第2章三角形2.1三角形第2课时\n1.了解三角形的高、角平分线与中线的概念，会用工具准确画出三角形的高、角平分线与中线;（重点）2.学会用数学知识解决实际问题，发展应用和自主探究意识，并培养学生的动手实践能力.（难点）学习目标\n复习回顾导入新课定义图示垂线线段中点角平分线OBAAB当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线把一条线段分成两条相等的线段的点一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线\n你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗?012345012345678910012345678910012345678910012345012345放、靠、过、012345678910012345012345012345678910012345012345画.思考：过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗?复习导入导入新课\n讲授新课问题1什么是三角形的高？怎样画三角形的高？定义如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高.问题2由三角形的高你能得到什么结论？∠ADB=∠ADC=90°ABCD垂足注意:标明垂直的记号和垂足的字母.三角形的高\n高的叙述方法（如图）：有三种.②AD⊥BC,垂足为D.③点D在BC上，且∠BDA=∠CDA=90°.①AD是△ABC的高.ABCD\n思考：你还能画出一条高来吗？一个三角形有三个顶点，应该有三条高.\n锐角三角形的三条高问题1:每人画一个锐角三角形.(1)你能画出这个三角形的三条高吗?(2)这三条高之间有怎样的位置关系？O问题2:锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?ABCDEF锐角三角形的三条高交于同一点.锐角三角形的三条高都在三角形的内部.探究交流\n直角三角形的三条高问题：在纸上画出一个直角三角形.ABC(1)画出直角三角形的三条高.直角边BC边上的高是______;AB直角边AB边上的高是;CB(2)它们有怎样的位置关系？D斜边AC边上的高是_______.BD●直角三角形的三条高交于直角顶点.\n钝角三角形的三条高(1)你能画出钝角三角形的三条高吗？ABCDEF(2)AC边上的高呢？AB边上呢？BC边上呢？BFCEAD\nABCDF(3)钝角三角形的三条高交于一点吗？(4)它们所在的直线交于一点吗？OE钝角三角形的三条高不相交于一点；钝角三角形的三条高所在直线交于一点.\n例1作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是()典例精析方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上．D\n例2如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，则BP的最小值为____．方法总结：可利用面积相等作桥梁(但不求面积)求三角形的高，此解题方法通常称为“面积法”．\n问题1如图，若OC是∠AOB的平分线，你能得到什么结论？ACBO∠AOC=∠BOC问题2你能用同样的方法画出任意一个三角形的一个内角的平分线吗?ABCD想一想：三角形的角平分线与角的角平分线相同吗?相同点是：∠BAD=∠CAD;不同点是：前者是线段，后者是射线.三角形的角平分线\nBAC用量角器画最简便，用圆规也能.在一张纸上画出一个一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合.折痕AD即为三角形的∠A的平分线.ABCAD\n问题4：请画出这个三角形的另外两条角平分线,你发现了什么？三角形的三条角平分线交于一点．ABCDEF问题3：一个三角形有几条角平分线？3称之为三角形的内心．\n观察下面三种三角形的三条角平分线，你又有什么发现？三角形的三条角平分线交于同一点.\n例3：如图，DC平分∠ACB，DE∥BC,∠AED=80°，求∠ECD的度数.解：∵DC平分∠ACB,又DE∥BC,∴∠AED=∠ACB=80°.∴∠ECD=40°.∴∠ECD=∠BCD=∠ACB.\n问题1如图，如果点C是线段AB的中点，你能得到什么结论？ACBAC=BC=AB三角形的中线\n问题2如图，如果点D是线段BC的中点，那么线段AD就称为△ABC的中线．类比三角形的高的概念，试说明什么叫三角形的中线？ABC定义：如图，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线.想一想：由三角形的中线能得到什么结论？BD=CD=BCD\n画一画：如图，分别画出下列三角形的三条中线，并观察它们中线的交点有什么规律？画图发现三角形的三条中线相交于一点.我们称为三角形的重心.ABCABCABCDEFDDEFEFOOO\n问题3如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高．试判断△ABD和△ACD的面积有什么关系？为什么？BCDEA答：相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等.