浙教版八年级上册数学第二章特殊三角形单元测试卷第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列图形是轴对称图形的是(    )A.B.C.D.2.威宁草海是国家级自然保护区，享有“高原明珠”等美誉．以下四个字中，是轴对称图形的是(    )A.B.C.D.3.一个三角形中有两条边相等，则这个三角形是．(    )A.不等边三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰三角形4.若△ABC的三边a，b，c满足关系式(a−b)2+(b−c)2=0，则△ABC是 (    )A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.锐角三角形5.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，连接BD，且BD=AB.若∠ABC=130°，∠C=30°，则∠A的度数为(    )A.20°B.25°C.30°D.40°6.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A<∠B，且∠A≠30°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点P在△ABC的其他边上，则可以画出不同的点P的个数为(    )A.4B.5C.6D.7第17页共17页\n1.如图，AD是△ABC的角平分线，点E是AB边上一点，AE=AC，EF//BC，交AC于点F．以下结论：①∠ADE=∠ADC；②△CDE是等腰三角形；③CE平分∠DEF；④AD垂直平分CE；⑤AD=CE．其中结论正确的是(    )A.①②⑤B.①②③④C.②④⑤D.①③④⑤2.“对顶角相等”的逆命题是(    )A.如果两个角是对顶角，那么这两个角相等B.如果两个角相等，那么这两个角是对顶角C.如果两个角不是对顶角，那么这两个角不相等D.如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角3.已知命题：如果a=b，那么|a|=|b|，则该命题的逆命题是(    )A.如果a=b，那么|a|=|b|B.如果|a|=|b|，那么a=bC.如果a≠b，那么|a|≠|b|D.如果|a|≠|b|，那么a≠b4.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，BC的垂直平分线交AC于点D，并交BC于点E，若ED=3，则AC的长为(    )A.33B.3C.6D.95.下列条件：①∠A：∠B：∠C=1：2：3；②AB=41，BC=4，AC=5；③∠A=90°−∠B；④∠A+∠B=∠C.其中能判定△ABC是直角三角形的有(    )A.4个B.3个C.2个D.1个6.下列命题是假命题的是(    )A.两条直角边分别相等的两个直角三角形全等B.斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等C.两个锐角分别相等的两个直角三角形全等D.一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等第17页共17页\n第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共12分）1.如图所示，在△ABC中，AB=3，AC=4，EF垂直平分BC，交AC于点D，交BC于点G，点P为直线EF上一动点，则△ABP周长的最小值是______．2.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，则∠C=________．3.已知a、b、c是一个三角形的三边长，如果满足(a−3)2+b−4+|c−5|=0，则这个三角形的形状是______．4.如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，AC=10，BC=24，分别以它的三边为直径作三个半圆，则阴影部分面积为______．三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）5.作出△ABC关于直线l对称的轴对称图形．第17页共17页\n1.已知a，b，c是等腰△ABC的三条边，若a，b满足|a−7|+(b−1)2=0，求△ABC的周长．2.已知a，b，c是△ABC的三边，且a=4，b=6，若三角形的周长是小于18的偶数：(1)求边c的长；(2)判断△ABC的形状．3.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，延长BC到点D，使得CD=CA，连接AD，若∠D=25°，求∠BAC的度数．4.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE//BC交AB于点E，AB=5，AE=2，求ED长度．5.如图，已知在△ABC中，AB=AC，BP、CQ是△ABC两腰上的高，BP与CQ交于点O.求证：△BCO是等腰三角形．第17页共17页\n1.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F．