第22章相似形22.1比例线段第3课时比例的性质与黄金分割\n1.理解并掌握比例的基本性质和等比性质；（重点）2.能运用比例的性质进行相关计算，能通过比例变形解决一些实际问题.（难点）3.知道并理解黄金分割的定义，熟记黄金比，能对黄金分割进行简单运用．（重点、难点）学习目标\n导入新课观察与思考如图的(1)和(2)都是故宫太和殿的照片，(2)是由(1)缩小得到的.（1）（2）PQP′Q′在照片(1)中任意取四个点P，Q，A,B在照片(2)找出对应的两个点P′，Q′，A′,B′量出线段PQ，P′Q′，AB，A′B′的长度.计算它们的长度的比值.AA'B'B\n讲授新课☆比例的基本性质合作探究问题1：如果四个数a,b,c,d成比例，即那么ad=bc吗？反过来如果ad=bc,那么a,b,c,d四个数成比例吗？\n如果四个数a,b,c,d成比例，即那么ad=bc吗？在等式两边同时乘以bd,得ad=bc由此可得到比例的基本性质：如果，那么ad=bc.\n由此可得到比例的基本性质：如果ad=bc（a,b,c,d都不等于0），那么.如果ad=bc,那么等式还成立吗？在等式中，四个数a,b,c,d可以为任意数，而在分式中，分母不能为0.\n典例精析例1：根据下列条件，求a:b的值：（1）4a=5b；（2）（2）∵，∴8a=7b，∴解：（1）∵4a=5b，∴\n例2：已知，求的值.解：解法1：由比例的基本性质，得2（a+3b）=7×2b.∴a=4b，∴=4.解法2：由，得.∴,\n，那么、各等于多少？2．已知1．已知：　线段a、b、c满足关系式且b＝4，那么ac＝______．，练一练16\n,还有什么其他性质吗？在等式两边同时加上1,得由此可得到比例的合比性质：如果，那么\n问题2：已知a,b,c,d,e,f六个数，如果（b+d+f≠0）,那么成立吗？为什么？设,则a=kb,c=kd,e=kf.所以☆等比性质\n由此可得到比例的又一性质：\n例3：在△ABC与△DEF中，已知，且△ABC的周长为18cm,求△DEF得周长.解：∵∴∴4(AB+BC+CA)=3(DE+EF+FD).即AB+BC+CA=(DE+EF+FD)，又△ABC的周长为18cm，即AB+BC+CA=18cm.∴△DEF的周长为24cm.\n例4：若a，b，c都是不等于零的数，且，求k的值.得，则k＝＝2；当a＋b＋c＝0时，则有a＋b＝－c.此时综上所述，k的值是2或－1.解：当a＋b＋c≠0时，由，\n☆黄金分割的概念一个五角星如下图所示.问题：度量C到点A、B的距离,与相等吗？ACBABC\nABC点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果,那么称线段AB被点C黄金分割.点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比称为黄金比.概念学习\n1.计算黄金比.解：由，得AC2=AB·BC.设AB=1，AC=x,则BC=1–x.∴x2=1×（1-x）.即x2+x–1=0.解方程得：x1=x2=黄金比做一做\n2.如图所示,已知线段AB按照如下方法作图:（1）经过点B作BD⊥AB,使BD=AB（2）连接AD,在AD上截取DE=DB.（3）在AB上截取AC=AE.思考：点C是线段AB的黄金分割点吗?ABDEC\n\n巴台农神庙（ParthenomTemple）FCAEBD想一想：如果把图中用虚线表示的矩形画成如图所示的矩形ABCD，以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD，那么我们可以惊奇地发现，点E是AB的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？为什么?\n点E是AB的黄金分割点（即）是黄金比矩形ABCD的宽与长的比是黄金比宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形.ABCDEF\n例5：在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比值越接近0.618越给人以美感.小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60m，她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美？解：设肚脐到脚底的距离为xm，根据题意，得，解得x=0.96.设穿上ym高的高跟鞋看起来会更美，则解得y≈0.075，而0.075m=7.5cm.故她应该穿约为7.5cm高的高跟鞋看起来会更美.\n1.