问题4通过问题3你能发现什么规律？答：三角形的中线能将三角形的面积平分.\n例4如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高.（1）图中共有几个三角形？请分别列举出来;解:（1）图中有6个三角形，它们分别是：△ABD，△ADE，△AEC，△ABE，△ADC，△ABC;\n（2）其中哪些三角形的面积相等？解:因为AD是△ABC的中线，所以BD=DC.因为AE是△ABC的高，也是△ABD和△ADC的高，所以S△ABD=S△ADC.又S△ABD=BD•AE，S△ADC=DC•AE，总结：三角形的中线把三角形分成面相等的两个部分.\n如图,在△ABC中,∠1=∠2,G为AD中点,延长BG交AC于E,F为AB上一点,CF⊥AD于H,判断下列说法的正误.⌒⌒ABCDE12FGH①AD是△ABE的角平分线()②BE是△ABD边AD上的中线()③BE是△ABC边AC上的中线()④CH是△ACD边AD上的高()×××√练一练\n例5如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABC的周长为35cm，BC=11cm，且△ABD与△ACD的周长差为3cm，求AB与AC的长.ACDB解:∵AD是△ABC的中线，∴CD=BD.∵△ABC的周长为35cm，BC=11cm，∴AC+AB=35-11=24（cm）.又∵△ABD与△ACD的周长差为3cm,∴AB-AC=3cm，∴AB=13.5cm,AC=10.5cm.有关三角形的高、角平分线、中线的计算\n例5：如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，S△ABC＝12，求S△ADF－S△BEF的值.∵S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF)＝S△ADF－S△BEF，即S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2.解：∵点D是AC的中点，∴AD＝AC.∵S△ABC＝12，∴S△ABD＝S△ABC＝×12＝6.∵EC＝2BE，S△ABC＝12，∴S△ABE＝S△ABC＝4.\n三角形的重要线段概念图形表示法三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段∵AD是△ABC的高线.∴AD⊥BC∠ADB=∠ADC=90°.三角形的中线三角形中,连结一个顶点和它对边中的线段∵AD是△ABC的BC上的中线.∴BD=CD=½BC.三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段∵.AD是△ABC的∠BAC的平分线∴∠1=∠2=½∠BAC知识归纳\n当堂练习1．下列说法正确的是（　　）A．三角形三条高都在三角形内B．三角形三条中线相交于一点C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可能在三角形外D．三角形的角平分线是射线B\n2．在△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在以下等式中：①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE；③BD=DC；④AE=EC．其中正确的是（　　）A．①②B．③④C．①④D．②③D\n3.如图，△ABC中∠C=90°，CD⊥AB，图中线段中可以作为△ABC的高的有（　　）A．2条B．3条C．4条D．5条4.下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC的BC边上的高()ADCBABCDABCDABCDABCDBD\n5.填空：（1）如图①，AD,BE,CF是△ABC的三条中线，则AB=2＿＿,BD=＿＿，AE=＿＿(2)如图②，AD,BE,CF是△ABC的三条角平分线，则∠1=＿＿，∠3=_________，∠ACB=2______.图①图②AFDC∠22∠4AC∠ABC\n6.如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，S△AEC=3cm2，则S△ABC=______.12\n7.在ΔABC中,CD是中线,已知BC－AC=5cm,ΔDBC的周长为25cm,求ΔADC的周长.ADBC解：∵CD是△ABC的中线，∴BD＝AD，∴△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝25cm，则BD+CD＝25－BC.∴△ADC的周长＝AD＋CD＋AC＝BD＋CD＋AC＝25-BC＋AC＝25－(BC－AC)＝25－5＝20cm.\n能力提升：王大爷有一块三角形的菜地,现在要将它们平均分给四个儿子,在菜地的一角A处有一口池塘,为了使分开后的四块菜地都就近取水,王大爷为此很伤脑筋.你能想出什么办法帮帮王大爷吗？如果不考虑水源,你认为还可以怎样分?A（思路提示：想到三角形的中线能把三角形分成面积相等的两部分.）\n课堂小结三角形重要线段高中线会把原三角形面积平分一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差角平分线