第六章反比例函数6.2反比例函数的图象与性质（第2课时反比例函数的性质）\n1.掌握反比例函数的图象和性质.(重点)2.能够初步应用反比例函数的图象和性质解题.(重点)3.理解反比例函数的系数k的几何意义，并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算中.(重点、难点)4.能够解决反比例函数与一次函数的综合性问题.(重点、难点)学习目标\n反比例函数的图象是什么？反比例函数的性质是什么？能类比前面学习的一次函数得到吗？反比例函数的图象是双曲线复习引入问题1问题2导入新课\n例1画反比例函数与的图象.合作探究提示：画函数的图象步骤一般分为：列表→描点→连线.需要注意的是在反比例函数中自变量x不能为0.讲授新课反比例函数的性质知识点1\n解：列表如下：x…－6－5－4－3－2－1123456……………－1－1.2－1.5－2－3－66321.51.21－2－2.4－3－4－66432.42－1212\nO－2描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点．56xy4321123456－3－4－1－5－6－1－2－3－4－5－6连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得　的图象．\n观察这两个函数图象，回答问题：思考：(1)每个函数图象分别位于哪些象限？(2)在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化？你能由它们的解析式说明理由吗？(3)对于反比例函数(k＞0)，考虑问题(1)(2)，你能得出同样的结论吗？\n●由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限它们与x轴、y轴都不相交；●在每个象限内，y随x的增大而减小.反比例函数(k＞0)的图象和性质：\n观察与思考当k=－2，－4，－6时，反比例函数的图象，有哪些共同特征？回顾上面我们利用函数图象，从特殊到一般研究反比例函数(k＞0)的性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函数(k＜0)的图象和性质吗？\nyxOyxOyxO\n反比例函数(k＜0)的图象和性质：●由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限它们与x轴、y轴都不相交；●在每个象限内，y随x的增大而增大.\n归纳：(1)当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；(2)当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大.一般地，反比例函数的图象是双曲线，它具有以下性质：k的正负决定反比例函数所在的象限和增减性\n点(2，y1)和(3，y2)在函数上，则y1y2(填“>”“<”或“=”).<练一练\n例2已知反比例函数，y随x的增大而增大，求a的值.解：由题意得a2+a－7=－1，且a－1<0．解得a=－3.反比例函数的图象和性质的初步运用知识点2\n练一练已知反比例函数在每个象限内，y随着x的增大而减小，求m的值．解：由题意得m2－10=－1，且3m－8＞0．解得m=3.\n例3已知反比例函数的图象经过点A(2，6).(1)这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？解：因为点A(2，6)在第一象限，所以这个函数的图象位于第一、三象限；在每一个象限内，y随x的增大而减小.\n(2)点B(3，4)，C(，)，D(2，5)是否在这个函数的图象上？解：设这个反比例函数的解析式为，因为点A(2，6)在其图象上，所以有，解得k=12.因为点B，C的坐标都满足该解析式，而点D的坐标不满足，所以点B，C在这个函数的图象上，点D不在这个函数的图象上.所以反比例函数的解析式为.\n(1)图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？Oxy例4如图，是反比例函数图象的一支.根据图象，回答下列问题：解：因为这个反比例函数图象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限.由因为这个函数图象位于第一、三象限，所以m－5＞0，解得m＞5.\n(2)在这个函数图象的某一支上任取点A(x1，y1)和点B(x2，y2).如果x1＞x2，那么y1和y2有怎样的大小关系？解：因为m－5＞0，所以在这个函数图象的任一支上，y都随x的增大而减小，因此当x1＞x2时，y1＜y2.\n练一练已知反比例函数的图象经过点A(2，3)．(1)求这个函数的表达式；解：∵反比例函数的图象经过点A(2，3)，∴把点A的坐标代入表达式，得，解得k=6.∴这个函数的表达式为.\n(2)判断点B(－1，6)，C(3，2)是否在这个函数的图象上，并说明理由；解：分别把点B，C的坐标代入反比例函数的解析式，因为点B的坐标不满足该解析式，点C的坐标满足该解析式，所以点B不在该函数的图象上，点C在该函数的图象上．\n(3)当－3<x<－1时，求y的取值范围．解：∵当x=－3时，y=－2；当x=－1时，y=－6，且k>0，∴当x<0时，y随x的增大而减小，∴当－3<x<－1时，－6<y<－2.\n1.在反比例函数的图象上分别取点P，Q向x轴、y轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，填写下页表格：合作探究反比例函数解析式中k的几何意义知识点3\n51234－15xyOPS1S2P(2，2)Q(4，1)S1的值S2的值S1与S2的关系猜想S1，S2与k的关系44S1=S2S1=S2=k－5－4－3－21432－3－2－4－5－1Q\nS1的值S2的值S1与S2的关系猜想与k的关系P(－1，4)Q(－2，2)2.若在反比例函数中也用同样的方法分别取P，Q两点，填写表格：44S1=S2S1=S2=－kyxOPQS1S2\n由前面的探究过程，可以猜想：若点P是图象上的任意一点，作PA垂直于x轴，作PB垂直于y轴，矩形AOBP的面积与k的关系是S矩形AOBP=|k|.