第3章一次方程与方程组小结与复习\n要点梳理一、方程的有关概念1.方程：含有未知数的等式叫做方程．2.一元一次方程的概念：只含有____个未知数，未知数的次数都是____，等式两边都是______，这样的方程叫做一元一次方程．3.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解，一元方程的解，也叫它的根．4.解方程：求方程解的过程叫做解方程．一1整式\n二、二（三）元一次方程组的有关概念1.二元一次方程的概念：含有______未知数的_____方程，叫做二元一次方程.2.二元一次方程组的概念：由两个______方程组成的含有______未知数的方程组叫做二元一次方程组.3.二元一次方程组的解：使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.两个一次一次两个\n4.三元一次方程组的概念：由三个_____方程组成的含有_______未知数的方程组叫做三元一次方程组.一次三个\n(1)等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等．如果a＝b，那么a±____＝b±c.(2)等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．如果a＝b，那么ac＝___或____＝____(c≠0)．(3)如果a=b，那么b=a.（对称性）(4)如果a=b，b=c，那么a=c.（传递性）三、等式的性质bcc\n解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母：方程两边都乘各分母的最小公倍数，别漏乘．(2)去括号：注意括号前的系数与符号．(3)移项：把含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程右边，移项注意要改变符号．(4)合并同类项：把方程化成ax＝b(a≠0)的形式．(5)系数化为1：方程两边同除以x的系数，得x＝m的形式四、一元一次方程的解法\n五、二元一次方程组的解法（1）代入法：从一个方程中求出某一个未知数的表达式，再把它“代入”另一个方程，进行求解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.（2）加减法：把方程的两边分别相加或相减消去一个未知数的方法，叫做加减消元法，简称加减法.\n六、三元一次方程组的解法消元法：通过消元，把一个较复杂的三元一次方程组转化为简单易解的阶梯形的方程组，从而通过回代得出其解，整个求解过程称为用消元法解三元一次方程组.\n1.列方程(组)的应用题的一般步骤：审：审清题意，分清题中的已知量、未知量．设：设未知数.列：根据题意寻找等量关系列方程．解：解方程（组）．验：检验方程的解是否符合题意．答：写出答案(包括单位)．[注意]审题是基础，找等量关系是关键.七、用一次方程与方程组解决实际问题\n2.常见的几种方程类型及等量关系：(1)行程问题中基本量之间的关系：①路程＝速度×时间；②相遇问题：全路程＝甲走的路程＋乙走的路程；③追及问题：甲为快者，被追路程＝甲走路程－乙走路程；④流水问题：v顺＝v静＋v水，v逆＝v静－v水．\n（2）等积变形问题中基本量之间的关系：①原料面积=成品面积；②原料体积=成品体积.（3）储蓄问题中基本量之间的关系：①本金×利率×年数=利息；②本金+利息=本息和.\n（4）销售问题中基本量之间的关系：①实际售价-进价（成本）=利润；②利润÷进价×100%=利润率；③进价×（1+利润率）=售价；标价×折扣数÷10=进价.（5）和、差、倍、分问题中基本量之间的关系：①增长率=原有量×增长率；现有量=原有量+增长量.②降低量=原有量×降低率；现有量=原有量-降低量.\n（6）百分率问题中基本量之间的关系：①浓度问题：浓度=溶质质量÷溶液质量；②增长率问题：原量×（1+增长率）=增长后的量；原量×（1-减少率）=减少后的量.\nC考点讲练考点一方程（组）的有关概念【解析】将x＝2代入方程得1＋a＝－1，得a＝－2.\n针对训练1.若(m＋3)x|m|－2＋2＝1是关于x的一元一次方程，则m的值为________．3为什么m的值不能为－3？\n例2.若(a-3)x+y|a|-2＝9是关于x,y的二元一次方程，则a的值为______．