第14章勾股定理14.1勾股定理第3课时\n情境引入学习目标1.了解反证法的证明步骤，体会反证法证明问题的思想，并能够运用反证法来证明一些问题.(重点)2.理解并体会反证法的思想内涵.（难点）3.通过反证法的学习，培养辩证唯物主义观念.\n如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,（a≤b≤c）有关系a2+b2=c2时，这个三角形一定是直角三角形吗？cabACB解析：由a2+b2＝c2，根据勾股定理的逆定理可知∠C=90°，这个三角形一定是直角三角形.复习引入\n反证法若将上面的条件改为“在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b（a≤b≤c），a2+b2≠c2”，请问这个三角形是否一定不是直角三角形呢？请说明理由.cabACB探究：（1）假设它是一个直角三角形；（2）由勾股定理，一定有a2+b2＝c2，与已知条件a2+b2≠c2矛盾；（3）因此假设不成立，即它不是一个直角三角形.问题探究\n这种证明方法与前面的证明方法不同，其步骤为：(1)先假设结论的反面是正确的；(2)然后通过逻辑推理，得出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾；(3)从而说明假设不成立，进而得出原结论正确.探究发现像这样的证明方法叫“反证法”.\n例1写出下列各结论的反面：（1）a∥b；（2）a≥0；（3）b是正数；（4）a⊥b.a<0b是0或负数a不垂直于ba不平行于b典例精析\n例2在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B≠∠C.ABC证明：假设，则（　　　　　）这与矛盾．假设不成立．∴．∠B＝∠CAB＝AC等角对等边已知AB≠AC∠B≠∠C小结：反证法的步骤：假设结论的反面成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确\n证明：假设a与b不止一个交点，不妨假设有两个交点A和A',因为两点确定一条直线，即经过点A和A'的直线有且只有一条，这与已知两条直线矛盾,假设不成立.所以两条直线相交只有一个交点.小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的基本事实、定理矛盾.例3求证：两条直线相交只有一个交点.已知：如图，两条相交直线a，b.求证：a与b只有一个交点.abA●A'●分析：想从已知条件“两条相交直线a，b”出发，经过推理，得出结论“a，b只有一个交点”是很困难的，因此可以考虑用反证法.\n例4求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.已知：△ABC.求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.证明：假设，即，∴，这与矛盾．假设不成立．∴．△ABC中没有一个内角小于或等于60°∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°三角形的内角和为180°△ABC中至少有一个内角小于或等于60°点拨：至少的反面是没有！∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°\n1.试说出下列命题的反面：（1）a是实数;（2）a大于2;（3）a小于2;（4）至少有2个;（5）最多有一个;（6）两条直线平行;2.用反证法证明“若a2≠b2,则a≠b”的第一步是.3.用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步.a不是实数a小于或等于２a大于或等于２没有两个一个也没有两直线相交假设a=b假设这个三角形是等腰三角形当堂练习\n4.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是（）A.有两个内角是直角B.有三个内角是直角C.至少有两个内角是直角D.没有一个内角是直角5.否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为（）A.a，b，c都是奇数B.a，b，c都是偶数C.a，b，c中至少有两个偶数D.a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数CD\n6.已知：a是整数，2能整除a2.求证：2能整除a.证明：假设命题的结论不成立，即“2不能整除a”，因为a是整数，故a是奇数.不妨设a=2n+1(n是整数)，∴a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=2(2n2+2n)+1，∴a2是奇数，则2不能整除a2，这与已知矛盾.∴假设不成立，故2能整除a.\n原词语否定词原词语否定词等于任意的是至少有一个都是至多有一个大于至少有n个小于至多有n个对所有x成立对任何x不成立7.准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的关键词的否定形式.不是不都是不大于不小于一个也没有至少有两个至多有（n-1)个至少有（n+1)个存在某个x不成立存在某个x成立不等于某个\n反证法概念课堂小结反证法证明的思路：假设命题不成立→正确的推理,得出矛盾→肯定待定命题的结论.证明步骤