(1)若∠CAD=36°，求∠AEF的度数；(2)试说明：∠AEF=∠AFE．2.如图，在四边形ABCD中，已知AB=3，AD=4，BC=5，CD=52，∠A=90°.求∠BCD的度数．3.如图，已知矩形ABCD，AC为对角线，AD>AB．(1)用尺规完成以下基本作图：作线段AC的垂直平分线EF.分别交线段BC、AC、AD于点E、O、F.(保留作图痕迹，不写作法和结论)(2)连接AE，若∠ACB=30°，求证：△ABE≌△COE.请补全以下证明过程．证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠B=______度．∵直线EF是线段AC的垂直平分线，∴______，CO=12AC，∠COE=90°．∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=30°，∴______．∴AB=CO．在Rt△ABE第17页共17页\n和Rt△COE中，AE=CE(ㅤㅤ)，∴Rt△ABE≌Rt△COE．第17页共17页\n答案和解析1.【答案】C 【解析】解：选项A、B、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故选：C．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2.【答案】C 【解析】解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．故选：C．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3.【答案】D 【解析】【分析】本题考查了三角形的分类，根据等腰三角形的定义可求解．【解答】解：一个三角形中有两条边相等，则这个三角形是等腰三角形．故选：D．  第17页共17页\n4.【答案】C 【解析】由题意得：a−b=0且b−c=0，所以a=b=c，则△ABC是等边三角形5.【答案】D 【解析】解：∵AB=CD，BD=AB，∴BD=CD，∴∠DBC=∠C=30°，∵∠ABC=130°，∴∠ABD=100°，∵AB=BD，∴∠A=∠ADB=12×(180°−100°)=40°，故选：D．根据等腰三角形的性质即可得到结论．本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．6.【答案】C 【解析】解：如图：故选：C．①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点P，△BCP就是等腰三角形；②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点P，△ACP就是等腰三角形；第17页共17页\n③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点P，△BCP就是等腰三角形；④以C为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点P，△BCP就是等腰三角形；⑤作AB的垂直平分线交AC于P，则△APB是等腰三角形；⑥作BC的垂直平分线交AB于P，则△BCP和△ACP是等腰三角形．本题考查了等腰三角形的判定的应用，主要考查学生的理解能力和动手操作能力．7.【答案】B 【解析】解：①∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD=∠CAD，在△AED和△ACD中，AE=AC∠EAD=∠CADAD=AD，∴△AED≌△ACD，∴∠ADE=∠ADC故①正确；②∵△AED≌△ACD，∴ED=DC，∴△CDE是等腰三角形；故②正确；③∵DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，∵EF//BC，∴∠DCE=∠CEF，∴∠DEC=∠CEF，∴CE平分∠DEF，故③正确；④∵DE=DC，∴点D在线段EC的垂直平分线上，∵AE=AC，∴点A在线段EC的垂直平分线上，∴AD垂直平分CE．故④正确；第17页共17页\n⑤由于无法判断AD和CE的大小，，故⑤不正确；故选：B．根据三角形全等和等腰三角形的判定、垂直平分线的判定进行依次判定即可．此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质以及平行线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．8.【答案】B 【解析】解：命题“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么它们是对顶角”，故选：B．把命题的题设和结论互换即可得到逆命题．本题考查了逆命题．9.【答案】B 【解析】略10.【答案】D 【解析】解：∵DE是线段BC的垂直平分线，∴DC=DB，DE⊥BC，∵∠C=30°，∴BD=DC=2DE=3，∴∠DBC=∠C=30°，在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，∴∠ABC=60°，∴∠ABD=60°−30°=30°，∴AD=12BD=3，∴AC=DC+AD=9，故选：D．