【解析】由题意，未知数x的系数为a-3,所以a-3≠0.由未知数y的次数为|a|-2,所以|a|-2=1,即a=±3.但a≠3.所以a=-3.-3\n针对训练2.若xm-yn+2=3是二元一次方程，则mn的值为________．-1\n考点二等式的基本性质【解析】选项A的变形是在等式左边减去x，等式右边减去(x＋2)是错误的；B的变形是在方程两边都除以x，是错误的；C在依据规则将系数化为1中出错；D正确．D\n针对训练B注意：a可能为0\n考点三一元一次方程的解法【解析】对于第(1)题，将方程的两边同乘以12，约去分母，然后求解；对于第(2)题，先用分配律、去括号简化方程，再求解较容易．例4解下列方程\n\n\n针对训练\n考点四二（三）元一次方程组的解法例5解下列方程组\n②解：由得，x=3+2y.③将③代入②中，3(3+2y)-8y=13解得y=-2.将y=-2代入③中，得x=-1.所以原方程组的解为\n解：原方程组可化简为由×2+②，得11x=22,解得x=2.将x=2代入中，得8-y=5，解得y=3.所以原方程组的解为②\n解：设解得所以即解得则原方程组可化为方程组中有分数形式，这类方程组可以利用设参数的方法进行消元.\n②③解：+③×4，得17x+5y=85.④③×3-②,得7x-y=35.⑤解由④⑤组成的方程组，得x=5,y=0.把x=5,y=0代入③中，得15-z=18，即z=-3.所以，原方程组的解为\n针对训练解：(1)将②代入中，得1+y+2y=10,解得y=3.将y=3代入②中，得所以，原方程的解为5.解下列方程组②\n解：(2)设则x=2k,y=3k,z=4k.将其代入方程②中，得2k+3k+4k=45.即k=5.所以，原方程组的解为②\n考点四实际问题与一次方程（组）例6.一轮船在甲、乙两码头间往返航行，已知船在静水中速度为7km/h，水流速度为2km/h，往返一次共用28h，求甲、乙两码头之间的距离．相等关系：顺水航行时间＋逆水航行时间＝往返一次共用时间．一行程问题\n解：设甲、乙两码头之间的距离是xkm，依题意得解得x=90答：甲、乙两码头之间的距离是90km\n方法总结：（1）顺水航行所用时间+逆水航行所用时间=总时间.（2）顺流速度=船在静水中的速度+水流速度.逆流速度=船在静水中的速度-水流速度.\n针对训练6.小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15千米，可早到10分钟；每小时骑12千米，就会迟到5分钟，则他家到学校的路程是多少千米？解：设他家到学校的路程是x千米，依题意得解得x=15答：他家到学校的路程是15千米.\n二等积变形问题例7.用直径90mm的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个底面积为125×125mm2，内高81mm的长方体铁盒倒满水时，玻璃杯中的水的高度下降了多少mm?(结果保留整数）相等关系：玻璃杯中倒出水的体积=长方体铁盒的体积．\n解：设玻璃杯中的水的高度下降了xmm.依题意得解得x≈199.答：玻璃杯中的水的高度下降了199mm.\n针对训练7.已知一圆柱形容器底面直径为0.5m,高为1.5m,里面盛有1m深的水，将底面直径为0.3m，高为0.5m的圆柱形铁块沉入水中，问容器内水面将升高多少？相等关系：圆柱内升高部分的体积=圆形铁块的体积．\n解：设容器内的水面将升高xm.依题意得解得x=0.18.答：容器内的水面将升高0.18m.\n例8.某农户把手头一笔钱买了年利率为2.89%的3年期国库券.如果他想3年后得到2万元，现应买这种国库券多少？三储蓄问题解：设现应购买这种国库券x元.相等关系：本息和=本金+利息=本金+本金×利率×年数．依题意得x+2.89%×3x=20000.解得x=18404.答：现应买这种国库券18404元.\n针对训练8.小红的父亲在停征利息税后存入了一种年利率为2.43%的两年储蓄，到期后，所得利息正好给小红买了一个价格为121.5元的计算器，那么小红的父亲存入了多少元钱？解：设小红的父亲存入了x元钱.相等关系：利息=本金×年利率×年数．依题意得2.43%×2x=121.5.解得x=2500.答：小红的父亲存入了2500元.\n例9.某种商品零售价每件900元，为了适应市场竞争，商店按零售价的9折降价并让利40元，仍可获利10%，则这种商品的进货每件多少元？