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为20cm，则它的宽约为()(A)12.36cm(B)13.6cm(C)32.36cm(D)7.64cm【解析】选A.0.618×20=12.36(cm).A练一练\n2.如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割，已知AB=10cm，则AC的长约为_____cm.（结果精确到0.1cm）【解析】本题考查黄金分割的有关知识，由题意知∴AC2=(10-AC)×10，解得AC≈6.2cm.6.2\n3.如图所示，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则AC=______cm，DC=_______cm.【解析】由黄金分割定义可知，AC=BD=×AB=(40-40)cm,AD=AB-BD=(120-40)cm,所以DC=AC-AD=(80-160)cm.\n打开地图，你就会发现那些好茶产地大多位于北纬30度左右。特别是红茶中的极品“祁红”，产地在安徽的祁门，也恰好在此纬度上。这不免让人联想起许多与北纬30度有关的地方。奇石异峰，名川秀水的黄山，庐山，九寨沟等等。衔远山，吞长江的中国三大淡水湖也恰好在这黄金分割的纬度上。大自然与黄金分割\n图中主叶脉与叶柄和主叶脉的长度之和比约为0.618.\n蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比,普通树叶的宽与长之比也接近0.618;\n人与黄金分割人体肚脐不但是黄金点美化身型，有时还是医疗效果黄金点，许多民间名医在肚脐上贴药治好了某些疾病。人体最感舒适的温度是23℃(体温)，也是正常人体温(37℃)的黄金点(23=37×0.618).这说明医学与0.618有千丝万缕联系,尚待开拓研究。人体还有几个黄金点：肚脐上部分的黄金点在咽喉，肚脐以下部分的黄金点在膝盖，上肢的黄金点在肘关节.上肢与下肢长度之比均近似0.618.\n在人的面部，五官的分布越符合黄金分割，看起来就越美．BCA\n设计与黄金分割\n文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异.但这些金字塔底面的边长与高的比都接近于0.618.\n东方明珠塔，塔高468米.设计师在263米处设计了一个球体，使平直单调的塔身变得丰富多彩，非常协调、美观.\n人的俊美,体现在头部及躯干是否符合黄金分割.美神维纳斯，她身体的各个部位都暗藏比例0.618，虽然雕像残缺，却能仍让人叹服她不可言喻的美．\n1.(1)已知，那么=，=.(3)如果，那么.(2)如果那么.当堂练习\n2.已知线段AB，点P是它的黄金分割点，AP>BP，设以AP为边的正方形的面积为S1，以PB、AB为边的矩形面积为S2，则S1与S2的关系是（）A．S1>S2B．S1<S2C．S1=S2D．S1≥S2PABC\n3.已知四个数a，b，c，d成比例.（1）若a=-3，b=9，c=2，求d；（2）若a=-3，b=，c=2，求d.解：解：\n5.小明家搬进了新房，他买了一幅山水画，想挂到书房（书房高3米），请你帮他设计一下，挂在多高能给人赏心悦目的感觉？4.点C是线段AB的黄金分割点，如果AB=4，求线段AC的长度．解：AC=4×0.618=2.472或者AC=4×(1-0.618)=1.518.解：离地面的高度h=3×0.618=1.854m\n6.如图:在△ABC中，AB=AC,∠BAC=36°，BD平分∠ABC交AC于点D,求证：D是AC的黄金分割点.证明：在等腰△ABC中，顶角∠A=36°，所以∠ABC=∠C=72°，∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠DBC=36°，在△ACB和△BCD中，∠BDC=72°∵∠C=∠C，∠A=∠CBD=36°，∴△ACB∽△BCD，∴AC：BC=BC：DC；\n∵∠DBC=36°，∠C=72°，∴∠BDC=72°，∴BD=BC，∴AD=BC，∴AC：AD=AD：DC；即点D是AC的黄金分割点．∵∠A=∠ABD，∴AD=BD.\n7.如图，设AB是已知线段，在AB上作正方形ABCD；取AD的中点E，连接EB；延长DA至F，使EF=EB；以线段AF为边作正方形AFGH.点H就是AB的黄金分割点.解:设AB=1,那么在Rt△BAE中,ABCDEFGH\n比例的性质如果那么ad=bc基本性质等比性质如果ad=bc（a,b,c,d）都不等于0，那么课堂小结\n黄金分割点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果,那么称线段AB被点C黄金分割.点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比称为黄金比.课堂小结一条线段有两个黄金分割点黄金比：较长线段：原线段=定义