根据线段垂直平分线的性质得到DC=DB，DE⊥BC，求出BD=DC=2DE=3，根据直角三角形的性质计算即可．第17页共17页\n本题考查的是直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．11.【答案】A 【解析】解：①∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，∴∠C=31+2+3×180°=90°，∴能判定△ABC是直角三角形；②∵42+52=(41)2，∵BC2+AC2=AB2，∴能判定△ABC是直角三角形；③∵∠A=90°−∠B，∴∠A+∠B=90°，∴∠C=180°−(∠A+∠B)=90°，∴能判定△ABC是直角三角形；④∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=90°，∴能判定△ABC是直角三角形；综上所述，能判定△ABC是直角三角形的有4个．故选：A．由直角三角形的定义，只要验证最大角是否是90°；由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．也考查了三角形内角和定理．12.【答案】C 【解析】【分析】本题考查的是直角三角形的判定．根据直角三角形全等的判定定理判断即可．【解答】解：A、两条直角边分别相等的两个直角三角形全等，本选项说法是真命题，不符合题意；B、斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等，本选项说法是真命题，不符合题意；C、两个锐角分别相等的两个直角三角形不一定全等，故本选项说法是假命题，符合题意；D、一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等，本选项说法是真命题，不符合题意．  13.【答案】7 第17页共17页\n【解析】解：连接PC，如下图，∵EF垂直平分BC，∴B、C关于EF对称，∴PB=PC，∴AP+BP=AP+CP≥AC，当P和D重合时，AP+BP=AC的值最小，∴△ABP周长的最小值是AC+AB=4+3=7．故答案为：7．根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点E重合时，AP+BP的最小值，求出AC长度即可得到结论．本题考查了勾股定理，轴对称−最短路线问题的应用，线段垂直平分线的性质，解此题的关键是找出P的位置．14.【答案】40° 【解析】【分析】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，等边对等角的性质，熟记性质是解题的关键．根据等腰三角形两底角相等求出∠B，根据等边对等角可得∠C=∠CAD，然后利用三角形的内角和定理列式进行计算即可得解．【解答】解：∵AB=AD，∠BAD=20°，∴∠B=12(180°−∠BAD)=12(180°−20°)=80°，∵AD=DC，∴∠C=∠CAD，在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°，即20°+∠C+∠C+80°=180°，解得∠C=40°．故答案为40°．  第17页共17页\n15.【答案】直角三角形 【解析】解：∵(a−3)2+b−4+|c−5|=0，(a−3)2≥0，b−4≥0，|c−5|≥0，∴a−3=0，b−4=0，c−5=0，解得：a=3，b=4，c=5，∵32+42=9+16=25=52，∴这个三角形的形状是直角三角形．故答案为：直角三角形．首先根据绝对值，平方数与算术平方根的非负性，求出a，b，c的值，再根据勾股定理的逆定理判断其形状是直角三角形．本题主要考查了非负数的性质与勾股定理的逆定理，此类题目在考试中经常出现，是考试的重点．16.【答案】120 【解析】解：∵∠ACB=90°.AC=10，BC=24，∴AB=AC2+BC2=102+242=26，∴S阴影=12π×(AC2)2+12π×(BC2)2+12×BC×AC−12π×(AB2)2=12π×(102)2+12π×(242)2+12×24×10−12π(262)2=120，故答案为：120．根据勾股定理求出AB，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可．本题考查的是勾股定理，掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2是解题的关键．17.【答案】解：如图所示．△AB'C'即为所求． 第17页共17页\n【解析】作出点B、C关于直线l的对称点，再与点A首尾顺次连接即可．本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质．18.【答案】解：由题意知：a−7=0，b−1=0，解得a=7，b=1，∴6<c<8，又∵△ABC为等腰三角形，∴c=7，∴△ABC的周长=7+7+1=15． 【解析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c的取值范围，再根据△ABC为等腰三角形求出c的值，再计算△ABC的周长即可求解．