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2022年人教版九年级数学上册导学案:24.1.4 圆周角

doc 2022-08-03 10:11:24 9页
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24.1.4圆周角一、新课导入1.导入课题:情景:如图,把圆心角∠AOB的顶点O拉到圆上,得到∠ACB.问题1:∠ACB有什么特点?它与∠AOB有何异同?问题2:你能仿照圆心角的定义给∠ACB取一个名字并下个定义吗?由此导入课题.(板书课题)2.学习目标:(1)知道什么是圆周角,并能从图形中准确识别它.(2)探究并掌握圆周角定理及其推论.(3)体会“由特殊到一般”“分类”“化归”等数学思想.3.学习重、难点:重点:圆周角定理及其推论.难点:圆周角定理的证明与运用.二、分层学习1.自学指导:(1)自学内容:教材第85页到第86页倒数第6行之前的内容.(2)自学时间:10分钟.(3)自学方法:完成探究提纲.(4)探究提纲:1)圆周角的概念①顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.②判别下列各图中的角是不是圆周角,并说明理由.②猜一猜:一条弧所对的圆周角与圆心角有何数量关系?,②量一量:用量角器量一量圆心角∠AOB和圆周角∠ACB.a.如图,∠ACB=∠AOB.b.你可以画多少个AB所对的圆周角?这些圆周角与∠AOB之间有什么数量关系?可以画无数个.这些圆周角都等于∠AOB的一半.③想一想:在⊙O中任画一个圆周角∠BAC,圆心O与∠BAC可能会有几种位置关系?有3种位置关系.②证一证:a.当圆心O在∠BAC的一条边上时(如图1):b.当圆心O在∠BAC的内部时(如图2):作直径AD,同a,得.c.当圆心O在∠BAC的外部时(如图3).作直径AD,同a,得⑤归纳:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.2.自学:学生可根据自学指导自主学习,相互交流.3.助学:(1)师助生:①明了学情:关注学生能否探究、归纳和证明圆周角定理.,②差异指导:根据学情进行个别指导或分类指导.(2)生助生:小组内交流、研讨.4.强化:(1)圆周角定理的内容.(2)证明圆周角定理所体现的数学思想.(3)练习:如图,OA,OB,OC都是⊙O的半径,∠AOB=2∠BOC.求证:∠ACB=2∠BAC.证明:∵∠ACB=∠AOB,∠BAC=∠BOC,∠AOB=2∠BOC,∴∠ACB=2∠BAC.1.自学指导:(1)自学内容:教材第86页最后5行至第87页例4.(2)自学时间:10分钟.(3)自学方法:完成探究提纲.(4)探究提纲:①探究图中∠ACB,∠ADB和∠AEB的数量关系.a.如图1,∵∠ACB=∠AOB,∠ADB=∠AOB,∠AEB=∠AOB,∴∠ACB=∠ADB=∠AEB.即同弧所对的圆周角相等.b.如图2,AB=AE,∵AB=AE,∴∠AOB=∠AOE.∵∠ACB=∠AOB,∠ADE=∠AOE,∴∠ACB=∠ADE.即等弧所对的圆周角相等.c.由此可得,同弧或等弧所对的圆周角相等.,d.练习:如图,点A、B、C、D在同一个圆上,四边形ABCD的对角线把四个内角分成8个角,这些角中哪些是相等的角?∠1=∠4,∠2=∠7,∠3=∠6,∠5=∠8②半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径.为什么?因为半圆(或直径)所对的圆心角是180°,所以它所对的圆周角是90°,即直角.90°的圆周角所对的圆心角是180°,所以它所对的弦是直径.②如图,用直角曲尺检查半圆形的工件,哪个是合格的?为什么?第二个工件是合格的.因为半圆所对的圆周角为直角.④如图,⊙O的直径AB为10cm,弦AC为6cm,∠ACB的平分线交⊙O于D,求BC,BD的长.∵AB是直径,∴∠ACB=90°,∴在中,.同理∠ADB=90°,又CD是∠ACB的平分线,∴∠DCA=∠DCB=∠ACB=45°,∴∠DBA=∠DAB=45°,∴AD=BD.在中,AD2+BD2=AB2,∴.③如图,你能设法确定一个圆形片的圆心吗?你有多少种方法?能,方法很多,例如:利用三角尺的直角可以找出两条直径(90°的圆周角所对的弦是直径),两直径交点就是圆心.2.自学:学生可在自学指导的指引下自主学习,相互交流.3.助学:(1)师助生:①明了学情:关注学生是否会完成任务.,②差异指导:根据学情进行个别指导或分类指导.(2)生助生:小组内交流、研讨.4.强化:(1)常规辅助线:遇直径,想直角.(2)点一名学生口答探究提纲中的问题②,点两名学生板演问题④,并点评.1.自学指导:(1)自学内容:教材第87页“思考”到第88页“练习”之前的内容.(2)自学时间:7分钟.(3)自学方法:阅读课文,完成自学参考提纲.(4)自学参考提纲:①什么叫圆内接多边形和多边形的外接圆?如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆.②在图中标出和所对的圆心角,这两个圆心角有什么关系?∠BAD+∠BCD=180度,同理可得:∠ABC+∠ADC=180度.③圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角互补.④练习:a.