期中测试题　一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．设a是9的平方根，B=（）2，则a与B的关系是（　　）A．a=±BB．a=BC．a=﹣BD．以上结论都不对2．下面的计算不正确的是（　　）A．5a3﹣a3=4a3B．2m•3n=6m+nC．2m•2n=2m+nD．﹣a2•（﹣a3）=a53．π、，﹣，，3.1416，0.中，无理数的个数是（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，E，B，F，C四点在一条直线上，EB=CF，∠A=∠D，再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF的是（　　）A．AB=DEB．DF∥ACC．∠E=∠ABCD．AB∥DE5．等腰三角形一边长等于5，一边长等于10，它的周长是（　　）A．20B．25C．20或25D．156．如图，数轴A、B上两点分别对应实数a、b，则下列结论正确的是（　　）A．a+b＞0B．ab=0C．﹣＜0D．+＞07．下列各式中，不能用平方差公式因式分解的是（　　）A．﹣a2﹣4b2B．﹣1+25a2C．﹣9a2D．﹣a4+18．有下列四个命题：①相等的角是对顶角；②同位角相等；③若一个角的两边与另一个角的两边互相平行，则这两个角一定相等；④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离．其中是真命题的个数有（　　）A．0个B．1个C．2个D．3个　二．填空题（共7小题，满分21分，每小题3分）9．若=2﹣x，则x的取值范围是　　．10．把命题“等角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是　　．11．比较大小：　　．（填“＞”、“＜”或“=”）12．如图，∠1=∠2，要使△ABE≌△ACE，还需添加一个条件是　　（填上你认为适当的一个条件即可）．13．计算：已知：a+b=3，ab=1，则a2+b2=　　．11\n14．计算：（）2017×（﹣4）1009=　　．15．如图，点A，B，C在同一直线上，在这条直线同侧作等边△ABD和等边△BCE，连接AE和CD，交点为M，AE交BD于点P，CD交BE于点Q，连接PQ、BM，有4个结论：①△ABE≌△DBC，②△DQB≌△ABP，③∠EAC=30°，④∠AMC=120°，请将所有正确结论的序号填在横线上　　．三．解答题（共8小题，满分75分）16．（8分）分解因式：（1）5mx2﹣10mxy+5my2（2）4（a﹣b）2﹣（a+b）2．17．（10分）计算：（1）2x2y•（﹣3xy）÷（xy）2（2）﹣+（3）（x+3）（x+4）﹣（x﹣1）2．18．（7分）观察以下等式：第1个等式：++×=1，第2个等式：++×=1，第3个等式：++×=1，第4个等式：++×=1，第5个等式：++×=1，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：　　；（2）写出你猜想的第n个等式：　　（用含n的等式表示），并证明．11\n19．（9分）若我们规定三角“”表示为：abc；方框“”表示为：（xm+yn）．例如：=1×19×3÷（24+31）=3．请根据这个规定解答下列问题：（1）计算：=　　；（2）代数式为完全平方式，则k=　　；（3）解方程：=6x2+7．20．（10分）如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D、E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△ACD′．（1）当∠DAE=45°时，求证：DE=D′E；（2）在（1）得条件下，猜想：BD2、DE2、CE2有怎样的数量关系？请写出，并说明理由．11\n21．（10分）分解因式：（a2+2a）2﹣7（a2+2a）﹣8．22．（10分）观察下列一组等式：（a+1）（a2﹣a+1）=a3+1（a+2）（a2﹣2a+4）=a3+8（a+3）（a2﹣3a+9）=a3+27（1）以上这些等式中，你有何发现？利用你的发现填空．①（x﹣3）（x2+3x+9）=　　；②（2x+1）（　　）=8x3+1；③（　　）（x2+xy+y2）=x3﹣y3．（2）计算：（a2﹣b2）（a2+ab+b2）（a2﹣ab+b2）．23．（11分）课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法．我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法：定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．请你在图2中用三种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）　11\n参考答案：　一．选择题1．【分析】由于正数的平方根有两个，且互为相反数，所以在此题中有a两种情况，要考虑全面．【解答】解：∵a是9的平方根，∴a=±3，又B=（）2=3，∴a=±b．