第13章全等三角形13.5逆命题与逆定理第3课时\n1.会叙述角平分线的性质及判定；（重点）2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题；（难点）3.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．学习目标\n在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB、BC、CA三边的距离都相等,请在三角形居住区内标出学校P的位置,P在何处？ABC问题情境\n角平分线的性质定理一如图，点P是∠AOB的角平分线OC上的任意一点，且PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，将∠AOB沿OC对折，你发现了什么？如何表达，并简述你的证明过程.对折后PD、PE能够完全重合，PD=PE.角是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？DPACBEO\n证明:∵OC平分∠AOB,P是OC上一点，∴∠DOP=∠BOP.∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴∠ODP=∠OEP=90°.在△OPD和△OPE中，∠DOP=∠EOP,∠ODP=∠OEP,OP=OP,∴△OPD≌△OPE(A.A.S.).∴PD＝PE（全等三角形的对应边相等）.下面我们来证明刚才得到的结论.DPACBEO已知:OC平分∠AOB，P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB.求证:PD=PE.\n由上面证明，我们得到角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等．几何语言描述：∵OC平分∠AOB，且PD⊥OA，PE⊥OB.∴PD=PE.应用所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离.定理的作用：证明线段相等.\n这一定理描述了角平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢？写出性质定理及其逆命题的条件和结论，你有什么发现？t条件结论性质定理逆命题一个点在角的平分线上这个点到这个角两边的距离相等一个点到角两边的距离相等这个点在这个角的平分线上想想看，这个逆命题是否是一个真命题？你能证明吗？角平分线性质定理的逆定理二\n逆命题如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上.分析：为了证明点P在∠AOB的平分线上，可以先作射线OP，然后证明Rt△PDO≌Rt△PEO，从而得到∠AOP=∠BOP.已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的角平分线上.BADOPE\n证明：作射线OP，在Rt△PDO和Rt△PEO中，（全等三角形的对应角相等）.OP=OP（公共边），PD=PE（已知），∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（H.L.）.∴∠AOP=∠BOPBADOPE∴点P在∠AOB的平分线上.\n判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.应用所具备的条件：（1）位置关系：点在角的内部；（2）数量关系：该点到角两边距离相等.定理的作用：判断点在角平分线上.应用格式：∵PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线上.DPACBEO角平分线的判定定理与性质定理互为逆定理.\n利用尺规作三角形的三条角平分线，你发现了什么？发现：三角形的三条角平分线交于一点．做一做怎样证明这个结论呢?ABCPNM\n点拨：要证明三角形的三条角平分线相交于一点，只要证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上即可.思路可表示如下：试试看，你会写出证明过程吗？AP是∠BAC的平分线BP是∠ABC的平分线PI=PHPG=PIPH=PG点P在∠BCA的平分线上ABCPFHDEIG\nABCP例如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证：点P也在∠A的平分线上.NM典例精析\n证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC,垂足分别为D、E、F.∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上（已知）,∴PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）.同理PE=PF.∴PD=PF（等量代换）.∴点P在∠A的平分线上,即点P到AB、BC、CA三边的距离相等.ABCPEDFMN\n当堂练习1.如图，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E，F，DE=DF，∠EDB=60°，则∠EBF=，BE=．60°BFABCDEF\n2.如图，△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，∠CBE=∠ABE，且AC=6cm，那么线段BE是∠ABC的，AE+DE=.CABED角平分线6cm\n3.已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上,BD=DF.求证：CF=EB.证明：∵AD平分∠CAB,DE⊥AB，∠C＝90°（已知）,∴CD＝DE(角平分线的性质).在Rt△CDF和Rt△EDB中,CD=ED（已证）,DF=DB（已知）,∴Rt△CDF≌Rt△EDB(H.L.).∴CF=EB（全等三角形的对应边相等）.CFAEDB\n角平分线的性质及判定性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.课堂小结