第15章轴对称图形与等腰三角形小结与复习\n把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线叫做对称轴.把一个图形沿一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么这两个图关于这条直线成轴对称.这条直线叫做对称轴.1.轴对称图形：2.轴对称：要点梳理一、轴对称图形与轴对称\n3.轴对称图形和轴对称的区别与联系轴对称图形轴对称区别联系图形(1)轴对称图形是指()具有特殊形状的图形,只对()图形而言;(2)对称轴()只有一条(1)轴对称是指()图形的位置关系,必须涉及()图形;(2)只有()对称轴.如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分,那么这两个图形就关于这条直线成轴对称.如果把两个成轴对称的图形拼在一起看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形.一个一个不一定两个两个一条\n4.轴对称的性质：①如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线；②如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.\n1.线段中垂线的性质定理：线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等.2.逆定理：到线段两端点的距离相等的点在线段的中垂线上.二、线段的中垂线\n1.性质①：等腰三角形的两个底角相等.（等边对等角）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°.2.性质②：等腰三角形的顶角的平分线垂直平分底边.（三线合一）.推论：三、等腰（边）三角形\n3.等腰（边）三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）.三个角都相等的三角形是等边三角形.有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.判定定理：推论①：推论②：定理\n1.性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.2.判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线.四、角平分线的性质与判定\n考点一轴对称图形与轴对称例1如图所示，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，△A″B″C″和△A′B′C′关于直线EF对称.(1)画直线EF;(2)直线MN与EF相交于点O，试探究∠BOB′与直线MN，EF所夹锐角α的数量关系.ABCA′B′C′A″B″C″MN考点讲练【分析】连接△A′B′C′和△A″B″C″中的任意一对对应点，作所得线段的垂直平分线即为直线EF，根据轴对称的性质可求角的数量关系.\nABCA′B′C′A″B″C″解：（1）如图所示，连接B′B″,作线段B′B″的垂直平分线EF,则直线EF是△A′B′C′和△A″B″C″的对称轴；（2）连接B″O,B′O,BO,∵△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，∴∠BOM=∠B′OM.∵△A″B″C″和△A′B′C′关于直线EF对称，∴∠B′OE=∠B″OE.∴∠B′OB″=2(∠B′OM+∠B′OE)=2α.EFOMN\n轴对称和轴对称图形的概念是本章的重点，通过观察日常生活中的轴对称现象，理解轴对称图形和轴对称的概念的区别与联系；学习轴对称变换，不但要会画一个图形关于某直线的对称图形，还要会通过简单的图案设计确定最短路线等.方法总结\n1.下面的图形是轴对称图形吗?如果是,你能指出它的对称轴吗?针对训练\n2.如图所示，作出△ABC关于直线x=1的对称图形．xyOx=1ABCA′B′C′解：△A′B′C′就是所求作的图形.\n解：∵AD是BC的垂直平分线，∴AB=AC，BD=CD.∵点C在AE的垂直平分线上，∴AC=CE,∴AB=AC=CE,∴AB+BD=DE.例2如图，AD是BC的垂直平分线，点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？ABCDE考点二线段的垂直平分线【分析】运用线段的垂直平分线的性质进行线段之间的转化即可.\n3.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC=5厘米，△ABD的周长等于13厘米，则△ABC的周长是.ABDEC18厘米常常运用线段的垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”进行线段之间的转换来求线段之间的关系及周长的和差等,有时候与等腰三角形的”三线合一”结合起来考查.方法总结针对训练\n4.下列说法：①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB；②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB；③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB．其中正确的有（填序号）.①②③\n考点三等腰（等边）三角形的性质与判定例3如图所示，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D.求证：∠BAC=2∠DBC.ABCD))12E【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质，可作顶角∠BAC的平分线，来获取角的数量关系.\nABCD))12E证明：作∠BAC的平分线AE,交BC于点E,如图所示，则∵AB=AC,∴AE⊥BC.∴∠2+∠ACB=90°.∵BD⊥AC,∴∠DBC+∠ACB=90°.∴∠2=∠DBC.∴∠BAC=2∠DBC.\n等腰三角形的性质与判定是本章的重点之一，它们是证明线段相等和角相等的重要依据，等腰三角形的特殊情形—等边三角形的性质与判定应用也很广泛，有一个角是30°的直角三角形的性质是证明线段之间的倍分关系的重要手段.方法总结\n5.如图，在△ABC中，AB=AC时，(1)∵AD⊥BC，∴∠____=∠_____;____=____.(2)∵AD是中线，∴____⊥____;∠_____=∠_____.(3)∵AD是角平分线，∴____⊥____;_____=____.BACDBADCADBDCDADBCBADCADADBCBDCD针对训练\n例4如图，在△ABC中，AD是角平分线，且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC.垂足分别为E,F.求证：EB=FC.ABCDEF【分析】先利用角平分线的性质定理得到DE=DF，再利用“HL”证明Rt△BDE≌Rt△CDF.考点四角平分线的性质与判定\nABCDEF证明：∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥AC，∴DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°.在Rt△BDE和Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC.\n7.△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是.ABCD3E6.如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F，DE=DF，∠EDB=60°，则∠EBF=度，BE=.60BFEBDFACG针对训练\n8.如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．解：AD平分∠BAC．理由如下：∵D到PE的距离与到PF的距离相等，∴点D在∠EPF的平分线上．∴∠1＝∠2．又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．同理，∠2＝∠4．∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．ABCEFD((((3412P\n线段的垂直平分线轴对称角平分线等腰三角形轴对称图形线段角性质及判定课堂小结\n等腰三角形等腰三角形的判定：等角对等边.等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.