21.2解一元二次方程21.2.1配方法一、教学目标【知识与技能】了解配方的概念，能够熟练地利用配方法解一元二次方程及解决有关问题。【过程与方法】理解通过变形运用开平方法解一元二次方程的方法，进一步体会降次的数学思想方法.【情感态度与价值观】在学生合作交流过程中，进一步增强合作交流意识，培养探究精神，增强数学学习的乐趣.二、课型新授课三、课时第2课时，共2课时。四、教学重难点【教学重点】用配方法解一元二次方程.【教学难点】用配方法解一元二次方程的方法和技巧.五、课前准备课件\n六、教学过程（一）导入新课要使一块矩形场地的长比宽多6米，并且面积为16平方米，求场地的长和宽应各是多少？（出示课件2）教师展示以下问题，学生思考。如果设这个长方形场地的宽为xm，则长为，由题意可列出的方程为，化为一般式，得，怎样解这个方程？能不能用直接开平方法？（二）探索新知让学生阅读第6~7页探究内容，思考并回答如下问题：（出示课件4）1.用直接开平方法解下列方程:(1)9x2=1；(2)(x-2)2=2.2.下列方程能用直接开平方法来解吗?(1)x2+6x+9=5；(2)x2+6x+4=0.教师总结：把两题转化成(x+n)2=p(p≥0)的形式，再利用开平方来解.出示课件5：填一填下列完全平方公式.(1)a2+2ab+b2=()2；(2)a2-2ab+b2=()2.出示课件6：填一填\n教师问：你发现了什么规律？学生答：⑴二次项系数都为1.⑵配方时,等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方.出示课件7：怎样解方程:x2+6x+4=0（1）（1）方程(1)怎样变成（x+n)2=p的形式呢？学生思考后，共同解答如下：教师强调：二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方.（2）为什么在方程x2+6x=-4的两边加上9？加其他数行吗？（出示课件8）学生思考后，教师加以提示：不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能变成完成平方x2+2bx+b2的形式.归纳总结：（出示课件9）像上面那样，通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法叫做配方法.\n配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解.例1解方程：（出示课件10）师生共同讨论解答如下：解：移项，得x2-8x＝-1配方，得x2-8x+4²=-1+4²，整理，得(x-4)2=15，由此可得出示课件11：解方程：x2+8x-4=0.学生自主思考并解答.解：移项，得x2+8x＝4配方，得x2+8x+4²=4+4²，整理，得(x+4)2=20，由此可得x+4=，x1＝，x2＝.例2解方程（1）（出示课件12）师生共同讨论解答如下：解：移项，得2x2－3x=－1,二次项系数化为1，得配方，得\n由此可得（2）（出示课件13）师生共同讨论解答如下：解：移项，得二次项系数化为1，得配方，得即因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根．教师问：用配方法解一元二次方程时，移项时要注意些什么？（出示课件14）学生答：移项时需注意改变符号.教师问：用配方法解一元二次方程的一般步骤.学生答：①移项，二次项系数化为1；②左边配成完全平方式；③左边写成完全平方形式；④降次；⑤解一次方程.根据解方程的过程及学生的回答，教师总结如下：（出示课件15）\n一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成（x+n）2=p.⑴当p>0时，则,方程的两个根为x1=-n-,x2=-n+;(2)当p=0时，则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两个根为x1=x2=-n;(3)当p<0时，则方程(x+n)2=p无实数根.出示课件16-19，选4名学生板演，师生共同完成后，老师仍要向学生强调方程无实数根的情况.例3试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5的值必定大于零.（出示课件20）师生共同讨论解答如下：解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1=（k－2）2＋1因为（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1.所以k2－4k＋5的值必定大于零.教师强调：证明代数式的值恒为正数,需要利用配方法将代数式化成几个非负数的和,利用非负数的性质说明代数式的值恒为正数.例4若a,b,c为△ABC的三边长，且试判断△ABC的形状.（出示课件21）师生共同讨论解答如下：解：对原式配方，得\n根据非负数的性质得由此可得即根据勾股定理的逆定理可知，△ABC为直角三角形.出示课件22，进行及时巩固.教师问：配方法的应用有哪些？（出示课件23）配方法的应用类别解题策略1.求最值或证明代数式的值恒为正（或负）对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2＋n的形式后，由于x无论取任何实数都有(x+m)2≥0，n为常数，当a＞0时，可知其有最小值；当a＜0时，可知其有最大值.2.完全平方式中的配方如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4.3.利用配方构成非负数和的形式对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是通过配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0,则a2＋(b－2)2=0,即a=0，b=2.（三）课堂练习（出示课件24-29）\n1.一元二次方程y2﹣y﹣=0配方后可化为（　　）A.(y+)2=1B.(y-)2=1C.(y+)2=D.(y-)2=2.解方程：4x2-8x-4=0.3.利用配方法证明：不论x取何值，代数式－x2－x－1的值总是负数，并求出它的最大值.4.若，求(xy)z的值.5.如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850m2，道路的宽应为多少？6.已知a,b,c为△ABC的三边长，且试判断△ABC的形状.参考答案：1.B2.解：移项，得4x2-8x=4，\n二次项系数化为1，得x2-2x=1，配方，得x2-2x+1=1+1,整理，得（x-1）2=2,3.：原式===4.解：对原式配方，得由非负数的性质可知5.解：设道路的宽为xm,根据题意得（35-x)(26-x)=850，整理得x2-61x+60=0.\n解得x1=60（不合题意，舍去）,x2=1.答：道路的宽为1m.6.解：对原式配方，得由代数式的性质可知所以，△ABC为等边三角形（四）课堂小结(1)你学会怎样解一元二次方程了吗？有哪些步骤？(2)通过今天的学习你了解了哪些数学思想方法？与同伴交流.（五）课前预习预习下节课（21.2.2）公式法的相关内容。七、课后作业配套练习册内容八、板书设计：\n特别提醒：在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式.九、教学反思：1.本节课，重在学生的自主参与，进而获得成功的体验，在数学方法上，仍要突出数学研究中转化的思想，激发学生产生合理的认识冲突，激发兴趣，建立自信心.2.在练习内容上，有所改进，加强了核心知识的理解与巩固，提高自己解决问题的能力，感受数学创造的乐趣，提高教学效果.3.用配方法解一元二次方程是学习解一元二次方程的基本方法，后面的求根公式是在配方法的基础上推出的，配方法在使用时与原来学习的完全平方式联系密切，用配方法解一元二次方程既是对原来知识的巩固，又是对后面学习内容的铺垫.在二次函数顶点坐标的求解中也同样使用的是配方法，因此配方法是一种基本的数学解题方法.