第一章勾股定理一、选择题（每题4分，共28分）1．（2018•滨州）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（　　）A．5B．6C．7D．82．（4分）（2017•兴安盟）下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（　　）A．6，8，14B．6，8，12C．6，8，10D．6，8，83．（4分）如图，正方形ABCD的边长为1，则正方形ACEF的面积为（　　）A．2B．3C．4D．54．（4分）如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（　　）A．12米B．13米C．14米D．15米5．（4分）满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　）A．a：b：c=3：4：5B．∠A：∠B：∠C=1：2：3C．a2：b2：c2=1：2：3D．a2：b2：c2=3：4：56．（4分）若等腰三角形中相等的两边长为10cm，第三边长为16cm，那么第三边上的高为（　　）A．12cmB．10cmC．8cmD．6cm7．（4分）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（　　）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上答案都不对二、填空：（每空4分，共计28分）8．（4分）已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方为　　．19\n9．（4分）求如图中直角三角形中未知的长度：b=　　，c=　　．10．（4分）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为　　cm2．11．（4分）小明把一根70cm长的木棒放到一个长、宽、高分别为40cm、30cm、50cm的木箱中，他能放进去吗？答：　　（填“能”、或“不能”）12．（4分）（2018•襄阳）已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为　　．13．（4分）（2018•福建）把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝，则CD＝　　．14．（4分）（2018•黄冈）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为　　cm（杯壁厚度不计）．19\n三、解答题：（每题11分，共计44分）15．（11分）一棵树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离树根底部12米处，求树折断之前的高度？（自己画图并解答）16．（11分）小东与哥哥同时从家中出发，小东以6km/时的速度向正北方向的学校走去，哥哥则以8km/时的速度向正东方向走去，半小时后，小东距哥哥多远？17．（11分）如图所示，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A=90°；（1）求BD的长；（2）求四边形ABCD的面积．18．（11分）如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AB=6cm，BC=8cm，现将直角边BC沿直线BD折叠，使点C落在点E处，求三角形BDF的面积是多少？19\n四、附加题19．如图所示的一块地，AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积．20．如图，△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF．（1）如图1，试说明BE2+CF2=EF2；（2）如图2，若AB=AC，BE=12，CF=5，求△DEF的面积．19\n参考答案一、选择题（每题4分，共28分）1．（2018•滨州）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（　　）A．5B．6C．7D．8【分析】直接根据勾股定理求解即可．【解答】解：∵在直角三角形中，勾为3，股为4，∴弦为＝5．故选：A．【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．2．（4分）（2017•兴安盟）下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（　　）A．6，8，14B．6，8，12C．6，8，10D．6，8，8【考点】KS：勾股定理的逆定理．【专题】55：几何图形．【分析】根据勾股定理求出以较短的两条边为直角边的三角形的斜边的长度，然后与较长的边进行比较作出判断即可．【解答】解：A、∵6+8＝14，∴不能组成三角形；B、＝10＜12，6+8＞12，∴不能组成锐角三角形；C、∵＝10是直角三角形，∴不能组成锐角三角形；D、∵＝10＞8，6+8＞8，∴能组成锐角三角形．故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，利用勾股定理求出直角三角形的斜边是解题的关键．3．（4分）如图，正方形ABCD的边长为1，则正方形ACEF的面积为（　　）A．2B．3C．4D．5【考点】算术平方根．19\n【分析】根据勾股定理，可得AC的长，再根据乘方运算，可得答案．【解答】解：由勾股定理，得AC=，乘方，得（）2=2，故选：A．【点评】本题考查了算术平方根，先求出AC的长，再求出正方形的面积．　4．（4分）如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（　　）A．12米B．13米C．14米D．15米【考点】勾股定理的应用．【专题】应用题．【分析】根据梯子、地面、墙正好构成直角三角形，再根据勾股定理解答即可．【解答】解：如图所示，AB=13米，BC=5米，根据勾股定理AC===12米．故选A．【点评】此题是勾股定理在实际生活中的运用，比较简单．　5．（4分）满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　）A．a：b：c=3：4：5B．∠A：∠B：∠C=1：2：3C．a2：b2：c2=1：2：3D．a2：b2：c2=3：4：5【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．【分析】由勾股定理的逆定理得出A、C是直角三角形，D不是直角三角形；由三角形内角和定理得出B是直角三角形；即可得出结果．【解答】解：∵a：b：c=3：4：5，32+42=52，∴这个三角形是直角三角形，A是直角三角形；19\n∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，∴∠C=90°，B是直角三角形；∵a2：b2：c2=1：2：3，∴a2+b2=c2，∴三角形是直角三角形，C是直角三角形；∵a2：b2：c2=3：4：5，∴a2+b2≠c2，∴三角形不是直角三角形；故选：D【点评】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形内角和定理；熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，通过计算得出结果是解决问题的关键．　