第二十二章二次函数22.2二次函数与一元二次方程\n学习目标1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式）之间的联系.(难点）2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集.（重点）3.了解用图象法求一元二次方程的近似根.\n导入新课情境引入问题如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2，考虑以下问题：\n讲授新课（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？Oht1513∴当球飞行1s或3s时，它的高度为15m.解：解方程15=20t-5t2,t2-4t+3=0,t1=1,t2=3.你能结合上图，指出为什么在两个时间求的高度为15m吗？h=20t-5t2二次函数与一元二次方程的关系\n（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？你能结合图形指出为什么只在一个时间球的高度为20m？Oht204解方程：20=20t-5t2,t2-4t+4=0,t1=t2=2.当球飞行2秒时，它的高度为20米.h=20t-5t2\n（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？Oht你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度?20.5解方程：20.5=20t-5t2,t2-4t+4.1=0,因为(-4)2-4×4.1<0,所以方程无解.即球的飞行高度达不到20.5米.h=20t-5t2\n（4）球从飞出到落地要用多少时间？Oht0=20t-5t2,t2-4t=0,t1=0,t2=4.当球飞行0秒和4秒时，它的高度为0米.即0秒时球地面飞出，4秒时球落回地面.h=20t-5t2\n从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程.如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是一个一元二次方程.为一个常数（定值）\n所以二次函数与一元二次方程关系密切．例如，已知二次函数y=－x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．反过来，解方程x2－4x+3=0又可以看作已知二次函数y=x2－4x+3的值为0，求自变量x的值．\n思考观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？（1）y=x2+x-2；（2）y=x2-6x+9；（3）y=x2-x+1.利用二次函数深入讨论一元二次方程\n1xyOy=x2－6x＋9y=x2－x＋1y=x2＋x－2观察图象，完成下表：抛物线与x轴公共点个数公共点横坐标相应的一元二次方程的根y=x2－x＋1y=x2－6x＋9y=x2＋x－20个1个2个x2-x+1=0无解0x2-6x+9=0，x1=x2=3-2,1x2+x-2=0，x1=-2,x2=1\n知识要点二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根b2-4ac有两个交点有两个不相等的实数根b2-4ac>0有两个重合的交点有两个相等的实数根b2-4ac=0没有交点没有实数根b2-4ac<0二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系\n例1：已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．(1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点；(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值．(1)证明：∵m≠0，∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2.∵(m－2)2≥0，∴Δ≥0，∴此抛物线与x轴总有两个交点；\n(2)解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0，所以x－1＝0或mx－2＝0，解得x1＝1，x2＝.当m为正整数1或2时，x2为整数，即抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数．所以正整数m的值为1或2.例1：已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．(1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点；(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值．\n变式：已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2.(1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点；(2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值．(1)证明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0，∴不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点；(2)解：∵x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2，∴x1(2)＋x2(2)＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3，∴a＝1.\n例2如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？\n解（1）由抛物线的表达式得即解得即当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是1m或5m.（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？\n（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？（2）由抛物线的表达式得即解得即当铅球离地面的高度为2.5m时，它离初始位置的水平距离是3m.\n（3）由抛物线的表达式得即因为所以方程无实根.所以铅球离地面的高度不能达到3m.（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？\n一元二次方程与二次函数紧密地联系起来了.\n例3：求一元二次方程的根的近似值（精确到0.1）.分析：一元二次方程x²-2x-1=0的根就是抛物线y=x²-2x-1与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.利用二次函数求一元二次方程的近似解\n解：画出函数y=x²-2x-1的图象（如下图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在-1与0之间,另一个在2与3之间.\n先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根是-0.4或-0.5，利用计算器进行探索，见下表：x…-0.4-0.5…y…-0.040.25…观察上表可以发现，当x分别取-0.4和-0.5时，对应的y由负变正，可见在-0.5与-0.4之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2-2x-1的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取x=-0.4或x=-0.5都符合要求.