人教版数学九年级上册24.2.1点和圆的位置关系导入新知我国射击运动员在奥运会上获金牌，为我国赢得荣誉.如图是射击靶的示意图，它是解决这个问题由许多同心圆（圆心相同，半径不相同）构成的，你知道击要研究点和圆的中靶上不同位置的成绩是如何位置关系．计算的吗？素养目标4.了解反证法的证明思想.3.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念.2.理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握作图方法.1.理解并掌握点和圆的三种位置关系.探究新知知识点1点和圆的位置关系问题1：观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？..B....o...AC点与圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.探究新知问题2：设点到圆心的距离为d,圆的半径为r，量一量在点和圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系？反过来，由d与r的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？PdddPrrPr点P在⊙Od＜r内点P在⊙O上d=r点P在⊙O外d＞r探究新知点和圆的位置关系PdPddrrPr点P在⊙O内d<r点p在⊙o上d=r点p在⊙o外d>r数形结合：位置关系数量关系探究新知素养考点判定点和圆的位置关系例如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4.（1）以A为圆心，4为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系如何？解：AD=4=r，故D点在⊙A上；AB=3<r，故b点在⊙a内;ac=5>r，故C点在⊙A外.探究新知（2）若以A点为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围？（直接写出答案）3≤r≤5巩固练习⊙O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是：点A在圆内；点B在圆上；点C在圆外.圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2，若OP=3，则点P在（D）A.大圆内B.小圆内oC.小圆外D.大圆内，小圆外探究新知知识点2过不共线三点作圆问题1如何过一个点A作一个圆？·过点A可以作多少个圆？··A以不与A点重合的任意一点为圆心，以这个点到A··点的距离为半径画圆即可；可作无数个圆.探究新知问题2如何过两点A、B作一个圆？过两点可以作多少个圆？作线段AB的垂直平分线，以其·上任意一点为圆心，以这点和点·A或B的距离为半径画圆即可;·AB可作无数个圆.·探究新知问题3：过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？经过A,B两点的圆的圆心在线段ABDF的垂直平分线上.经过B,C两点的圆的圆心在线段BCA的垂直平分线上.B●经过A,B,C三点的圆的圆心应该在这两条oCE垂直平分线的交点O的位置.G探究新知位置关系DF定理：A不在同一直线上的三个点B●确定一个圆.oCEG有且只有探究新知素养考点利用尺规法作圆例已知：不在同一直线上的三点A、B、C.求作：⊙O,使它经过点A、B、C.A作法：1.连接AB，作线段AB的垂NF直平分线MN；2.连接AC，作线段AC的垂直平分OCBEM线EF，交MN于点O；3.以O为圆心，OB为半径作圆.所以⊙O就是所求作的圆.探究新知问题4:现在你知道怎样将一个如图所示的破损的圆盘复原了吗？A方法:B1.在圆弧上任取三点A、B、C;2.作线段AB、BC的垂直平分线,其交点O即为圆心;C3.以点O为圆心，OC长为半径O作圆.⊙O即为所求.巩固练习如图，CD所在的直线垂直平分线段AB，怎样用这样的工具找到圆形工件的圆心．AB解:∵A、B两点在圆上，所以圆心必与A、BCO两点的距离相等，又∵和一条线段的两个端点距离相等的点在D这条线段的垂直平分线上，∴圆心在CD所在的直线上，因此可以做任意两条直径，它们的交点为圆心.探究新知知识点3三角形的外接圆及外心已知△ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C三点的圆.AOCB探究新知u外接圆经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做要A三角形的外接圆.外接圆⊙O叫做△ABC的________，点△ABC叫做⊙O的_内__接__三_角__形____.●OBCu三角形的外心：归定义：外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.纳作图：三角形三边中垂线的交点.性质：到三角形三个顶点的距离相等.探究新知【练一练】判断下列说法是否正确.(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆.(√)(2)任意一个圆有且只有一个内接三角形.(×)(3)经过三点一定可以确定一个圆.(×)(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等.(√)探究新知画一画：分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.AAA●●●O┐OOBCBCBC锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点,钝角三角形的外心位于三角形外.探究新知素养考点1圆与平面直角坐标系相结合的问题例1如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，O为原点，∠ABO＝60°，若△AOB的外接圆与y轴交于点D(0，3)．