人教版数学九年级上册24.2.2直线和圆的位置关系（第3课时）导入新知同学们玩过空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球的旋转的那一瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？素养目标2.初步学会运用切线长定理进行计算与证明.1.掌握切线长的定义及切线长定理.探究新知知识点1切线长定理及应用问题1上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如左图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？AAPO.POBB探究新知1.切线长的定义：切线上一点到切点之间的线段的长叫作这点到圆的切线长．2.切线长与切线的区别在哪里？A①切线是直线，不能度量.OP②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．探究新知问题2PA为☉O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B．AØOB是☉O的一条半径吗？O.PØPB是☉O的切线吗？BØPA、PB有何关系？Ø∠APO和∠BPO有何关系？（利用图形轴对称性解释）探究新知切线长定理过圆外一点作圆的两条切P线，两条切线长相等.圆心与O这一点的连线平分两条切线的夹角.几何语言:PA=PBPA、PB分别切☉O于A、B∠OPA=∠OPB探究新知推理验证已知，如图PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点.求证：PA=PB，∠APO=∠BPO.证明：∵PA切☉O于点A，A∴OA⊥PA.O.同理可得OB⊥PB.P∵OA=OB，OP=OP，B∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），∴PA=PB，∠APO=∠BPO.探究新知想一想：若连接两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.AO.MOP垂直平分AB.PB证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点,∴PA=PB，∠OPA=∠OPB.∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线∴OP垂直平分AB.探究新知想一想：若延长PO交⊙O于点C，连接CA、CB，你又能得A出什么新的结论?并给出证明.CA=CBCO.P证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点，B∴PA=PB，∠OPA=∠OPB.∴PC=PC.∴△PCA≌△PCB，∴AC=BC.探究新知素养考点1切线长定理的应用例1已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切于点E、F、G、H.求证：AB+CD=AD+BC.证明：∵AB、BC、CD、DA与⊙O分别D相切于点E、F、G、H，GC∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH.H·O∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH.F∴AB+CD=AD+BC.AEB巩固练习PA、PB是☉O的两条切线，A,B是切点，OA=3.（1）若AP=4,则OP=5;P6（2）若∠BPA=60°,则OP=.探究新知素养考点2切线长定理在生活中的应用例2为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=5cm，求铁环的半径．C分析：欲求半径OP，取圆的圆心为O，连OA、OP，由切线性质知O△OPA为直角三角形，从而在Rt△OPA中由勾股定理易求得半径．B探究新知解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.C∵AP、AQ为⊙O的切线，O∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO.QB又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，OP=53cm.即铁环的半径为53cm.巩固练习如图,小敏家厨房一墙角处有一自来水管,装修时为了美观,准备用木板从AB处将水管密封起来,互相垂直的两墙面与水管分别相切于D、E两点,经测量发现AD和BE的长恰是方程x2-25x+150=0的两根(单位:cm),则该自来水管的半径为5cm(AD