第3章图形的相似3.1比例线段第2课时\n1.理解线段的比与成比例线段的关系；（重点、难点）2.了解并掌握黄金分割问题．(重点、难点)学习目标\n两张地图中，黄鹤楼与长江的距离为何不同吗？导入新课\n\n如果选用同一个长度单位得两条先线段AB,CD的长度分别是m,n,那么这两条线段的比就是它们长度的比，即ABCDmnAB:CD=m:n或如果把表示成比值k,那么=k，或AB=k·CD,两条线段的比实际上就是两个数的比.讲授新课线段的比和成比例线段\n1.若线段AB＝6cm，CD＝4cm，则.2.若线段AB＝8cm，CD＝2dm，则.思考：两条线段长度的比与所采用的长度单位是否有关？有关？无关？求两条线段的比时，所使用的长度单位应该统一在对长度单位进行统一时，无论采用哪一种单位，比值都相同.注意：虽然两条线段的比要在单位统一的前提下进行，但比值却是一个不带单位的正数.练一练\n4.五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'形状相同，AB＝5cm，A'B'＝3cm，AB∶A'B'＝.ABCDEA'B'C'D'E'5∶33.已知线段AB＝8cm，A'B'＝2cm，AB∶A'B'的比为，AB∶A'B'的比值为，AB＝A'B'.4∶144练一练\n做一做：设小方格的边长为1，四边形ABCD与四边形EFGH的顶点都在格点上，那么AB，AD,EF,EH的长度分别是多少？ABCDGHEF计算的值，你发现了什么？\nABCDGHEF\n四条线段a,b,c,d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a,b,c,d叫作成比例线段，简称比例线段.归纳总结AB，EF，AD，EH是成比例线段，AB，AD，EF，EH也是成比例线段.注意：四条线段成比例时要注意它们的排列顺序！\n如果或a：b=c：d，那么a、b、c、d叫做组成比例的项，a、d叫做比例外项，b、c叫做比例内项，d叫做a、b、c的第四比例项.特殊情况：若作为比例内项的两条线段相等，即a:b=b:c，则b叫做a,c的比例中项.相关概念\n例1：判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：（1）a＝4，b＝6，c＝5，d＝10；解：（1）　∵∴线段a、b、c、d不是成比例线段．，∴，典例精析\n（2）a＝2，b＝，c＝，d＝．（2）　∵∴∴线段a、b、c、d是成比例线段．\n注意:1.若a:b=k,说明a是b的k倍；2.两条线段的比与所采用的长度单位无关，但求比时两条线段的长度单位必须一致；3.两条线段的比值是一个没有单位的正数；4.除了a=b外,a:b≠b:a,互为倒数.\n1.判断下列各组线段是否成比例线段，为什么？成比例线段不成比例线段2.下列各组线段中成比例线段的是　　（　　）C练一练\n解：根据题意可知,AB=am,AE=am,AD=1m.由，得即开平方,得例2：一块矩形绸布的长AB=am,宽AD=1m，按照图中所示中方式它裁剪成相同的三面矩形彩旗，且使才裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么a的值应当是多少？DAFECB\n一个五角星如下图所示.问题：度量C到点A、B的距离,与相等吗？ACBABC黄金分割的概念\nABC点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果,那么称线段AB被点C黄金分割.点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比称为黄金比.概念学习\n1.计算黄金比.解：由，得AC2=AB·BC.设AB=1，AC=x,则BC=1–x.∴x2=1×（1-x）.即x2+x–1=0.解方程得：x1=x2=黄金比做一做\n2.如图所示,已知线段AB按照如下方法作图:1.经过点B作BD⊥AB,使BD=AB2.连接AD,在AD上截取DE=DB.3.在AB上截取AC=AE.思考：点C是线段AB的黄金分割点吗?ABDEC\n\n巴台农神庙（ParthenomTemple）FCAEBD想一想：如果把图中用虚线表示的矩形画成如图所示的矩形ABCD，以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD，那么我们可以惊奇地发现，点E是AB的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？为什么?\n点E是AB的黄金分割点（即）是黄金比矩形ABCD的宽与长的比是黄金比宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形.ABCDEF\n例3：在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比值越接近0.618越给人以美感.小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60m，她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美？解：设肚脐到脚底的距离为xm，根据题意，得，解得x=0.96.