2x68解：由抛物线的表达式得2.5-x,101052即x6x90.x=x=3.解得12即当铅球离地面的高度为2.5m时，它离初始位置的水平距离是3m.探究新知（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？2x68解：由抛物线的表达式得3-x,101052即x6x140.2因为=（-6）-41140，所以方程无实根.所以铅球离地面的高度不能达到3m.探究新知一元二次方程与二次函数紧密地联系起来了.2axbxc=M2yaxbxc(a0)yM巩固练习如图设水管AB的高出地面2.5m，在B处有一自动旋转的喷水头，喷出的水呈抛物线状，可用二次函数y=-0.5x2+2x+2.5描述，在所示的直角坐标系中，求水流的落地点D到A的距离是多少？分析：根据图象可知，水流的落地点D的纵坐标为0，横坐标即为落地点D到A的距离.即y=0.解：根据题意得-0.5x2+2x+2.5=0，解得x1=5，x2=-1(不合题意舍去).B答：水流的落地点D到A的距离是5m.AOD探究新知知识点3利用二次函数求一元二次方程的近似解2求一元二次方程x2x10的根的近似值（精确到0.1）.分析：一元二次方程x²-2x-1=0的根就是抛物线y=x²-2x-1与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫做图象法.探究新知求一元二次方程2的根的近似值（x2x10精确到0.1）.解：画出函数y=x²-2x-1的图象（如下图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在-1与0之间,另一个在2与3之间.探究新知先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根是-0.4或-0.5，利用计算器进行探索，见下表：x…-0.4-0.5…y…-0.040.25…观察上表可以发现，当x分别取-0.4和-0.5时，对应的y由负变正，可见在-0.5与-0.4之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2-2x-1的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取x=-0.4或x=-0.5都符合要求.但当x=-0.4时更为接近0.故x1≈-0.4.同理可得另一近似值为x2≈2.4.探究新知一元二次方程的图象解法利用二次函数的图象求一元二次方程2x2+x-15=0的近似根.(1)用描点法作二次函数y=2x2+x-15的图象；(2)观察估计二次函数y=2x2+x-15的图象与x轴的交点的横坐标,由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个是-3,另一个在2与3之间,分别约为-3和2.5(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值);(3)确定方程2x2+x-15=0的解;由此可知,方程2x2+x-15=0的近似根为:x1≈-3,x2≈2.5.巩固练习根据下列表格的对应值:x3.233.243.253.26y=ax2+bx+c-0.06-0.020.030.09判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（C）A.3<x<3.23b.3.23<x<3.24c.3.24<x<3.25d.3.25<x<3.26连接中考2二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确是（c）a．abc＞0b．2a+b＜0c．3a+c＜0d．ax2+bx+c﹣3=0有两个不相等的实数根课堂检测基础巩固题1.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为(b)a．x1≈－2.1，x2≈0.1b．x1≈－2.5，x2≈0.5c．x1≈－2.9，x2≈0.9d．x1≈－3，x2≈1课堂检测2.若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，且关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3，则另一个解x2=-1；3.一元二次方程3x2+x－10=0的两个根是x1=－2，5x2=，那么二次函数y=3x2+x－10与x轴的交点35(-2，0)(，0)坐标是3.课堂检测24.若一元二次方程xmxn0无实根，则抛物2线yxmxn图象位于（a）a.x轴上方b.第一、二、三象限c.x轴下方d.第二、三、四象限5.二次函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(d)a．k<3b．k<3且k≠0c．k≤3d．k≤3且k≠0课堂检测能力提升题已知函数y＝(k－3)x²＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点，∴k＝3；当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，∴δ＝b2－4ac≥0.∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，∴－4k＋16≥0.∴k≤4且k≠3.综上所述，k的取值范围是k≤4.课堂检测拓广探索题某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已20知球出手时距地面米，与篮框中心的水平距离为7米，当球出9手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮框距地面3米．(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？(2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？课堂检测(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？解：(1)由条件可得到出手点、最高点和篮框的坐标分别为20a(0，)，b(4，4)，c(7，3)，其中b是抛物线的顶点．9设二次函数关系式为y＝a(x﹣h)2＋k，将点a、b的坐标代入，1可得y＝﹣(x﹣4)2+4.91将点c的坐标代入上式，得左边＝3，右边＝﹣(7﹣94)2+4＝3，左边＝右边，即点c在抛物线上．所以此球一定能投中.课堂检测(2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？解：将x＝1代入函数关系式，得y＝3.因为3.1＞3，所以盖帽能获得成功．课堂小结判别式δ=b2-4acδ>0Δ＝0Δ＜0二次函数yyyy=ax2+bx+c（a>0）的图象Ox1x2Ox1=x2xOx一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）x1;x2x1=x2＝－b没有实数根2a的根不等式ax2+bx+c>0x≠x的任意x<x1或x>x21任意实数（a>0）的解集实数不等式ax2+bx+c<0x1<x<x2无解无解（a>0）的解集课后作业教材作业从课后习题中选取作业内容自主安排配套练习册练习谢谢观看ThankYou!</x<x2无解无解（a></x1或x></x<3.23b.3.23<x<3.24c.3.24<x<3.25d.3.25<x<3.26连接中考2二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确是（c）a．abc＞0b．2a+b＜0c．3a+c＜0d．ax2+bx+c﹣3=0有两个不相等的实数根课堂检测基础巩固题1.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为(b)a．x1≈－2.1，x2≈0.1b．x1≈－2.5，x2≈0.5c．x1≈－2.9，x2≈0.9d．x1≈－3，x2≈1课堂检测2.若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，且关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3，则另一个解x2=-1；3.一元二次方程3x2+x－10=0的两个根是x1=－2，5x2=，那么二次函数y=3x2+x－10与x轴的交点35(-2，0)(，0)坐标是3.课堂检测24.若一元二次方程xmxn0无实根，则抛物2线yxmxn图象位于（a）a.x轴上方b.第一、二、三象限c.x轴下方d.第二、三、四象限5.二次函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(d)a．k<3b．k<3且k≠0c．k≤3d．k≤3且k≠0课堂检测能力提升题已知函数y＝(k－3)x²＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点，∴k＝3；当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，∴δ＝b2－4ac≥0.∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，∴－4k＋16≥0.∴k≤4且k≠3.综上所述，k的取值范围是k≤4.课堂检测拓广探索题某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已20知球出手时距地面米，与篮框中心的水平距离为7米，当球出9手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮框距地面3米．(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？(2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？课堂检测(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？解：(1)由条件可得到出手点、最高点和篮框的坐标分别为20a(0，)，b(4，4)，c(7，3)，其中b是抛物线的顶点．9设二次函数关系式为y＝a(x﹣h)2＋k，将点a、b的坐标代入，1可得y＝﹣(x﹣4)2+4.91将点c的坐标代入上式，得左边＝3，右边＝﹣(7﹣94)2+4＝3，左边＝右边，即点c在抛物线上．所以此球一定能投中.课堂检测(2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？解：将x＝1代入函数关系式，得y＝3.因为3.1＞3，所以盖帽能获得成功．课堂小结判别式δ=b2-4acδ>