如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,已知∠BOD=100°,则∠BAD=50°,∠BCD=130°.b.如图,四边形ABCD内接于⊙O,E为CD延长线上一点.若∠B=110°,求∠ADE的度数.∵四边形ABCD内接于⊙O,∴∠B+∠ADC=180°,又∠ADC+∠ADE=180°,∴∠ADE=∠B=110°.c.求证:圆内接平行四边形是矩形.∵圆内接四边形对角互补,而平行四边形对角相等,∴圆内接平行四边形四个角都是直角.,∴圆内接平行四边形是矩形.d.已知:如图,两个等圆⊙O1和⊙O2都经过A,B两点,经过点A的直线与两圆分别交于点C,D,经过点B的直线与两圆分别交于点E,F.若CD∥EF,求证:四边形EFDC是平行四边形.连接AB.∵四边形ABEC是⊙O1的内接四边形,∴∠C+∠ABE=180°.又∵四边形ABFD是⊙O2的内接四边形.∴∠D+∠ABF=180°.又∵∠ABE+∠ABF=180°.∴∠C+∠D=180°.∴CE∥DF.又∵CD∥EF,∴四边形EFDC是平行四边形.2.自学:学生可结合自学指导自主学习.3.助学:(1)师助生:①明了学情:明了学生自学提纲的答题情况.②差异指导:根据学情进行个别指导或分类指导.(2)生助生:生生互动,交流研讨.4.强化:(1)圆内接四边形的性质.(2)让学生完成自学参考提纲中的第④题,并点评.(3)练习:圆内接四边形ABCD中,∠A、∠B、∠C的度数的比是2∶3∶6,求四边形ABCD各内角的度数.解:∵∠A∶∠C=2∶6,∠A+∠C=180°,∴∠A=45°,∠C=135°.又∠A∶∠B=2∶3,∴∠B=67.5°,∠D=180°-∠B=112.5°.三、评价,1.学生的自我评价(围绕三维目标):这节课你学到了哪些知识?在哪些方面还感到比较困难?2.教师对学生的评价:(1)表现性评价:点评学生学习的态度、积极性、小组探究协作情况以及存在的问题等.(2)纸笔评价:课堂评价检测.3.教师的自我评价(教学反思):(1)这节课首先是类比圆心角得出圆周角的概念.在探究圆周角与圆心角关系过程中,要求学生学会使用分类讨论以及转化的数学思想解决问题,同时也培养了学生勇于探究的精神.其次,本节课还学习了圆内接四边形定义及圆内接四边形的性质,通过例题和习题训练,可以使学生在解答问题时灵活运用前面的一些基础知识,从中获取成功的经验,建立学习的自信心.(2)圆周角定理的证明分了三种情况探讨,这里蕴含着重要的数学思想——分类思想,教材中多处闪烁着分类思想的光环:三角形分类、方程的分类等,故教学过程中要整理相互交融的知识结构,加强分类思想的渗透.(时间:12分钟满分:100分)一、基础巩固(80分)1.(10分)下列四个图中,∠x是圆周角的是(C)2.(10分)如图,⊙O中,弦AB、CD相交于E点,且∠A=40°,∠AED=75°,则∠B=(D)A.15°B.40°C.5°D.35°3.(10分)如图,⊙O的直径AB与弦CD垂直,且∠BAC=40°,则∠BOD=80°.4.(10分)如图,点B、A、C都在⊙O上,∠BOA=110°,则∠BCA=125°.,5.(10分)如图,⊙O中,弦AD平行于弦BC,∠AOC=78°,求∠DAB的度数.解:∵AD∥BC,∴∠DAB=∠B.又∵∠B=∠AOC=39°.∴∠DAB=39°.6.(10分)如图,⊙O的半径为1,A,B,C是⊙O上的三个点,且∠ACB=45°,求弦AB的长.解:连接OA、OB.∵∠BCA=45°,∴∠BOA=2∠BCA=90°.又OA=OB,∴△AOB是等腰直角三角形.∴.7.(10分)如图,A,P,B,C是⊙O上的四点,∠APC=∠CPB=60°,判断△ABC的形状并证明你的结论.解:△ABC是等边三角形.证明如下:∵∠APC=∠ABC=60°,∠CPB=∠BAC=60°,∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=60°,∴△ABC是等边三角形.8.(10分)如图,已知A,B,C,D是⊙O上的四点,延长DC,AB相交于点E,若BC=BE.求证:△ADE是等腰三角形.证明:∵∠A+∠BCD=180°,∠BCE+∠BCD=180°.∴∠A=∠BCE.∵BC=BE,∴∠E=∠BCE,∴∠A=∠E,∴AD=DE,∴△ADE是等腰三角形.二、综合应用(10分)9.(10分)如图,已知EF是⊙O的直径,把∠A为60°的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上,斜边AB与⊙,O交于点P,点B与点O重合;将三角形ABC沿OE方向平移,使得点B与点E重合为止.设∠POF=x°,则x的取值范围是30≤x≤60.三、拓展延伸(10分)10.(10分)如图,BC为半圆O的直径,点F是上一动点(点F不与B、C重合),A是上的中点,设∠FBC=α,∠ACB=β.(1)当α=50°时,求β的度数;(2)猜想α与β之间的关系,并给予证明.解:(1)连接OA,交BF于点M.∵A是上的中点,∴OA垂直平分BF.∴∠BOM=90°-∠B=90°-α=40°.∴∠C=∠AOB=×40°=20°,即β=20°.(2)β=45°-α.证明:由(1)知∠BOM=90°-α.又∠C=β=∠AOB,∴β=(90°-α)=45°-α.

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