4.7一元二次方程的应用（2）\n学习目标1.掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题.(重点）2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型.（难点）\n导入新课问题引入小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是80分，第二次月考增长了10%，第三次月考又增长了10%，问他第三次数学成绩是多少？\n填空：假设某种糖的成本为每斤2元，售价为3元时，可卖100斤.(1)此时的利润w=_____;(2)若售价涨了1元，每斤利润为_____元，同时少买了10斤，销售量为_____斤，利润w=____(3)若售价涨了2元，每斤利润为_____元，同时少买了20斤，销售量为____斤，利润w=_____100元290180元380240元讲授新课合作探究平均变化率问题与一元二次方程\n(4)若售价涨了3元，每斤利润为____元，同时少买了30斤，销售量为____斤，利润w=______(5)若售价涨了4元，每斤利润为____元，同时少买了40斤，销售量为____斤，利润w=_______(6)若售价涨了x元，每斤利润为____元，同时少买了____斤，销售量为_______斤，利润w=__________________451+x7060100-10x10x280元300元(1+x)×(100-10x)元\n涨价售价成本单件利润少卖量销售量总利润3+x3-2+x10x100-10xw=(3-2+x)×(100-10x)试一试：假设某种糖的成本每斤为2元，售价为3元时，可卖100斤.每涨1元，少卖10斤.设利润为x元，则总利润w为多少元（用含有x的式子表示出来）？01234x22222233+13+23+33+403-23-2+13-2+23-2+33-2+410×410×310×210×1100100-10×1100-10×2100-10×3100-10×4w=(3-2)×100w=(3-2+1)×(100-10×1)w=(3-2+3)×(100-10×3)w=(3-2+4)×(100-10×4)w=(3-2+2)×(100-10×2）每涨一元少卖十斤\n涨价售价成本单件利润少卖量销售量总利润3+x3-2+x10x100-10xw=(3-2+x)×(100-10x)01234x22222233+13+23+33+403-23-2+13-2+23-2+33-2+410×410×310×210×1100100-10×1100-10×2100-10×3100-10×4w=(3-2)×100w=(3-2+1)×(100-10×1)w=(3-2+3)×(100-10×3)w=(3-2+4)×(100-10×4)w=(3-2+2)×(100-10×2）每涨一元少卖十斤总利润（售价-进价）×销售量=总利润单件利润×销售量=\n填空：1.前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，去年生产1吨甲种药品的成本是4650元，则下降率是.如果保持这个下降率，则现在生产1吨甲种药品的成本是元.探究归纳7%4324.5下降率=下降前的量-下降后的量下降前的量\n2.前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，设下降率是x,则去年生产1吨甲种药品的成本是元，如果保持这个下降率，则现在生产1吨甲种药品的成本是元.下降率x第一次降低前的量5000(1-x)第一次降低后的量5000下降率x第二次降低后的量第二次降低前的量5000(1-x)(1-x)5000(1-x)25000(1-x)5000(1-x)2\n例1前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，试求甲种药品成本的年平均下降率是多少？解：设甲种药品的年平均下降率为x.根据题意，列方程，得5000(1－x)2=3000，解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775.根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5％.下降率不可为负，且不大于1.注意\n练一练：前年生产1吨乙种药品的成本是6000元.随着生产技术的进步，现在生产1吨乙种药品的成本是3600元，试求乙种药品成本的年平均下降率？解：设乙种药品的年平均下降率为y.根据题意，列方程，得6000(1－y)2=3600.解方程，得y1≈0.225，y2≈－1.775.根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5％.\n解后反思答：不能.绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000）÷2=1000元，乙种药品成本的年平均下降额为（6000-3000）÷2=1200元，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．问题1药品年平均下降额大能否说年平均下降率（百分数）就大呢？\n答：不能.能过上面的计算，甲、乙两种药品的年平均下降率相等.因此我们发现虽然绝对量相差很多，但其相对量（年平均下降率）也可能相等．问题2从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就说能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?\n问题3你能总结出有关增长率和降低率的有关数量关系吗？类似地这种增长率的问题在实际生活中普遍存在,有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+”,降低取“－”).\n变式1：某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到0.1%）解：设原价为1个单位，每次降价的百分率为x.根据题意，得解这个方程，得答：每次降价的百分率为29.3%.\n变式2:某药品两次升价，零售价升为原来的1.2倍，已知两次升价的百分率一样，求每次升价的百分率（精确到0.1%）解:设原价为a元，每次升价的百分率为x，根据题意，得解这个方程，得由于升价的百分率不可能是负数，所以(不合题意，舍去)答：每次升价的百分率为9.5%.\n例2某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．解：设这个增长率为x.根据题意，得答：这个增长率为50%.200+200(1+x)+200(1+x)2=950整理方程，得4x2+12x-7=0，解这个方程得x1=-3.5（舍去），x2=0.5.增长率不可为负，但可以超过1.注意\n例3：百佳超市将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品要涨价1元，其销售量就要减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？分析：设商品单价为（50+x)元,则每个商品得利润[(50+x)－40]元，因为每涨价1元，其销售会减少10，则每个涨价x元，其销售量会减少10x个，故销售量为(500－10x)个，根据每件商品的利润×件数=8000，则(500－10x)·[(50+x)－40]=8000.\n解：设每个商品涨价x元，则销售价为(50+x)元，销售量为(500－10x)个，则(500－10x)·[(50+x)－40]=8000，整理得x2－40x+300=0，解得x1=10，x2=30都符合题意.当x=10时,50+x=60，500－10x=400；当x=30时，50+x=80，500－10x=200.答：要想赚8000元，售价为60元或80元；若售价为60元，则进贷量应为400；若售价为80元，则进贷量应为200个.\n当堂练习1.某厂今年一月份的总产量为500吨,三月份的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程()A.500(1+2x)=720B.500(1+x)2=720C.500(1+x2)=720D.720(1+x)2=5002.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程为.B2（1+x)+2(1+x)2=8\n3.青山村种的水稻去年平均每公顷产7200千克，今年平均每公顷产8712千克，求水稻每公顷产量的年平均增长率.解：设水稻每公顷产量的平均增长率为x,根据题意，得系数化为1得，直接开平方得，则答：水稻每公顷产量的年平均增长率为10%.7200（1+x)2=8712（1+x)2=1.211+x=1.1,1+x=-1.1x1=0.1,x2=-1.1,\n解：设每件衬衫降价x元，根据题意得：（40-x)(20+2x)=1200整理得，x2-30x+200=0解方程得，x1=10,x2=20因为要尽快减少库存，所以x=10舍去.答：每件衬衫应降价20元.4.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？\n能力提升:菜农李伟种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.(1)求平均每次下调的百分率；解：设平均每次下调的百分率为x，由题意，得5(1－x)2=3.2，解得x1=20%，x2=1.8（舍去）∴平均每次下调的百分率为20%;\n(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元.试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由.解：小华选择方案一购买更优惠，理由如下：方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400(元)；方案二所需费用为：3.2×5000－200×5=15000(元)，∵14400＜15000，∴小华选择方案一购买更优惠.\n课堂小结平均变化率问题增长率问题a(1+x)2=b,其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量.降低率问题a(1-x)2=b,其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换.