27.2.1相似三角形的判定第4课时两角分别相等的两个三角形相似学习目标：1.探索两角分别相等的两个三角形相似的判定定理.2.掌握利用两角来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算.(重点、难点)3.掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行相关计算.自主学习一、知识链接学校举办活动，需要三个内角分别为90°，60°，30°的形状相同、大小不同的三角纸板若干.小明手上的测量工具只有一个量角器，他该怎么做呢？合作探究一、要点探究探究点1：两角分别相等的两个三角形相似操作与同伴合作，一人画△ABC，另一人画△A′B′C′，使∠A=∠A′=40°，∠B=∠B′=55°，探究下列问题：,问题1度量AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′的长，并计算出它们的比值.你有什么发现？问题2试证明：△ABC∽△A′B′C′.证明：在△A′B′C′的边A′B′（或A′B′的延长线）上，截取A′D=AB，过点D作DE//B′C′，交A′C′于点E，【补全证明过程】【要点归纳】由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理：两角分别相等的两个三角形相似.符号语言：∵∠A=∠A'，∠B=∠B'，∴△ABC∽△A'B'C'.【典例精析】例1如图，在△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80°，∠F=60°．求,证：△ABC∽△DEF.【针对训练】如图，在△ABC和△A'B'C'中，若∠A=50°，∠B=75°，∠A'=50°，当∠C'=时，△ABC∽△A'B'C'.例2如图，弦AB和CD相交于⊙O内一点P，求证：PA·PB=PC·PD.证明：连接AC，DB.∵∠A和∠D都是弧CB所对的圆周角，∴∠A=_____，同理∠C=_______，∴△PAC∽△PDB，∴，即PA·PB=PC·PD.【针对训练】如图，⊙O的弦AB，CD交于点P，若PA=3，PB=8，PC=4，则PD=.【分析】此图中，没有完整的三角形出现，根据题目给的四条边，可以知道，它们属于,△BCP和△ADP因此连接AD、BC，根据圆周角的性质得到解题所需角度，进而求解探究点2：判定两个直角三角形相似例3如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8.E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB，垂足为D.求AD的长.【要点归纳】由此得到一个判定直角三角形相似的方法：有一个锐角相等的两个直角三角形相似.思考对于两个直角三角形，我们还可以用“HL”判定它们全等.那么，满足斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似吗？ABAC证明如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=90°，∠C′=90°，.ABAC求证：Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.【要点归纳】由此得到另一个判定直角三角形相似的方法：斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.,例4如图，∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，CD=2，当AB的长为时，△ACB与△ADC相似．【分析】观察得到AB和AC分别是斜边，但两条直角边的对应关系并没有确定，因此需要分类讨论【针对训练】在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似.(1)∠A=35°，∠B′=55°：；(2)AC=3，BC=4，A′C′=6，B′C′=8：；(3)AB=10，AC=8，A′B′=25，B′C′=15：.二、课堂小结当堂检测1.如图，已知AB∥DE，∠AFC＝∠E，则图中相似三角形共有()A.1对B.2对C.3对D.4对第1题图第2题图第3题图第4题图,2.如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD:DE=3:5，AE=8，BD=4，则DC的长等于()15122017A.B.C.D.45343.如图，点D在AB上，当∠＝∠(或∠=∠)时，△ACD∽△ABC；4.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D.若AB=6，AD=2，则BD=，AC=，BC=.5.如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC.AFEF6.如图，△ABC的高AD，BE交于点F．求证：.BFDF7.如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．参考答案,合作探究一、要点探究探究点1：两角分别相等的两个三角形相似问题2解：则有△A′DE∽△A′B′C′，∠A′DE=∠B′.∵∠B=∠B′，∴∠A′DE=∠B.又∵A′D=AB，∠A=∠A′，∴△A′DE≌△ABC（ASA），∴△ABC∽△A′B′C′.【典例精析】例1证明：∵在△ABC中，∠A=40°，∠B=80°，∴∠C=180°－∠A－∠B=60°.∵在△DEF中，∠E=80°，∠F=60°.∴∠B=∠E，∠C=∠F.∴△ABC∽△DEF.【针对训练】55°PAPC例2∠D∠BPDPB【针对训练】6探究点2：判定两个直角三角形相似例3解：∵ED⊥AB，∴∠EDA=90°.又∠C=90°，∠A=∠A，∴△AED∽△ABC.ADAEACAE85∴.∴AD4.ACABAB10ABAC证明证明：设=k，则AB=kA′B′，AC=kA′C′.ABAC2222由勾股定理，得BCABAC，BCABAC.222222BCABACkABkACkBC∴kBCBCBCBC∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.例43或32解析：∵∠ADC=90°，AD=2，CD=2，2222∴ACADCD226.要使这两个直角三角形相似，有两种情况：(1)当Rt△ABC∽Rt△ACD时，有AC:AD＝AB:AC，即6:2=AB:6，解得AB=3；,(2)当Rt△ACB∽Rt△CDA时，有AC:CD＝AB:AC，即6:2=AB:6，解得AB=32．∴当AB的长为3或32时，这两个直角三角形相似．【针对训练】(1)相似(2)相似(3)相似当堂检测1.C2.A3.ACDBADCACB4.42181225.证明:∵DE∥BC，EF∥AB，∴∠AED＝∠C，∠A＝∠FEC.∴△ADE∽△EFC.6.证明：∵△ABC的高AD、BE交于点F，∴∠FEA=∠FDB=90°，∠AFE=∠BFD(对顶角相等).AFEF∴△FEA∽△FDB，∴.BFDF7.证明：∵∠BAC=∠1+∠DAC，∠DAE=∠3+∠DAC，∠1=∠3，∴∠BAC=∠DAE.∵∠C=180°－∠2－∠DOC，∠E=180°－∠3－∠AOE，∠DOC=∠AOE（对顶角相等），∴∠C=∠E.∴△ABC∽△ADE.