6．（4分）若等腰三角形中相等的两边长为10cm，第三边长为16cm，那么第三边上的高为（　　）A．12cmB．10cmC．8cmD．6cm【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【分析】根据等腰三角形的性质先求出BD，然后在RT△ABD中，可根据勾股定理进行求解．【解答】解：如图：由题意得：AB=AC=10cm，BC=16cm，作AD⊥BC于点D，则有DB=BC=8cm，在Rt△ABD中，AD==6cm．故选D．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及勾股定理的知识，关键是掌握等腰三角形底边上的高平分底边，及利用勾股定理直角三角形的边长．　19\n7．（4分）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（　　）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上答案都不对【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．【专题】网格型．【分析】根据勾股定理求得△ABC各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状．【解答】解：∵正方形小方格边长为1，∴BC==2，AC==，AB==，在△ABC中，∵BC2+AC2=52+13=65，AB2=65，∴BC2+AC2=AB2，∴△ABC是直角三角形．故选：A．【点评】考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．　二、填空：（每空4分，共计28分）8．（4分）已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方为　7或25　．【考点】勾股定理．【分析】已知的这两条边可以为直角边，也可以是一条直角边一条斜边，从而分两种情况进行讨论解答．19\n【解答】解：分两种情况：当3、4都为直角边时，第三边长的平方=32+42=25；当3为直角边，4为斜边时，第三边长的平方=42﹣32=7．故答案为：7或25．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．　9．（4分）求如图中直角三角形中未知的长度：b=　12　，c=　10　．【考点】勾股定理．【分析】根据勾股定理进行计算即可．【解答】解：b==12；c==10，故答案为：12；10．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．　10．（4分）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为　49　cm2．【考点】勾股定理．【分析】19\n根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积．【解答】解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，故正方形A，B，C，D的面积之和=49cm2．故答案为：49cm2．【点评】熟练运用勾股定理进行面积的转换．　11．（4分）小明把一根70cm长的木棒放到一个长、宽、高分别为40cm、30cm、50cm的木箱中，他能放进去吗？答：　能　（填“能”、或“不能”）【考点】勾股定理的应用．【分析】能，在长方体的盒子中，一角的顶点与斜对的不共面的顶点的距离最大，根据木箱的长，宽，高可求出最大距离，然后和木棒的长度进行比较即可．【解答】解：能，理由如下：可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm，根据题意，得x2=502+402+302=5000，702=4900，因为4900＜5000，所以能放进去．故答案为能．【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是求出木箱内木棒的最大长度．　12．（4分）（2018•襄阳）已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为　2或2　．【考点】KQ：勾股定理．【专题】552：三角形．【分析】分两种情况：①当△ABC是锐角三角形，如图1，②当△ABC是钝角三角形，如图2，分别根据勾股定理计算AC和BC即可．【解答】解：分两种情况：①当△ABC是锐角三角形，如图1，19\n∵CD⊥AB，∴∠CDA＝90°，∵CD＝，AD＝1，∴AC＝2，∵AB＝2AC，∴AB＝4，∴BD＝4﹣1＝3，∴BC＝＝＝2；②当△ABC是钝角三角形，如图2，同理得：AC＝2，AB＝4，∴BC＝＝＝2；综上所述，BC的长为2或2．故答案为：2或2．【点评】本题考查了三角形的高、勾股定理的应用，在直角三角形中常利用勾股定理计算线段的长，要熟练掌握．13．（4分）（2018•福建）把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝，则CD＝　﹣1　．19\n【考点】勾股定理．【专题】11：计算题．【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出BC＝2，BF＝AF＝1，再利用勾股定理求出DF，即可得出结论．【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于F，在Rt△ABC中，∠B＝45°，∴BC＝AB＝2，BF＝AF＝AB＝1，∵两个同样大小的含45°角的三角尺，∴AD＝BC＝2，在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF＝＝∴CD＝BF+DF﹣BC＝1+﹣2＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．14．（4分）（2018•黄冈）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为　20　cm（杯壁厚度不计）．19\n【考点】KV：平面展开﹣最短路径问题．【专题】27：图表型．【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．【解答】解：如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B＝＝＝20（cm）．故答案为20．【点评】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．三、解答题：（每题11分，共计44分）15．