第12章一次函数12.2一次函数第1课时正比例函数的图象和性质\n情境引入1.理解正比例函数的概念，能在用描点法画正比例函数图象过程中发现正比例函数图象性质;2.能用正比例函数图象的性质简便地画出正比例函数图象;3.能够利用正比例函数解决简单的数学问题.学习目标\n1.函数有哪些表示方法?图象法、列表法、关系式法三种方法可以相互转化它们之间有什么关系?2.你能将关系式法转化成图象法吗?什么是函数的图象?知识回顾导入新课\n讲授新课☆一次函数与正比例函数在现实生活当中有许多问题都可以归结为函数问题,大家能不能举一些例子?\ny=3+0.5x情景一：某弹簧的自然长度为3cm，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm.你能写出x与y之间的关系吗？情景二：某辆汽车油箱中原有油100L,汽车每行驶50km耗油9L.设汽车行使路程x(km),油箱剩余油量y(L),你能写出x与y的关系吗?y=100－0.18x\n情景三：每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随练习本的本数n的变化而变化．写出函数解析式.情景四：冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃，物体问题T（单位：℃）随冷冻时间t（单位：min）的变化而变化．写出函数解析式.h=0.5nT=-2t\n上面的四个函数关系式:(1)y=3+0.5x;(2)y=100－0.18x.(3)h=0.5n；(4)T=-2t.若两个变量x、y之间的关系可以表示成y=kx+b(b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）.当b=0时，称y是x的正比例函数.一次函数：大家讨论一下,这几个函数关系式有什么关系?\n下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？(1)y＝－x－4;(2)y＝5x2－6；(3)y＝2πx;(6)y＝8x2＋x(1－8x)解：(1)是一次函数，不是正比例函数；(2)不是一次函数，也不是正比例函数；(3)是一次函数，也是正比例函数；(4)是一次函数，也是正比例函数；(5)不是一次函数，也不是正比例函数；(6)是一次函数，也是正比例函数．练一练\n方法总结1.判断一个函数是一次函数的条件：自变量是一次整式，一次项系数不为零；2.判断一个函数是正比例函数的条件：自变量是一次整式，一次项系数不为零，常数项为零．\n例1：已知函数y＝(m－5)xm2－24＋m＋1.(1)若它是一次函数，求m的值；(2)若它是正比例函数，求m的值．解：(1)因为y＝(m－5)xm2－24＋m＋1是一次函数，所以m2－24＝1且m－5≠0，所以m＝±5且m≠5，所以m＝－5.所以，当m＝－5时，函数y＝(m－5)xm2－24＋m＋1是一次函数．\n(2)若它是正比例函数，求m的值．解：(2)因为y＝(m－5)xm2－24＋m＋1是一次函数，所以m2－24＝1且m－5≠0且m＋1＝0.所以m＝±5且m≠5且m＝－1，则这样的m不存在，所以函数y＝(m－5)xm2－24＋m＋1不可能为正比例函数．【总结】函数是一次函数，则k≠0，且自变量的次数为1.当b＝0时，一次函数为正比例函数．\n例2：画出下面正比例函数y=2x的图象.解：xy100-12-2…………24-2-4关系式法列表法①列表☆正比例函数的图象的画法\ny=2x②描点以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点③连线\n画函数图象的一般步骤：①列表②描点③连线根据这个步骤画出函数y=-3x的图象要点归纳\n这两个函数图象有什么共同特征？y1245-1-2-3-4-5-1-2-3-41430y=-3x32x125-1-2-3-4-5-1-2-3-41430-32xy=2x\n归纳总结y=kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线y=kx(k≠0)经过的象限k＞0第一、三象限k＜0第二、四象限怎样画正比例函数的图象最简单？为什么？由于两点确定一条直线，画正比例函数图象时我们只需描点(0，0)和点(1，k)，连线即可.