故选：A．　2．【分析】根据合并同类项的法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加的性质，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、5a3﹣a3=（5﹣1）a3=4a3，正确；B、2m与3n与底数不相同，不能进行运算，故本选项错误；C、2m•2n=2m+n，正确；D、﹣a2•（﹣a3）=a2+3=a5，正确．故选：B．　3．【分析】由于无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及0.1010010001…，等有这样规律的数．由此即可判定选择项．【解答】解：在π、，﹣，，3.1416，0.中，无理数是：π，共2个．故选：B．　4．【分析】由EB=CF，可得出EF=BC，又有∠A=∠D，本题具备了一组边、一组角对应相等，为了再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF，那么添加的条件与原来的条件可形成SSA，就不能证明△ABC≌△DEF了．【解答】解：A、添加DE=AB与原条件满足SSA，不能证明△ABC≌△DEF，故A选项正确．B、添加DF∥AC，可得∠DFE=∠ACB，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故B选项错误．C、添加∠E=∠ABC，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故C选项错误．D、添加AB∥DE，可得∠E=∠ABC，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故D选项错误．故选：A．　5．【分析】此题先要分类讨论，已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于10，先根据三角形的三边关系判定能否组成三角形，若能则求出其周长．【解答】解：当5为腰，10为底时，∵5+5=10，11\n∴不能构成三角形；当腰为10时，∵5+10＞10，∴能构成三角形，∴等腰三角形的周长为：10+10+5=25．故选：B．　6．【分析】本题要先观察a，b在数轴上的位置，得b＜﹣1＜0＜a＜1，然后对四个选项逐一分析．【解答】解：A、∵b＜﹣1＜0＜a＜1，∴|b|＞|a|，∴a+b＜0，故选项A错误；B、∵b＜0＜a，∴ab＜0，故选项B错误；C、∵b＜0＜a，∴﹣＞0，故选项C错误；D、∵b＜﹣1＜0＜a＜1，∴+＞0，故选项D正确．故选：D．　7．【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．【解答】解：不能用平方差公式分解的是﹣a2﹣4b2．故选：A．　8．【分析】①根据对顶角的定义进行判断；②根据同位角的知识判断；③一个角的两边与另一个角的两边分别互相平行，这两个角相等或互补；根据点到直线的距离的定义对④进行判断．【解答】解：①对顶角相等，相等的角不一定是对顶角，①假命题；②两直线平行，同位角相等；②假命题；③一个角的两边与另一个角的两边分别互相平行，这两个角相等或互补；③假命题；④从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做点到直线的距离，所以④假命题；真命题的个数为0，故选：A．　二．填空题9．【分析】根据已知得出x﹣2≤0，求出不等式的解集即可．【解答】解：∵=2﹣x，∴x﹣2≤0，x≤2则x的取值范围是x≤2故答案为：x≤2．　11\n10．【分析】命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面．【解答】解：题设为：两个角是等角的补角，结论为：相等，故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是等角的补角，那么它们相等．故答案为：如果两个角是等角的补角，那么它们相等．　11．【分析】通分后做差，借助于平方差公式即可求出9﹣4＞0，进而即可得出＞．【解答】解：∵=，∴﹣=．∵（9﹣4）×（9+4）=81﹣80=1＞0，9+4＞0，∴9﹣4＞0，∴﹣＞0，即＞．故答案为：＞．　12．【分析】根据题意，易得∠AEB=∠AEC，又AE公共，所以根据全等三角形的判定方法容易寻找添加条件．【解答】解：∵∠1=∠2，∴∠AEB=∠AEC，又AE公共，∴当∠B=∠C时，△ABE≌△ACE（AAS）；或BE=CE时，△ABE≌△ACE（SAS）；或∠BAE=∠CAE时，△ABE≌△ACE（ASA）．　13．【分析】将所求式子利用完全平方公式变形后，把a+b与ab的值代入即可求出值．【解答】解：∵a+b=3，ab=1，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=32﹣2=9﹣2=7．故答案为：7　14．【分析】本题既可以运用负整数指数幂的公式，也可以运用幂的乘方法则即可求出答案．【解答】解：（）2017×（﹣4）1009，=2﹣2017×（﹣22×1009），=﹣2﹣2017+2018，=﹣2，11\n故答案为：﹣2．　