人教版数学九年级上册24.1.2垂直于弦的直径导入新知你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？素养目标3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.探究新知知识点1圆的轴对称性把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．探究新知说一说（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？（2）如何来证明圆是轴对称图形呢？圆的对称性圆是轴对称图形，任意一条直径所●O在直线都是圆的对称轴.探究新知已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．C【思考】左图是轴对称图形吗？满足什么条件才能证明圆是轴对称O大胆猜想图形呢？EAB是轴对称图形．D探究新知证明：连结OA、OB.C则OA＝OB．又∵CD⊥AB，O∴直径CD所在的直线是AB的垂直平分线.∴对于圆上任意一点，在圆上都有关于直EAB线CD的对称点，即⊙O关于直线CD对称.D圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.探究新知知识点2垂径定理及其推论如图，AB是⊙O的一条弦,直径CD⊥AB,垂足C为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧?为什么?线段:AE=BE·O⌒⌒⌒⌒弧:AC=BC,AD=BDAEBD理由：把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点⌒⌒⌒⌒A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC,AD与BD重合．探究新知u垂径定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.Cu推导格式：∵CD是直径，CD⊥AB，·O∴AE=BE,A⌒C=B⌒C,A⌒D=B⌒D.AEBD温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.探究新知想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？CCCCABOOOOABABEEAEBDD不是，因为CD是不是，因为是没有过圆心没有垂直探究新知归纳总结Ø垂径定理的几个基本图形：CABDOOOOAEBADBACBDEC探究新知【思考】如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？过圆心垂直于弦具备其中两条一条直线平分弦其余三条成立平分线所对的优弧平分弦所对的劣弧探究新知证明猜想①CD是直径②CD⊥AB，垂足为E⌒⌒⌒⌒③AE=BE④AC=BC⑤AD=BDC举例证明其中一种组合方法.已知:O求证：EABD探究新知证明举例如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.（1）CD⊥AB吗？为什么？⌒⌒⌒⌒（2）AC与BC相等吗？AD与BD相等吗？为什么？C证明：（1）连接AO,BO,则AO=BO,又AE=BE，OE=OEO∴△AOE≌△BOE（SSS），E∴∠AEO=∠BEO=90°，∴CD⊥AB.ABB⌒⌒⌒⌒DD（2）由垂径定理可得AC=BC，AD=BD.探究新知归纳总结u垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？C如不能，请举出反例.AO·BØ特别说明：圆的两条直径是互相平分的.D探究新知素养考点1垂径定理及其推论的计算例1如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=16cm.AEB解析：连接OA，∵OE⊥AB·O，22∴AEOAOE221068cm.∴AB=2AE=16cm.巩固练习如图，⊙O的弦AB＝8cm，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.E解：连接OA，∵CE⊥AB于D，·O11∴ADAB84(cm).22ADB设OC=xcm，则OD=x-2,C根据勾股定理，得x2=42+(x-2)2，解得x=5，即半径OC的长为5cm.探究新知素养考点2利用垂径定理及推论证明相等M例2已知：⊙O中弦AB∥CD,CD⌒⌒AB求证：AC＝BD..O证明：作直径MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.⌒⌒⌒⌒N则AM＝BM，CM＝DM（垂直于弦的直径平分弦所对的弧）⌒⌒⌒⌒AM－CM＝BM－DM.⌒⌒平行弦夹的弧相等∴AC＝BD.探究新知归纳总结MCDABABOOOEACBN解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距（垂线段），或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.巩固练习如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证:四边形ADOE是正方形．证明：∵OE⊥AC，OD⊥AB，AB⊥AC，·∴∠OEA=∠EAD=∠ODA=90°.11∴四边形ADOE为矩形，AE=AC,AD=AB.22又∵AC=AB,∴AE=AD.∴四边形为正方形.探究新知素养考点3垂径定理的实际应用例3根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出导入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?探究新知解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.∴AB=37m，CD=7.23m.∴AD=AB=18.5m，R2=18.52+(R-7.23)2OD=OC-CD=R-7.23.解得R≈27.3.OA2=AD2+OD2即主桥拱半径约为27.3m.巩固练习如图a、b,一弓形弦长为46cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为＿5cm＿或12＿cm＿.CCADBOOADB图a图b探究新知归纳总结Ø涉及垂径定理时辅助线的添加方法在圆中有关弦长a,半径r,弦心距d（圆心到弦的·O距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理ACB求解.CØ弓形中重要数量关系ah2弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：ADB2d22ard+h=rrd2O连接中考已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（C）A．25cmB．45cmC．25cm或45cmD．23cm或43cm课堂检测基础巩固题1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离5cm为3cm，则此圆的半径为.2.⊙O的直径AB=20cm,∠BAC=30°则弦AC=10�.课堂检测3.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之14cm或2cm间的距离为.课堂检测能力提升题已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.你认为AC和BD有什么关系？为什么？O.证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE.ACEDB∴AE－CE＝BE－DE.即AC＝BD.课堂检测拓广探索题如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.C解:连接OC.E┗设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.FOECD,●OD11CFCD600300(m).22222根据勾股定理，得OCCFOF,222R300R90.解得R=545.∴这段弯路的半径约为545m.课堂小结垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦内容所对的两条弧一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦;③推论平分弦（不是直径）;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.“知二推三”垂径定理两条辅助线：辅助线连半径，作弦心距基本图形及变式图形构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.课后作业教材作业从课后习题中选取作业内容自主安排配套练习册练习谢谢观看ThankYou!