两点作图法\nO用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：（1）y=-3x；（2）x01y=-3x0-30y=-3x画一画\n例3：已知正比例函数y=(m+1)xm2，它的图象经过第几象限？m+1=2>0该函数是正比例函数m2=1{∴根据正比例函数的性质，k>0可得该图象经过一、三象限.解：\n（1）若函数图象经过第一、三象限，则k的取值范围是________.变式1：已知正比例函数y=(k+1)x.k＞-1（2）若函数图象经过点（2，4），则k_____.解析：因为函数图象经过第一、三象限，所以k+1>0，解得k>-1.解析：将坐标（2，4）带入函数表达式中，得4=(k+1)·2，解得k=1.=1\n变式2：当x＞0时，y与x的函数解析式为y=2x，当x≤0时，y与x的函数解析为y=－2x，则在同一直角坐标系中的图象大致为()C\n☆正比例函数图象的性质画一画：在同一直角坐标系内画出正比例函数y=x,y=3x,y=-x和y=-4x的图象.这四个函数中,随着x的增大,y的值分别如何变化?\n当k＞0时,x增大时,y的值也增大；当k＜0时,x增大时,y的值反而减小.xy024y=2x1224y随x的增大而增大y随x的增大而减小y=x32-3-6xy0想一想：下列函数中,随着x的增大,y的值分别如何变化?\n在正比例函数y=kx中，当k>0时，y的值随着x值的增大而增大;当k<0时，y的值随着x值的增大而减小.总结归纳\n练一练1.已知正比例函数y=kx(k>0)的图象上有两点（x1，y1），（x2，y2），若x1<x2，则y1y2.<2.正比例函数y=k1x和y=k2x的图象如图，则k1和k2的大小关系是（）Ak1>k2Bk1=k2Ck1<k2D不能确定y=k1xy=k2xxyoA\n例4：已知正比例函数y=mx的图象经过点（m，4），且y的值随着x值的增大而减小，求m的值.解：因为正比例函数y=mx的图象经过点（m，4）,所以4=m·m，解得m=±2.又y的值随着x值的增大而减小，所以m<0，故m=－2.\n（1）正比例函数y=x和y=3x中，随着x值的增大y的值都增加了，其中哪一个增加得更快？你能说明其中的道理吗？（2）正比例函数y=-x和y=-4x中，随着x值的增大y的值都减小了，其中哪一个减小得更快？你是如何判断的？|k|越大，直线越陡，直线越靠近y轴.议一议\n1.下列图象哪个可能是函数y=-x的图象（）当堂练习B2.对于正比例函数y=（k-2）x，当x增大时，y随x的增大而增大，则k的取值范围（）A．k＜2B．k≤2C．k＞2D．k≥2C\n3.函数y=-7x的图象经过第_________象限，经过点_______与点，y随x的增大而_______.二、四（0，0）（1,-7）减小4.已知正比例函数y=(2m+4)x.（1）当m，函数图象经过第一、三象限；（2）当m，y随x的增大而减小；（3）当m，函数图象经过点（2，10）.＞-2<-2=0.5\n5.如图分别是函数y=k1x，y=k2x，y=k3x，y=k4x的图象.（1）k1k2，k3k4(填“>”或“<”或“=”)；（2）用不等号将k1，k2，k3，k4及0依次连接起来．＜解：k1＜k2＜0＜k3＜k442-2-44xyOy=k4x-4-22y=k3xy=k2xy=k1x＜\n6.已知函数y=(m-1)x+1-m2（2）当m为何值时，这个函数是正比例函数?（1）当m为何值时，这个函数是一次函数?解：（1）由题意可得m-1≠0，解得m≠1.（2）由题意可得m-1≠0，1-m2=0，解得m=-1.即m≠1时，这个函数是一次函数.即m=-1时，这个函数是正比例函数.\n7.已知某种小汽车的耗油量是每100km耗油15L．所使用的汽油为5元/L．（1）写出汽车行驶途中所耗油费y（元）与行程x（km）之间的函数关系式.（2）在平面直角坐标系内描出大致的函数图象.（3）计算该汽车行驶220km所需油费是多少.\ny/元x/km1234567654321O（1）y=5×15x/100，即.（2）x04y03列表（3）当x=220时，答：该汽车行驶220km所需油费是165元．描点连线（元）.解：\n课堂小结正比例函数的图象和性质正比例函数:y=kx(k≠0）图象：经过原点的直线.一次函数:y=kx+b(k、b为常数，且k≠0）当k>0时，y的值随着x值的增大而增大;当k<0时，y的值随着x值的增大而减小.