15．【分析】根据题意、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质可以判断各小题是否成立，从而可以解答本题．【解答】解：∵等边△ABD和等边△BCE，∴AB=BD，BE=BC，∠ABE=∠DBC=120°，∠DBQ=60°，∴在△ABE和△DBC中，，∴△ABE≌△DBC（SAS），故①正确，∴∠EAB=∠CDB，即∠BAP=∠BDQ，在△DQB和△ABP中，，∴△DQB≌△ABP（ASA），故②正确，题目中没有说明AP平分∠DAB，故无法推出∠EAC=30°，故③错误，∵∠EAB=∠CDB，∠AMC+∠MAC+∠MCA=180°，∴∠MAC+∠MCA=∠CDB+∠DCB=∠DBA=60°，∴∠AMC=120°，故④正确，故答案为：①②④．　三．解答题16．【分析】（1）首先提公因式5m，再利用完全平方公式进行分解即可；（2）直接利用平方差进行分解即可．【解答】解：（1）原式=5m（x2﹣2xy+y2）=5m（x﹣y）2．（2）原式=[2（a﹣b）]2﹣（a+b）2=[2（a﹣b）+（a+b）][2（a﹣b）﹣（a+b）]=（3a﹣b）（a﹣3b）．　17．【分析】（1）原式利用积的乘方运算法则计算，再利用单项式乘除单项式法则计算即可得到结果；11\n（2）原式利用平方根、立方根定义计算即可得到结果；（3）原式利用多项式乘多项式，以及完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果．【解答】解：（1）原式=2x2y•（﹣3xy）÷（x2y2）=﹣6x；（2）原式=5﹣2+2=5；（3）原式=x2+7x+12﹣x2+2x﹣1=9x+11．　18．【分析】以序号n为前提，依此观察每个分数，可以用发现，每个分母在n的基础上依次加1，每个分子分别是1和n﹣1【解答】解：（1）根据已知规律，第6个分式分母为6和7，分子分别为1和5故应填：（2）根据题意，第n个分式分母为n和n+1，分子分别为1和n﹣1故应填：证明：=∴等式成立　19．【分析】（1）根据新定义运算代入数据计算即可求解；（2）根据新定义运算代入数据计算，再根据完全平方式的定义即可求解；（3）根据新定义运算代入数据得到关于x的方程，解方程即可求解．【解答】解：（1）=[2×（﹣3）×1]÷[（﹣1）4+31]=﹣6÷4=﹣．故答案为：﹣；（2）=[x2+（3y）2]+xk•2y=x2+9y2+2kxy，∵代数式为完全平方式，∴2k=±6，11\n解得k=±3．故答案为：±3；（3）=6x2+7，（3x﹣2）（3x+2）]﹣[（x+2）（3x﹣2）+32]=6x2+7，解得x=﹣4．　20．【分析】（1）利用旋转的性质得AD=AD′，∠DAD′=∠BAC=90°，再计算出∠EAD′=∠DAE=45°，则利用“SAS”可判断△AED≌△AED′，所以DE=D′E；（2）由（1）知△AED≌△AED′得到ED=ED′，∠B=∠ACD′，再根据等腰直角三角形的性质得∠B=∠ACB=45°，则根据旋转的性质得BD=CD′，∠B=∠ACD′=45°，所以∠BCD′=∠ACB+∠ACD′=90°，于是根据勾股定理得CE2+D′C2=D′E2，所以BD2+CE2=DE2．【解答】（1）证明：∵△ABD绕点A旋转，得到△ACD′，∴AD=AD′，∠DAD′=∠BAC=90°，∵∠DAE=45°∴∠EAD′=∠DAD′﹣∠DAE=90°﹣45°=45°，∴∠EAD′=∠DAE，在△AED与△AED′中，∴△AED≌△AED′，∴DE=D′E；（2）解：BD2+CE2=DE2．理由如下：由（1）知△AED≌△AED′得到：ED=ED′，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°，∵△ABD绕点A旋转，得到△ACD′∴BD=CD′，∠B=∠ACD′=45°，∴∠BCD′=∠ACB+∠ACD′=45°+45°=90°，在Rt△CD′E中，CE2+D′C2=D′E2，∴BD2+CE2=DE2．　21．【分析】原式利用十字相乘法分解即可．【解答】解：原式=（a2+2a﹣8）（a2+2a+1）=（a+4）（a﹣2）（a+1）2．　22．【分析】（1）根据上述等式归纳总结得到规律，即可得到结果；（2）将第一个因式利用平方差公式分解，结合后，利用得出的规律计算即可得到结果．【解答】解：（1）①（x﹣3）（x2+3x+9）=x3﹣27；11\n②（2x+1）（4x2﹣2x+1）=8x3+1；③（x﹣y）（x2+xy+y2）=x3﹣y3；故答案为：①x3﹣27；②8x3+1；③x3﹣y3；（2）原式=[（a﹣b）（a2+ab+b2）][（a+b）（a2﹣ab+b2）]=（a3﹣b3）（a3+b3）=a6﹣b6．　23．【分析】（1）先以底边为腰作顶角为45°的等腰三角形，然后再作腰的垂线得到含顶角为90°的等腰三角形和顶角为135°的等腰三角形；（2）先过腰上的高得到顶角为90°的等腰三角形，再作此高的垂直平分线得到顶角为135°的等腰三角形和顶角为45°的等腰三角形．【解答】解：（1）如图所示：（2）如图所示：（3）如图所示：　11