\nyxOPS我们就k<0的情况给出证明：设点P的坐标为(a，b)AB∵点P(a，b)在函数的图象上，∴，即ab=k.∴S矩形AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k；若点P在第二象限，则a<0，b>0，若点P在第四象限，则a>0，b<0，∴S矩形AOBP=PB·PA=a·(－b)=－ab=－k.BPA综上，S矩形AOBP=|k|.自己尝试证明k>0的情况.\n点Q是其图象上的任意一点，作QA垂直于y轴，作QB垂直于x轴，矩形AOBQ的面积与k的关系是S矩形AOBQ=.推理：△QAO与△QBO的面积和k的关系是S△QAO=S△QBO=.Q对于反比例函数，AB|k|yxO归纳：反比例函数的面积不变性\nA.SA>SB>SCB.SA<SB<SCC.SA=SB=SCD.SA<SC<SB1.如图，在函数(x＞0)的图像上有三点A，B，C，过这三点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为SA，SB，SC，则()yxOABCC练一练\n2.如图，过反比例函数图象上的一点P，作PA⊥x轴于A.若△POA的面积为6，则k=.－12提示：当反比例函数图象在第二、四象限时，注意k＜0.yxOPA\n3.若点P是反比例函数图象上的一点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点M，N，若四边形PMON的面积为3，则这个反比例函数的关系式是.或\n例5如图，P，C是函数(x>0)图像上的任意两点，过点P作x轴的垂线PA，垂足为A，过点C作x轴的垂线CD，垂足为D，连接OC交PA于点E.设△POA的面积为S1，则S1=；梯形CEAD的面积为S2，则S1与S2的大小关系是S1S2；△POE的面积S3和S2的大小关系是S2S3.典例精析2S1S2＞＝S3\n如图所示，直线与双曲线交于A，B两点，P是AB上的点，△AOC的面积S1、△BOD的面积S2、△POE的面积S3的大小关系为.S1=S2<S3练一练解析：由反比例函数面积的不变性易知S1=S2.PE与双曲线的一支交于点F，连接OF，易知，S△OFE=S1=S2，而S3＞S△OFE，所以S1，S2，S3的大小关系为S1=S2<S3FS1S2S3\nyDBACx例6如图，点A是反比例函数(x＞0)的图象上任意一点，AB//x轴交反比例函数(x＜0)的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中点C，D在x轴上，则S平行四边形ABCD=___.325\n如图所示，在平面直角坐标系中，过点的直线与x轴平行，且直线分别与反比例函数(x＞0)和(x＜0)的图象交于点P，Q，若△POQ的面积为8，则k=______.QPOxMy－10练一练\n例7如图所示，点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在双曲线上，且x2－x1=4，y1－y2=2.分别过点A，B向x轴、y轴作垂线，垂足分别为C，D，E，F，AC与BF相交于G点，四边形FOCG的面积为2，五边形AEODB的面积为14，那么双曲线的解析式为.解得k=6.∴双曲线的解析式为.解析：∵x2－x1=4，y1－y2=2，∴BG=4，AG=5，∴S△ABG=4×5÷2=10.由反比例函数面积的不变性可知，S长方形ACOE=S长方形BDOF=k.∴S五边形AEODB=S四边形ACOE+S四边形BDOF－S四边形FOCG+S△ABG=k+k－2+4=14.\n如图，已知点A，B在双曲线上，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，AC与BD交于点P，P是AC的中点，若△ABP的面积为6，则k=.24练一练EF解析：作AE⊥y轴于点E，BF⊥x轴于点F.∵P是AC的中点，∴S四边形OCPD=S四边形ACOE=S四边形BDOF=k，S△ABP=S四边形BFCP，=(S四边形BDOF－S四边形OCPD)=(k－k)=k=6.∴k=24.\n1.已知反比例函数的图象在第一、三象限内，则m的取值范围是________.2.下列关于反比例函数的图象的三个结论：(1)经过点(－1，12)和点(10，－1.2)；(2)在每一个象限内，y随x的增大而减小；(3)双曲线位于二、四象限.其中正确的是(填序号).(1)(3)m＞2随堂练习\nA.4B.2C.－2D.不确定3.如图所示，P是反比例函数的图象上一点，过点P作PB⊥x轴于点B，点A在y轴上，△ABP的面积为2，则k的值为()OBAPxyA\n4.已知反比例函数y=mxm²－5，它的两个分支分别在第一、第三象限，求m的值.解：因为反比例函数y=mxm²－5的两个分支分别在第一、第三象限，所以有m2－5=－1，m＞0，解得m=2.\n5.已知反比例函数的图象经过点A(2，－4).(1)求k的值；解：∵反比例函数的图象经过点A(2，－4)，∴把点A的坐标代入表达式，得，解得k=－8.\n(2)这个函数的图象分布在哪些象限？y随x的增大如何变化?解：这个函数的图象位于第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大.\n(3)画出该函数的图象；Oxy解：如图所示：\n(4)点B(1，－8)，C(－3，5)是否在该函数的图象上？因为点B的坐标满足该解析式，而点C的坐标不满足该解析式，所以点B在该函数的图象上，点C不在该函数的图象上.解：该反比例函数的解析式为.\n6.如图，反比例函数与一次函数y=－x+2的图象交于A，B两点.(1)求A，B两点的坐标；AyOBx解：y=－x+2，解得x=4，y=－2所以A(－2，4)，B(4，－2).或x=－2，y=4.\n作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则AC=4，BD=2.(2)求△AOB的面积.解：一次函数与x轴的交点为M(2，0)，∴OM=2.OAyBxMCD∴S△OMB=OM·BD÷2=2×2÷2=2，∴S△OMA=OM·AC÷2=2×4÷2=4，∴S△AOB=S△OMB+S△OMA=2+4=6.\n反比例函数的性质性质反比例函数图象中比例系数k的几何意义当k＞0时，在每一象限内，y的值随x的增大而减小.当k<0时，在每一象限内，y的值随x的增大而增大.课堂小结