四销售问题解：设这种商品进货每件为x元.相等关系：标价×折扣÷10-40=进价×(1+10%)依题意得(1+10%)x=900×9÷10-40.解得x=700.答：这种商品进货每件为700元.\n方法归纳：（1）售价=标价×折扣÷10.（2）售价=进价+利润=进价×（1+利润率）.\n针对训练9.一件衣服按标价的6折出售，店主可赚22元.已知这件衣服的进价是50元，问标价是多少元？解：设这件衣服的标价为x元.相等关系：标价×折扣÷10=进价+利润.依题意得.解得x=120.答：这件衣服的标价为120元.\n五比例问题例10.三个正整数的比为1:2:4，它们的和是84，那么这三个数分别是多少？解：设这三个数分别为x,2x,4x.相等关系：三数之和=84.依题意得x+2x+4x=84.解得x=12.所以，x=12,2x=24,4x=48.答：这三个数分别为12,24和48.\n方法归纳：比例问题一般采用间接设元法，通常设每一份为x.比例问题中等量关系为：各部分之和=总量.\n针对训练10.A、B、C三个公司合作一项工程，计划派出91名技术人员，按公司的投入比例3:4:6，则A、B、C三个公司分别派出的技术人员的人数各是多少？解：设A、B、C三个公司分别派出的技术人员为3x人、4x人、6x人.依题意得3x+4x+6x=91.解得x=7.所以，3x=21,4x=28,6x=42.答：A、B、C三个公司分别派出的技术人员为21人、28人、42人.\n六和、差、倍、分问题例11.旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的40%，这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1升，求油箱里原有汽油多少升？相等关系：两次所用汽油之和=剩余汽油-1.两次所用汽油之和+剩余汽油=原有汽油.\n解：设油箱中原有的汽油x升.依题意得[25%x+(1-25%)x×40%]×2-1=x.解得x=10.答：油箱中原有汽油10升.\n针对训练11.把一个减法算式里的被减数，减数与差相加，得数是592，已知减数比差的2倍还大2，问减数是多少？解：设差为x,则减数为2x+2.相等关系：被减数=减数+差.被减数+减数+差=592.依题意得(x+2x+2)×2=592.解得x=98.所以减数2x+2=198答：减数为198.\n七百分率问题例12.已知现有含盐20%与含盐8%的盐水，若需配置含盐15%的盐水300千克，求这两种盐水各需多少千克？相等关系：含盐20%的盐水质量+含盐8%的盐水质量=300.两种盐水中的含盐量之和=300×15%.\n解：配置300千克含盐15%的盐水，需含盐20%的盐水x千克，需含盐8%的盐水y千克.依题意得解方程组得答：需含盐20%的盐水175千克，需含盐8%的盐水125千克.\n针对训练12.某学校去年有学生1000人，今年比去年总的人数增加3.4%，其中寄宿生增加了6%，走读生减少了20%，问该校去年寄宿生与走读生各是多少人？解：设该校去年寄宿生x人，走读生y人.依题意得解方程组得答：该校去年寄宿生900人，走读生100人.\n八配套问题例13.用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制成盒身25个，或制盒底40个，一个盒身和两个盒底配成一套罐头盒，现有36张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底可以使盒身与盒底正好配套？相等关系：制作盒身的铁皮+制作盒底的铁皮=36.盒底的数量=2×盒身的数量.\n解：设用x张制盒身，y张制盒底，可使盒身与盒底正号配套.依题意得解方程组得答：用16张制盒身，20张制盒底，可使盒身与盒底正号配套.\n针对训练13.某工地需要派48人去挖土和运土，如果每人每天平均挖土5方或运土3方，那么应该怎样安排人员，正好能使挖的土及时运走？解：设用x人挖土，y人运土，正好使挖的土及时运走.依题意得解方程组得答：设用18人挖土，30人运土，正好使挖的土及时运走.\n课堂小结一次方程与方程组概念与性质应用一元一次方程等式的性质二元一次方程二元一次方程组方程的解性质1性质2性质3性质4解方程方程(组)的解一元一次方程一元一次方程实际问题方程(组)消元代入法加减法