14.3因式分解14.3.2公式法第一课时第二课时人教版数学八年级上册\n第一课时平方差公式\na米b米b米a米(a–b)如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？a2–b2=(a+b)(a–b)导入新知\n1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想．2.能综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解．素养目标\n用平方差公式进行因式分解多项式a2–b2有什么特点？你能将它分解因式吗？是a，b两数的平方差的形式))((baba–+=22ba–))((22bababa–+=–整式乘法因式分解两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.平方差公式：探究新知知识点1想一想\n√√××辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？√√★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成:()2–()2的形式.两数是平方，减号在中央．(1)x2+y2(2)x2–y2(3)–x2–y2–(x2+y2)y2–x2(4)–x2+y2(5)x2–25y2(x+5y)(x–5y)(6)m2–1(m+1)(m–1)探究新知\n例1分解因式：aabb(+)(–)a2–b2=解:(1)原式=2x32x2x33(2)原式整体思想ab素养考点1利用平方差公式分解因式的应用探究新知\n方法点拨公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.探究新知\n1.分解因式：(1)(a＋b)2–4a2；(2)9(m＋n)2–(m–n)2.＝(2m＋4n)(4m＋2n)解：(1)原式＝(a＋b–2a)(a＋b＋2a)＝(b–a)(3a＋b)；(2)原式＝(3m＋3n–m＋n)(3m＋3n＋m–n)＝4(m＋2n)(2m＋n)．若用平方差公式分解后的结果中有公因式，一定要再用提公因式法继续分解.巩固练习\n例2分解因式：解：(1)原式＝(x2)2–(y2)2＝(x2+y2)(x2–y2)分解因式后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解，直到不能分解为止.＝(x2+y2)(x+y)(x–y);(2)原式＝ab(a2–1)分解因式时，一般先用提公因式法进行分解，然后再用公式法.最后进行检查.＝ab(a+1)(a–1).素养考点2多次因式分解探究新知\n方法点拨分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．探究新知\n2.分解因式：(1)5m2a4–5m2b4；(2)a2–4b2–a–2b.＝(a＋2b)(a–2b–1).＝5m2(a2＋b2)(a＋b)(a–b)；解：(1)原式＝5m2(a4–b4)＝5m2(a2＋b2)(a2–b2)(2)原式＝(a2–4b2)–(a＋2b)＝(a＋2b)(a–2b)–(a＋2b)巩固练习\n例3已知x2–y2＝–2，x＋y＝1，求x–y，x，y的值．∴x–y＝–2②.解：∵x2–y2＝(x＋y)(x–y)＝–2，x＋y＝1①，联立①②组成二元一次方程组，解得：素养考点3利用因式分解求整式的值探究新知方法总结：在与x2–y2，x±y有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.\n3.已知x–y=2，x2–y2=8，求x+y的值.解：由题意得：(x+y)(x–y)=8，x–y=2，2(x+y)=8，x+y=4.巩固练习\n例4计算下列各题：(1)1012–992；(2)53.52×4–46.52×4.解：(1)原式＝(101＋99)(101–99)＝400；(2)原式＝4(53.52–46.52)＝4(53.5＋46.5)(53.5–46.5)＝4×100×7=2800.方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.素养考点4利用因式分解进行简便运算探究新知\n巩固练习4.用平方差公式进行简便计算:(1)38²–37²(2)213²–87²(3)229²–171²(4)91×89解：(1)38²–37²=(38+37)(38–37)=75(2)213²–87²=(213+87)(213–87)=300×126=37800(3)229²–171²=(229+171)(229–171)=400×58=23200(4)91×89=(90+1)(90–1)=90²–1=8100–1=8099\n例5求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2–(2n–1)2一定能被8整除．