但当x=-0.4时更为接近0.故x1≈-0.4.同理可得另一近似值为x2≈2.4.\n一元二次方程的图象解法利用二次函数的图象求一元二次方程2x2+x-15=0的近似根.(1)用描点法作二次函数y=2x2+x-15的图象；(2)观察估计二次函数y=2x2+x-15的图象与x轴的交点的横坐标；由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个是-3,另一个在2与3之间,分别约为-3和2.5(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值);(3)确定方程2x2+x-15=0的解;由此可知,方程2x2+x-15=0的近似根为:x1≈-3,x2≈2.5.方法归纳\n例4:已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为()A．x1≈－2.1，x2≈0.1B．x1≈－2.5，x2≈0.5C．x1≈－2.9，x2≈0.9D．x1≈－3，x2≈1解析：由图象可得二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－1，而对称轴右侧图象与x轴交点到原点的距离约为0.5，∴x2≈0.5；又∵对称轴为x＝－1，则＝－1，∴x1＝2×(－1)－0.5＝－2.5.故x1≈－2.5，x2≈0.5.故选B.B\n解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确．方法总结\n问题1函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么方程ax2+bx+c=0的根是__________;不等式ax2+bx+c>0的解集是___________;不等式ax2+bx+c<0的解集是_________.3-1Oxyx1=-1，x2=3x<-1或x>3-1<x<3合作探究二次函数与一元二次不等式的关系(拓展)\n拓广探索：函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么方程ax2+bx+c=2的根是______________;不等式ax2+bx+c>2的解集是___________;不等式ax2+bx+c<2的解集是_________.3-1Ox2(4,2)(-2,2)x1=-2，x2=4x<-2或x>4-2<x<4y\n问题2：如果不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的解集是x≠2的一切实数，那么函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有____个交点，坐标是______.方程ax2+bx+c=0的根是______.1(2,0)x=22Ox\n问题3：如果方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根，那么函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有______个交点；不等式ax2+bx+c<0的解集是多少？0解：（1）当a>0时,ax2+bx+c<0无解；（2）当a＜0时,ax2+bx+c<0的解集是一切实数.3-1Ox\n试一试：利用函数图象解下列方程和不等式:(1)①-x2+x+2=0;②-x2+x+2>0;③-x2+x+2<0.(2)①x2-4x+4=0;②x2-4x+4>0;③x2-4x+4<0.(3)①-x2+x-2=0;②-x2+x-2>0;③-x2+x-2<0.xy020xy-12xy0y=-x2+x+2x1=-1,x2=21＜x＜2x1＜-1,x2＞2x2-4x+4=0x=2x≠2的一切实数x无解-x2+x-2=0x无解x无解x为全体实数\n知识要点二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点a＞0a＜0有两个交点x1,x2（x1＜x2）有一个交点x0没有交点二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次不等式的关系y＜0，x1＜x＜x2.y＞0，x2＜x或x＜x2.y＞0，x1＜x＜x2.y＜0，x2＜x或x＜x2.y＞0.x0之外的所有实数；y＜0，无解y＜0.x0之外的所有实数；y＞0，无解.y＞0，所有实数；y＜0，无解y＜0，所有实数；y＞0，无解\n判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（）A.3<x<3.23B.3.23<x<3.24C.3.24<x<3.25D.3.25<x<3.26x3.233.243.253.26y=ax2+bx+c-0.06-0.020.030.09C1.根据下列表格的对应值:当堂练习\n2．若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，且关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3，则另一个解x2=；-1yOx133.一元二次方程3x2+x－10=0的两个根是x1=－2，x2=，那么二次函数y=3x2+x－10与x轴的交点坐标是.(-2，0)(，0)\n4.若一元二次方程无实根，则抛物线图象位于（）A.x轴上方B.第一、二、三象限C.x轴下方D.第二、三、四象限A5.二次函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是()A．k<3B．k<3且k≠0C．k≤3D．k≤3且k≠0D\n6.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点，∴k＝3；当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，∴Δ＝b2－4ac≥0.∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，∴－4k＋16≥0.∴k≤4且k≠3.综上所述，k的取值范围是k≤4.\n7.某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时距地面米，与篮框中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮框距地面3米．(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？\n解：(1)由条件可得到出手点、最高点和篮框的坐标分别为A(0，)，B(4，4)，C(7，3)，其中B是抛物线的顶点．设二次函数关系式为y＝a(x－h)2＋k，将点A、B的坐标代入，可得y＝－(x－4)2＋4.将点C的坐标代入上式，得左边＝3，右边＝－(7－4)2＋4＝3，左边＝右边，即点C在抛物线上．所以此球一定能投中；\n(2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？(2)将x＝1代入函数关系式，得y＝3.因为3.1＞3，所以盖帽能获得成功．\n8.已知二次函数的图象，利用图象回答问题：（1）方程的解是什么？（2）x取什么值时，y>0？（3）x取什么值时，y<0？xyO248解：（1）x1=2,x2=4;（2）x<2或x>4;（3）2<x<4.\n判别式△=b2-4ac二次函数y=ax2+bx+c（a>0）的图象一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根不等式ax2+bx+c>0（a>0）的解集不等式ax2+bx+c<0（a>0）的解集x2x1xyOOx1=x2xyxOy△>0△＝0△＜0x1;x2x1=x2＝－b/2a没有实数根x<x1或x>x2x≠x1的一切实数所有实数x1<x<x2无解无解课堂小结