湘教·九年级上册相似三角形的判定定理1\n激趣引入ABC一块三角形玻璃碎了，只留下了完整的∠A和∠B，用这两个角可以去配制一块完全一模一样的玻璃吗？\n任意画△ABC和△A'B'C'，使∠A=∠A'，∠B=∠B'.∠C=∠C'吗？分别度量这两个三角形的边长，它们是否对应成比例？把你的结果与同学交流，你们的结论相同吗？由此你有什么发现？ABCA′B′C′探究新知∠A=∠A'，∠B=∠B'.\nABCA′B′C′在△ABC与△A'B'C'中，已知∠A=∠A'，∠B=∠B'.在△A'B'C'的边A'B'上取一点D，使A'D=AB.过点D作DE∥B'C'，交A′C′于点E.在△A'DE与△ABC中，∵∠A′=∠A，A′D=AB，∠A′DE=∠B′=∠B，∴△A'DE≌△ABC.又DE∥B'C'，∴△A'DE∽△A'B'C'.∴△ABC∽△A'B'C'.两角分别相等的两个三角形相似.DE\n例3如图，在△ABC中，∠C=90°.过点D分别作边AB，BC的垂线，垂足分别为点E，F，DF与AB交于点H.求证：△DEH∽△BCA.证明：∵∠C=90°，∴AC⊥BC.∵DF⊥BC，∴DF∥AC.∴∠BHF=∠A，而∠BHF=∠DHE，∴∠DHE=∠A.又DE⊥AB，∴∠DEH=90°=∠C，∴△DEH∽△BCA(两角分别相等的两个三角形相似).\n如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E.求证：△ABD∽△CBE.分析：已知∠B是公共角，判定两三角形相似，再找一组角相等即可，由题易证AD⊥BC，有∠ADB=∠CEB=90°，即可得证.证明：在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∵CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°，又∠B=∠B，∴△ABD∽△CBE.\n例4如图，在Rt△ABC与Rt△DEF中，∠C=90°，∠F=90°.若∠A=∠D，AB=5，BC=4，DE=3，求EF的长.解：∵∠C=90°，∠F=90°，∠A=∠D，∴△ABC∽△DEF.∴又AB=5，BC=4，DE=3.∴EF=2.4.两角分别相等的两个三角形相似\n分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得.借助于计算也是一种常用的方法.证明：∵∠A=36°，△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠C=72°，又BD平分∠ABC，则∠DBC=36°，在△ABC和△BCD中，∠C为公共角，∠A=∠DBC=36°，∴△ABC∽△BCD.已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线，求证：△ABC∽△BCD.\n已知：如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高.求证：△ACD∽△ABC∽△CBD.证明:∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=90°，∴△ACD∽△ABC，（两角分别相等的两个三角形相似）同理△CBD∽△ABC，∴△ABC∽△CBD∽△ACD.\n练习课后练习1.如图，点E为□ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F.请指出图中有几对相似三角形，并说明理由.△ABE∽△FCE，证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，AD∥BE.∴△ABE∽△FCE，∠FCE=∠D，∠E=∠DAF.∴△FCE∽△FDA.△FCE∽△FDA，△ABE∽△FDA∴△ABE∽△FDA.\n2.如图，AB⊥BD，ED⊥BD，点C是线段BD的中点，且AC⊥CE.已知ED=1，BD=4，求AB的长.证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，∴∠B=∠D=∠ACE=90°.∵∠A+∠ACB=∠ECD+∠ACB=90°，∴∠A=∠ECD，∴△ABC∽△CDE.∴∵BD=4，C是BD中点，∴BC=CD=∴即AB=4.\n课堂小结ABCA′B′C′DE两角分别相等的两个三角形相似.∠A=∠A'，∠B=∠B'.∴△ABC∽△A'B'C'.\n1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.课后作业