即多项式(2n+1)2–(2n–1)2一定能被8整除．证明：原式=(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1)=4n•2=8n，∵n为整数，∴8n被8整除，方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除．素养考点5利用因式分解进行证明探究新知\n5.若a，b，c是三角形的三边，且满足关系式a2–2bc=c2–2ab，试判断这个三角形的形状.解：∵a2–2bc=c2–2ab，∴(a2–c2)+2ab–2bc=0，(a+c)(a–c)+2b（a-c）=0，∴(a–c)(a+c+2b)=0.∵a+c+2b≠0，∴a–c=0，即a=c，∴这个三角形是等腰三角形.巩固练习分析：已知等式变形后，利用完全平方公式及平方差公式分解，得到a=c，即可确定出三角形形状.\n1.多项式4a–a3分解因式的结果是()A．a(4–a2)B．a(2–a)(2+a)C．a(a–2)(a+2)D．a(2–a)2连接中考2.若a+b=4，a–b=1，则(a+1)2–(b–1)2的值为．解析：∵a+b=4，a–b=1，∴(a+1)2–(b–1)2=(a+1+b–1)(a+1–b+1)=(a+b)(a–b+2)=4×(1+2)=12．B12巩固练习\n1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是()A．a2＋(–b)2B．5m2–20mnC．–x2–y2D．–x2＋9D2.将多项式x–x3因式分解正确的是()A．x(x2–1)B．x(1–x2)C．x(x+1)(x–1)D．x(1+x)(1–x)D3.若a+b=3，a–b=7，则b2–a2的值为()A．–21B．21C．–10D．10A课堂检测基础巩固题\n4.把下列各式分解因式：(1)16a2–9b2=_________________;(2)(a+b)2–(a–b)2=_________________;(3)因式分解：2x2–8=_________________;(4)–a4+16=_________________.(4a+3b)(4a–3b)4ab(4+a2)(2+a)(2–a)5.若将(2x)n–81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x–3)，则n的值是_____________.42(x+2)(x–2)课堂检测基础巩固题\n1.已知4m+n=40，2m–3n=5．求(m+2n)2–(3m–n)2的值．原式=–40×5=–200．解：原式=(m+2n+3m–n)(m+2n–3m+n)=(4m+n)(3n–2m)=–(4m+n)(2m–3n)，当4m+n=40，2m–3n=5时，能力提升题课堂检测\n2.如图，在边长为6.8cm正方形钢板上，挖去4个边长为1.6cm的小正方形，求剩余部分的面积．解：根据题意，得6.82–4×1.62＝6.82–(2×1.6)2＝6.82–3.22＝(6.8＋3.2)(6.8–3.2)＝10×3.6＝36(cm2)答：剩余部分的面积为36cm2.课堂检测能力提升题\n(1)992–1能否被100整除吗？解：(1)因为992–1=(99+1)(99–1)=100×98，所以，(2n+1)2–25能被4整除.(2)n为整数，(2n+1)2–25能否被4整除？所以992–1能被100整除.(2)原式=(2n+1+5)(2n+1–5)=(2n+6)(2n–4)=2(n+3)×2(n–2)=4(n+3)(n–2).拓广探索题课堂检测\n平方差公式分解因式公式a2–b2=(a+b)(a–b)步骤一提：公因式；二套：公式；三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.课堂小结\n第二课时完全平方公式\n我们知道，因式分解与整式乘法是反方向的变形，我们学习了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？导入新知\n2.能较熟练地运用完全平方公式分解因式．1.理解完全平方公式的特点．素养目标3.能综合运用提公因式、完全平方公式分解因式这两种方法进行求值和证明．\n1.因式分解：把一个多项式转化为几个整式的积的形式.2.我们已经学过哪些因式分解的方法？提公因式法平方差公式a2–b2=(a+b)(a–b)用完全平方公式分解因式知识点13.完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2探究新知回顾旧知\n你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？