本题考查三角形三边关系，非负数的性质：偶次方，等腰三角形的概念，解题的关键是明确题意，明确三角形三边的关系．19.【答案】解：(1)∵a，b，c是△ABC的三边，a=4，b=6，∴2<c<10，∵三角形的周长是小于18的偶数，∴2<c<8，∴c=4或6；(2)当c=6时，b=c，△ABC为等腰三角形； 当c=4时，a=c，△ABC为等腰三角形． 综上，△ABC是等腰三角形． 【解析】此题主要考查了等腰三角形的概念和三角形三边关系，得出c的取值范围是解题关键．(1)利用三角形三边关系进而得出c的取值范围，进而得出答案；(2)利用等腰三角形的定义可以判断△ABC的形状．20.【答案】解：∵CD=CA，∠D=25°，∴∠BCA=2∠D=50°，第17页共17页\n∵AB=AC，∴∠B=∠BCA=50°，∴∠BAC=180°−∠B−∠C=80°． 【解析】两次利用等边对等角求得∠B=∠BCA=50°，然后利用三角形的内角和求得答案即可．考查了等腰三角形的性质，解题的关键是了解“等边对等角”，难度不大．21.【答案】解：∵AB=5，AE=2，∴BE=5−2=3，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠CBD，∵DE//BC，∴∠EDB=∠CBD，∴∠EDB=∠EBD，∴ED=BE=3． 【解析】先根据线段的和与差得BE的长，由角平分线和平行线的性质得：∠EDB=∠EBD，从而得结论．本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形的角平分线等知识点的理解和掌握，能得出DE=BE是解此题的关键．22.【答案】证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵BP、CQ是△ABC两腰上的高，∴∠BQC=∠CPB=90°，∵∠OBC=90°−∠ACB，∠OCB=90°−∠ABC，∴∠OBC=∠OCB，∴OB=OC，∴△BCO为等腰三角形． 【解析】由题意可求得∠ABC=∠ACB，再由高得∠BQC=∠CPB=90°，从而可求得∠OBC=∠OCB，即有OB=OC，从而得证△BCO是等腰三角形．第17页共17页\n本题主要考查等腰三角形的判定，等腰三角形的性质，解答的关键是结合图形分析清楚角之间的关系．23.【答案】(1)解：∵AD⊥BC，∴∠ABD+∠BAD=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAD=90°，∴∠ABD=∠CAD=36°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=12∠ABC=18°，∴∠AEF=90°−∠ABE=72°；(2)证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∵∠ABE+∠AEF=90°，∠CBE+∠BFD=90°，∴∠AEF=∠BFD，∵∠AFE=∠BFD，∴∠AEF=∠AFE． 【解析】(1)根据条件的余角相等得到∠ABD=∠CAD=36°，根据角平分线的性质求出∠ABE，根据直角三角形的性质计算即可；(2)根据角平分线的性质、直角三角形的性质证明结论．本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．24.【答案】解：连接BD，∵AB=3，AD=4，∠A=90°，∴BD=AD2+AB2=42+32=5，又∵BC=5，CD=52，∴BD2+BC2=52+52=50=(52)2=CD2，∴△DBC是直角三角形，∠DBC=90°，∵BC=BD，∴∠BDC=∠BCD，又∵∠BDC+∠BCD=90°，∴∠BDC=∠BCD=45°，∴∠BCD的度数是45°． 第17页共17页\n【解析】根据AB=3，AD=4，∠A=90°，可以得到BD的长，再根据BC=5，CD=52，利用勾股定理的逆定理可以判断出△DBC的形状，然后根据当腰三角形的性质，即可得到∠BCD的度数．本题考查勾股定理的逆定理，会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状是解答本题的关键．25.【答案】90 EA=EC AB=12AC 【解析】(1)解：如图，EF为所作；(2)证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠B=90度．∵直线EF是线段AC的垂直平分线，∴EA=EC，CO=12AC，∠COE=90°．在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=30°，∴AB=12AC，∴AB=CO，在Rt△ABE和Rt△COE中，AE=CEAB=CO，∴Rt△ABE≌Rt△COE(HL)．故答案为：90；EA=EC，AB=12AC，AB=CO．(1)利用基本作图作AC的垂直平分线即可；(2)先根据矩形的性质得到∠B=90度．再根据线段垂直平分线的性质得到EA=EC，CO=12AC，∠COE=90°.接着根据含30度角的直角三角形三边的关系证明AB=CO，然后根据“HL”可判断Rt△ABE≌Rt△COE．本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定与性质和线段垂直平分线的性质第17页共17页