(1)求∠DAO的度数；(2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．解：(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°，∠DOA＝90°，∴∠DAO＝30°；探究新知(2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．∵点D的坐标是(0，3)，∴OD＝3.在Rt△AOD中，∵∠DOA＝90°，∴AD为直径.又∵∠DAO=30°，∴AD＝2OD＝6，OA＝33.因此圆的半径为3．点A的坐标(33，0),∴△AOB外接圆的面积是9π.解题妙招：图形中求三角形外接圆的面积时，关键是确定外接圆的直径(或半径)长度．巩固练习如图,已知直角坐标系中,A(0,4),B(4,4),C(6,2).(1)写出经过A,B,C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标.(2)判断点D(5,-2)和圆M的位置关系.解：(1)在方格纸中，线段AB和BC的垂直平分线相交于点(2，0)，所以圆心M的坐标为(2，0).22(2)圆的半径AM2425.22线段DM52201325，所以点D在圆M内.探究新知素养考点2考查三角形的外接圆的有关知识例2如图，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24cm，O到BC的距离是5cm，求△ABC的外接圆的半径．解：连接OB，过点O作OD⊥BC.1则OD＝5cm，BDBC12cm.2在Rt△OBD中,22DOBODBD13cm.即△ABC的外接圆的半径为13cm.巩固练习在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,则它的外心与顶点C的距离为(A)A.5cmB.6cmC.7cmD.8cm探究新知知识点4反证法思考：经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？如图，假设过同一条直线l上三点A、B、C可以P作一个圆，设这个圆的圆心为P.那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线l1l2段BC的垂直平分线l2上，即点P为l1与l2的交点.而l1⊥l，l2⊥l这与我们以前学过的“过一点有且ABC只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾.所以过同一条直线上的三点不能作圆．探究新知反证法的定义先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．反证法的一般步骤①假设命题的结论不成立（提出与结论相反的假设）;②从这个假设出发，经过推理，得出矛盾;③由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.探究新知素养考点反证法的应用例求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.已知：△ABC求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°，则∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°.因此∠A+∠B+∠C>180°.这与三角形的内角和为180度矛盾．假设不成立．因此△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.．巩固练习利用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设（D）A.有一个锐角小于45°B.每一个锐角都小于45°C.有一个锐角大于45°D.每一锐角都大于45°连接中考21.已知△ABC的三边a，b，c，满足a+b+|c﹣6|+28=254a-1+10b，则△ABC的外接圆半径=8．2.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BC=4，则⊙O的直径为42．课堂检测基础巩固题1.如图，请找出图中圆的圆心，并写出你找圆心的方法?AOCB课堂检测2.正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作⊙A，则点B在⊙A上；点C在⊙A外；点D在⊙A上.3.⊙O的半径r为5cm，O为原点，点P的坐标为（3,4），则点P与⊙O的位置关系为（B）A.在⊙O内B.在⊙O上C.在⊙O外D.在⊙O上或⊙O外课堂检测4.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则它的外接圆半径=5.5.如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝20°，则∠C的度数是___7_0_°___．课堂检测能力提升题1.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（B）A．点PB．点QABCC．点RD．点MPQRM课堂检测2.画出由所有到已知点的距离大于或等于2cm并且小于或等于3cm的点组成的图形.13cm2cm·O课堂检测拓广探索题某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘要确定其圆心和半径,请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．解：(1)在圆形瓷盘的边缘选A、B、C三点；BC(2)连接AB、BC；A(3)分别作出AB、BC的垂直平分线；(4)两垂直平分线的交点就是瓷盘的圆心.课堂小结点在圆外d>r点与圆的P点在圆上d=r位置关系r点在圆内d</r，故b点在⊙a内;ac=5></r点p在⊙o上d=r点p在⊙o外d>