设穿上ym高的高跟鞋看起来会更美，则解得y≈0.075，而0.075m=7.5cm.故她应该穿约为7.5cm高的高跟鞋看起来会更美.\n1.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为20cm，则它的宽约为()(A)12.36cm(B)13.6cm(C)32.36cm(D)7.64cm【解析】选A.0.618×20=12.36(cm).A练一练\n2.如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割，已知AB=10cm，则AC的长约为_____cm.（结果精确到0.1cm）【解析】本题考查黄金分割的有关知识，由题意知∴AC2=(10-AC)×10，解得AC≈6.2cm.6.2\n3.如图所示，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则AC=______cm，DC=_______cm.【解析】由黄金分割定义可知，AC=BD=×AB=(40-40)cm,AD=AB-BD=(120-40)cm,所以DC=AC-AD=(80-160)cm.\n打开地图，你就会发现那些好茶产地大多位于北纬30度左右。特别是红茶中的极品“祁红”，产地在安徽的祁门，也恰好在此纬度上。这不免让人联想起许多与北纬30度有关的地方。奇石异峰，名川秀水的黄山，庐山，九寨沟等等。衔远山，吞长江的中国三大淡水湖也恰好在这黄金分割的纬度上。大自然与黄金分割\n图中主叶脉与叶柄和主叶脉的长度之和比约为0.618.\n蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比,普通树叶的宽与长之比也接近0.618;\n人与黄金分割人体肚脐不但是黄金点美化身型，有时还是医疗效果黄金点，许多民间名医在肚脐上贴药治好了某些疾病。人体最感舒适的温度是23℃(体温)，也是正常人体温(37℃)的黄金点(23=37×0.618).这说明医学与0.618有千丝万缕联系,尚待开拓研究。人体还有几个黄金点：肚脐上部分的黄金点在咽喉，肚脐以下部分的黄金点在膝盖，上肢的黄金点在肘关节.上肢与下肢长度之比均近似0.618.\n在人的面部，五官的分布越符合黄金分割，看起来就越美．BCA\n文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异.但这些金字塔底面的边长与高的比都接近于0.618.\n东方明珠塔，塔高468米.设计师在263米处设计了一个球体，使平直单调的塔身变得丰富多彩，非常协调、美观.\n人的俊美,体现在头部及躯干是否符合黄金分割.美神维纳斯，她身体的各个部位都暗藏比例0.618，虽然雕像残缺，却能仍让人叹服她不可言喻的美．\n黄金分割的魅力Applelogo苹果中小叶子的高度和缺口的高度比是0.6，而缺口的位置也和黄金分割有着千丝万缕的关系。也许这里面还有更多黄金的分割的密码，这里就要同学们自己去发现。\n当堂练习1.一把矩形米尺，长1m,宽3cm，则这把米尺的长和宽的比为（）A.100:3B.1:3C.10:3D.1000:32.甲、乙两地相距35km，图上距离为7cm,则这张图的比例尺为（）A.5:1B.1:5C.1:500000D.500000:1AC\n3.已知线段AB，点P是它的黄金分割点，AP>BP，设以AP为边的正方形的面积为S1，以PB、AB为边的矩形面积为S2，则S1与S2的关系是（）A．S1>S2B．S1<S2C．S1=S2D．S1≥S2PABC\n5.小明家搬进了新房，他买了一幅山水画，想挂到书房（书房高3米），请你帮他设计一下，挂在多高能给人赏心悦目的感觉？4.点C是线段AB的黄金分割点，如果AB=4，求线段AC的长度．AC=4×0.618=2.472或者AC=4×(1-0.618)=1.518.离地面的高度h=3×0.618=1.854m\n解：根据题意可知,,AB=15,AC=10,BD=6.则AD=AB–BD=15–6=9.则6.已知，AB=15，AC=10，BD=6．求AE．ABCDE\n1.一条线段的长度是另一条线段的5倍，则这两条线段的比等于.2.已知a、b、c、d是成比例线段，其中a=3cm，b=2cm，c=6cm，则线段d=.3.已知三个数2，4，6，添上一个数，使它们能构成一个比例式，则这个数为.4cm，3，125∶1拓展练习\n4.如图，设AB是已知线段，在AB上作正方形ABCD；取AD的中点E，连接EB；延长DA至F，使EF=EB；以线段AF为边作正方形AFGH.点H就是AB的黄金分割点.解:设AB=1,那么在Rt△BAE中,ABCDEFGH\n比例线段两条线段的比：比例线段①长度单位统一；②与单位无关，本身没有单位；③两条线段有顺序要求.①概念：项、比例内项、比例外项；②四条线段有顺序要求；③特别地：比例中项.课堂小结\n黄金分割点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果,那么称线段AB被点C黄金分割.点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比称为黄金比.课堂小结一条线段有两个黄金分割点黄金比：较长线段：原线段=定义