同学们拼出图形为：aabbabababa²b²ab探究新知\n这个大正方形的面积可以怎么求？a2+2ab+b2(a+b)2=ababa²ababb²(a+b)2a2+2ab+b2=将上面的等式倒过来看，能得到：探究新知\na2+2ab+b2a2–2ab+b2我们把a²+2ab+b²和a²–2ab+b²这样的式子叫做完全平方式.观察这两个多项式：(1)每个多项式有几项？(3)中间项和第一项，第三项有什么关系？(2)每个多项式的第一项和第三项有什么特征？三项.这两项都是数或式的平方，并且符号相同.是第一项和第三项底数的积的±2倍.探究新知\n完全平方式的特点：1.必须是三项式(或可以看成三项的)；2.有两个同号的数或式的平方；3.中间有两底数之积的±2倍.完全平方式:探究新知\n简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.2ab+b2±=(a±b)²a2首2+尾2±2×首×尾(首±尾)2两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.探究新知\n3.a²+4ab+4b²=()²+2·()·()+()²=()²2.m²–6m+9=()²–2·()·()+()²=()²1.x²+4x+4=()²+2·()·()+()²=()²x2x+2aa2ba+2b2b对照a²±2ab+b²=(a±b)²，填空：mm–33x2m3探究新知试一试\n下列各式是不是完全平方式？(1)a2–4a+4;(2)1+4a²;(3)4b2+4b–1;(4)a2+ab+b2;(5)x2+x+0.25.是只有两项；不是4b²与–1的符号不统一；不是不是是ab不是a与b的积的2倍.探究新知说一说\n例1分解因式：(1)16x2+24x+9；(2)–x2+4xy–4y2.分析：(1)中，16x2=(4x)2，9=3²，24x=2·4x·3，所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+(3)2.(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为–(x2–4xy+4y2)，然后再利用公式分解因式.素养考点1利用完全平方公式分解因式探究新知解：(1)16x2+24x+9=(4x+3)2；=(4x)2+2·4x·3+(3)2(2)–x2+4xy–4y2=–(x2–4xy+4y2)=–(x–2y)2.\n1.把下列多项式因式分解.(1)x2–12xy+36y2.(2)16a4+24a2b2+9b4.解：(1)x2–12xy+36y2=x2–2·x·6y+(6y)2=(x–6y)2.(2)16a4+24a2b2+9b4=(4a2)2+2·4a2·3b2+(3b2)2=(4a2+3b2)2.巩固练习\n(3)–2xy–x2–y2.(4)4–12(x–y)+9(x–y)2.解：(3)–2xy–x2–y2=–(x2+2xy+y2)=–(x+y)2.(4)4–12(x–y)+9(x–y)2=22–2×2×3(x–y)+［3(x–y)］2=［2–3(x–y)］2=(2–3x+3y)2.巩固练习\n例2如果x2–6x+N是一个完全平方式，那么N是()A.11B.9C.–11D.–9B解析：根据完全平方式的特征，中间项–6x=2x×(–3)，故可知N=(–3)2=9.素养考点2利用完全平方公式求字母的值探究新知\n方法点拨本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征，根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解．探究新知\n2.如果x2–mx+16是一个完全平方式，那么m的值为________.解析：∵16=(±4)2，故–m=2×(±4)，m=±8.±8巩固练习\n例3把下列各式分解因式：(1)3ax2+6axy+3ay2；(2)(a+b)2–12(a+b)+36.解:(1)原式=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2；分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解因式；(2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m，则原式化为m2–12m+36.(2)原式=(a+b)2–2·(a+b)·6+62=(a+b–6)2.素养考点3利用完全平方公式进行较复杂的因式分解探究新知\n利用公式把某些具有特殊形式(如平方差式，完全平方式等)的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.探究新知\n3.因式分解：(1)–3a2x2＋24a2x–48a2；(2)(a2＋4)2–16a2.