13.2命题与证明第3课时三角形内角和定理的证明及推论1、2\n1.掌握“三角形内角和定理”的证明及其简单应用，理解和掌握三角形内角和定理的推论1和推论2;（重点、难点）2.了解辅助线的概念，理解辅助线在解题过程中的用处;（难点）3.经历思考、操作、推理等学习活动，培养学生的推理能力和表达能力．（难点）学习目标\n我的形状最小，那我的内角和最小.我的形状最大，那我的内角和最大.不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的.一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧.导入新课情境引入\n三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.你能用数学的方法说明这个结论吗？还有其他的拼接方法吗？讲授新课☆三角形的内角和的证明活动：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.\n三角形三个内角的和等于180°.求证：∠A+∠B+∠C=180°.已知：△ABC.证法1：过点A作l∥BC，∴∠B=∠1.(两直线平行,内错角相等)∠C=∠2.(两直线平行,内错角相等)∵∠2+∠1+∠BAC=180°，∴∠B+∠C+∠BAC=180°.12\n证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA，∴∠A=∠1.(两直线平行，内错角相等)∠B=∠2.(两直线平行，同位角相等)又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，∴∠A+∠B+∠ACB=180°.CBAED12\nCBAEDF证法3：过D作DE∥AC,作DF∥AB.∴∠C=∠EDB,∠B=∠FDC.(两直线平行，同位角相等)∠A+∠AED=180°,∠AED+∠EDF=180°，(两直线平行，同旁内角相补)∴∠A=∠EDF.∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，∴∠A+∠B+∠C=180°.想一想：同学们还有其他的方法吗？\n思考：多种方法证明的核心是什么？借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.CAB12345lACB12345lP6mABCDE\n知识要点在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.思路总结为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.作辅助线\nC24AB3EQDFPGH1BGC24A3EDFH1试一试：同学们按照上图中的辅助线，给出证明步骤？\n例1如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.ABCD解：由∠BAC=40°,AD是△ABC的角平分线，得∠BAD=∠BAC=20°.在△ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-75°-20°=85°.☆三角形的内角和定理的运用\n【变式题】如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数．解：∵∠A＝50°，∠B＝70°，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°.∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD＝∠ACB＝30°.∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠BCD＝30°，在△BDC中，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD=80°.\n例2如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.又∵∠CFD＝∠AFE，∴∠CFD＝60°.∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°.\n基本图形由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D.由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4.总结归纳4\n☆三角形内角和定理的推论1、2问题1：在△ABC中，∠C=900，求:∠A+∠B的度数？由此你能得到什么结论？问题2：在△ABC中，∠A+∠B=900，则∠C度数为多少？由此你能得到什么结论？在△ABC中，∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.在△ABC中,∵∠A+∠B+∠C=180°,∠A＋∠B＝90°,∴∠C＝90°.\n直角三角形的两锐角互余.三角形内角和推论1：三角形内角和推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形.像这样，由基本事实、定理直接得出的真命题叫做推论.要点归纳\n在ABC中，（1）∠C=90°，∠A=30°，则∠B=；（2）∠A=50°，∠B=∠C，则∠B=；（3）∠A—∠C=25°，∠B—∠A=10°，则∠B=；（4）∠A+∠B=90°，则△ABC是三角形；练一练60°65°75°直角\n1.如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则∠1与∠B的关系是（）A.互余B.互补C.相等D.不确定2.如图，AB∥CD,AD、BC交于点O，∠A=42°，∠C=58°，则∠AOB=（）A.42°B.58°C.80°D.100°ABCD1CABCDOC当堂练习\n3.如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，若∠BOC=120°，则∠A=_______.ABCO60°\n求证：AB∥CD．证明：∵AD∥BC，∴∠1＝________()．又∵∠BAD＝∠BCD，∴∠BAD－∠1＝∠BCD－∠2，即∠3＝∠4,∴AB∥________()．4.已知：如图，AD∥BC，∠BAD＝∠BCD．∠2内错角相等，两直线平行CD两直线平行，内错角相等ABCD4213\n解：∵DE∥BC且∠C=70°，∴∠AED=∠C=70°(两直线平行,同位角相等).∵在△ADE中∠A=60°，∴∠A+∠ADE+∠AED=180°(三角形内角和定理)，∴∠ADE=180°－60°－70°＝50°.DCBAE5.如图，在△ABC中，DE∥BC,∠A=60°,∠C=70°.求∠ADE的度数.\n6.如图∠C=∠D=90°，AD,BC相交于点E，∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？AEDCB解：∠CAE=∠DBE.理由如下：在Rt△CAE中，∠CAE+∠CEA=90°在Rt△DBE中，∠DBE+∠DEB=90°∵∠CEA=∠DEB∴∠CAE=∠DBE（直角三角形两锐角互余）.（对顶角相等），（等角的余角相等）.\n三角形内角和定理的证明及推论1、2课堂小结三角形内角和定理的证明推论1：直角三角形的两锐角互余.推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形.