（11分）一棵树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离树根底部12米处，求树折断之前的高度？（自己画图并解答）【考点】勾股定理的应用．【分析】根据勾股定理，计算树的折断部分是15米，则折断前树的高度是15+9=24米．【解答】解：如图所示：因为AB=9米，AC=12米，根据勾股定理得BC==15米，于是折断前树的高度是15+9=24米．【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．　19\n16．（11分）小东与哥哥同时从家中出发，小东以6km/时的速度向正北方向的学校走去，哥哥则以8km/时的速度向正东方向走去，半小时后，小东距哥哥多远？【考点】勾股定理的应用．【分析】根据题意求出小东与哥哥各自行走的距离，根据勾股定理计算即可．【解答】解：由题意得，AC=6×=3km，BC=8×=4km，∠ACB=90°，则AB==5km．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，正确构造直角三角形、灵活运用勾股定理是解题的关键．　17．（11分）如图所示，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A=90°；（1）求BD的长；（2）求四边形ABCD的面积．【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．【分析】（1）在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出BD的长度；（2）利用勾股定理的逆定理判断出△BDC为直角三角形，根据S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC，即可得出答案．【解答】解：（1）∵∠A=90°，∴△ABD为直角三角形，19\n则BD2=AB2+AD2=25，解得：BD=5．（2）∵BC=13cm，CD=12cm，BD=5cm，∴BD2+CD2=BC2，∴BD⊥CD，故S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=AB×AD+BD×DC=6+30=36．【点评】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，在求不规则图形的面积时，我们可以利用分解法，将不规则图形的面积转化为几个规则图形的面积之和．　18．（11分）如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AB=6cm，BC=8cm，现将直角边BC沿直线BD折叠，使点C落在点E处，求三角形BDF的面积是多少？【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】应用题；操作型．【分析】由折叠的性质得到三角形BDC与三角形BDE全等，进而得到对应边相等，对应角相等，再由两直线平行内错角相等，等量代换及等角对等边得到FD=FB，设FD=FB=xcm，则AF=（8﹣x）cm，在直角三角形AFB中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出FD的长，进而求出三角形BDF面积．【解答】解：由折叠可得：△BDC≌△BDE，∴∠CBD=∠EBD，BC=BE=8cm，ED=DC=AB=6cm，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∴∠ADB=∠EBD，∴FD=FB，设FD=FB=xcm，则有AF=AD﹣FD=（8﹣x）cm，19\n在Rt△ABF中，根据勾股定理得：x2=（8﹣x）2+62，解得：x=，即FD=cm，则S△BDF=FD•AB=cm2．【点评】此题考查了翻折变换（折叠问题），涉及的知识有：折叠的性质，全等三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，以及勾股定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．　四、附加题19．如图所示的一块地，AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积．【考点】勾股定理的应用；三角形的面积；勾股定理的逆定理．【专题】应用题．【分析】连接AC，运用勾股定理逆定理可证△ACD，△ABC为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积差．【解答】解：连接AC，则在Rt△ADC中，AC2=CD2+AD2=122+92=225，∴AC=15，在△ABC中，AB2=1521，AC2+BC2=152+362=1521，∴AB2=AC2+BC2，∴∠ACB=90°，∴S△ABC﹣S△ACD=AC•BC﹣AD•CD=×15×36﹣×12×9=270﹣54=216．答：这块地的面积是216平方米．19\n【点评】解答此题的关键是通过作辅助线使图形转化成特殊的三角形，可使复杂的求解过程变得简单．　20．如图，△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF．（1）如图1，试说明BE2+CF2=EF2；（2）如图2，若AB=AC，BE=12，CF=5，求△DEF的面积．【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．【分析】（1）延长ED至点G，使得EG=DE，连接FG，CG，易证EF=FG和△BDE≌△CDG，可得BE=CG，∠DCG=∠DBE，即可求得∠FCG=90°，根据勾股定理即可解题；（2）连接AD，易证∠ADE=∠CDF，即可证明△ADE≌△CDF，可得AE=CF，BE=AF，S四边形AEDF=S△ABC，再根据△DEF的面积=S△ABC﹣S△AEF，即可解题．【解答】（1）证明：延长ED至点G，使得DG=DE，连接FG，CG，∵DE=DG，DF⊥DE，∴DF垂直平分DE，19\n∴EF=FG，∵D是BC中点，∴BD=CD，在△BDE和△CDG中，，∴△BDE≌△CDG（SAS），∴BE=CG，∠DCG=∠DBE，∵∠ACB+∠DBE=90°，∴∠ACB+∠DCG=90°，即∠FCG=90°，∵CG2+CF2=FG2，∴BE2+CF2=EF2；（2）解：连接AD，∵AB=AC，D是BC中点，∴∠BAD=∠C=45°，AD=BD=CD，∵∠ADE+∠ADF=90°，∠ADF+∠CDF=90°，∴∠ADE=∠CDF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE=CF，BE=AF，AB=AC=17，∴S四边形AEDF=S△ABC，∴S△AEF=×5×12=30，19\n∴△DEF的面积=S△ABC﹣S△AEF=．【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BDE≌△CDG和△ADE≌△CDF是解题的关键．19