＝(a2＋4＋4a)(a2＋4–4a)解：(1)原式＝–3a2(x2–8x＋16)＝–3a2(x–4)2；(2)原式＝(a2＋4)2–(4a)2＝(a＋2)2(a–2)2.有公因式要先提公因式.要检查每一个多项式的因式，看能否继续分解．巩固练习\n例4把下列完全平方公式分解因式：(1)1002–2×100×99+99²；(2)342＋34×32＋162.解：(1)原式=(100–99)²(2)原式＝(34＋16)2本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算.=1.＝2500.素养考点4利用完全平方公式进行简便运算探究新知\n4.计算:7652×17–2352×17.解：7652×17–2352×17=17×(7652–2352)=17×(765+235)(765–235)=17×1000×530=9010000.巩固练习\n例5已知:a2+b2+2a–4b+5=0，求2a2+4b–3的值.提示：从已知条件可以看出，a2+b2+2a–4b+5与完全平方式有很大的相似性(颜色相同的项)，因此可通过“凑”成完全平方式的方法，将已知条件转化成非负数之和等于0的形式，从而利用非负数的性质来求解.素养考点5利用完全平方公式和非负性求字母的值探究新知\n解：由已知可得(a2+2a+1)+(b2–4b+4)=0即(a+1)2+(b–2)2=0∴2a2+4b–3=2×(–1)2+4×2–3=7探究新知方法总结：遇到多项式的值等于0、求另一个多项式的值，常常通过变形为完全平方公式和(非负数的和)的形式，然后利用非负数性质来解答．\n5.已知x2–4x＋y2–10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值．＝112＝121.解：∵x2–4x＋y2–10y＋29＝0，∴(x–2)2＋(y–5)2＝0.∵(x–2)2≥0，(y–5)2≥0，∴x–2＝0，y–5＝0，∴x＝2，y＝5，∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0.巩固练习\n1.因式分解：a2–2ab+b2=．连接中考巩固练习2.若a+b=2，ab=–3，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为．解析：∵a+b=2，ab=–3，∴a3b+2a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2)，=ab(a+b)2，=–3×4=–12．(a–b)2–12\n1.下列四个多项式中，能因式分解的是()A．a2＋1B．a2–6a＋9C．x2＋5yD．x2–5y2.把多项式4x2y–4xy2–x3分解因式的结果是()A．4xy(x–y)–x3B．–x(x–2y)2C．x(4xy–4y2–x2)D．–x(–4xy＋4y2＋x2)3.若m＝2n＋1，则m2–4mn＋4n2的值是________．BB14.若关于x的多项式x2–8x＋m2是完全平方式，则m的值为_________．±4课堂检测基础巩固题\n5.把下列多项式因式分解.(1)x2–12x+36;(2)4(2a+b)2–4(2a+b)+1;(3)y2+2y+1–x2;(2)原式=[2(2a+b)]²–2·2(2a+b)·1+(1)²=(4a+2b–1)2;解：(1)原式=x2–2·x·6+(6)2=(x–6)2;(3)原式=(y+1)²–x²=(y+1+x)(y+1–x).课堂检测基础巩固题\n(2)原式1.计算：(1)38.92–2×38.9×48.9＋48.92.解：(1)原式＝(38.9–48.9)2＝100.能力提升题课堂检测\n2.分解因式:(1)4x2＋4x＋1；(2)小聪和小明的解答过程如下：他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来.x2–2x＋3.(2)原式＝(x2–6x＋9)＝(x–3)2解:(1)原式＝(2x)2＋2•2x•1＋1＝(2x+1)2小聪:小明:××课堂检测能力提升题\n(1)已知a–b＝3，求a(a–2b)＋b2的值；(2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．原式＝2×52＝50.解：(1)原式＝a2–2ab＋b2＝(a–b)2.当a–b＝3时，原式＝32＝9.(2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.当ab＝2，a＋b＝5时，拓广探索题课堂检测\n完全平方公式分解因式公式a2±2ab+b2=(a±b)2特点(1)要求多项式有三项.(2)其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.课堂小结