第十二章全等三角形12.3角的平分线的性质第2课时一、教学目标【知识与技能】掌握角平分线性质的逆定理,并能利用这些方法解决简单的数学问题和实际问题.【过程与方法】经历探究角平分线性质逆定理的过程,发展学生合情推理能力和演绎推理能力.【情感、态度与价值观】结合实际,创造丰富的情境,提高学生的学习兴趣,让他们在活动中获得成功的体验,培养学生的探索精神,树立学习的信心.二、课型新授课三、课时第2课时，共2课时。四、教学重难点【教学重点】角平分线性质和判定的应用.【教学难点】\n运用角平分线性质和判定证明及解决实际问题.五、课前准备教师：课件、三角尺、直尺、圆规等。学生：三角尺、直尺、圆规。六、教学过程（一）导入新课小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现,只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图,一把直尺压住射线OB,另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P,小明说:“射线OP就是∠BOA的角平分线.”他这样做的依据是什么?（出示课件2）（二）探索新知1、师生互动，探究角平分线的判定定理教师问1：如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺1∶20000)?（出示课件4）师生共同讨论得出答案：这个点应该在角的平分线.\n教师问2：刚才大家对上述问题进行了讨论，并且得出了做法，我们进而从做法中总结出了新的结论：到角的两边距离相等的点在角的平分线上.这个新结论正确吗？（出示课件5）师生讨论后认为需要证明.问题证明：已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D,E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的平分线上. 教师问3：你能证明上边的问题吗？学生小组讨论并回答：（出示课件7）证明：作射线OP，∵PD⊥OA，PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90°，在Rt△PDO和Rt△PEO中，OP=OP（公共边），PD=PE（已知），∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）.∴∠AOP=∠BOP（全等三角形的对应角相等）.∴点P在∠AOB的平分线上. \n教师讲解：由此我们又可以得到一个性质：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.总结点拨：（出示课件8）判定定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.应用所具备的条件：（1）位置关系：点在角的内部；（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.定理的作用：判断点是否在角平分线上.应用格式： ∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE.∴点P在∠AOB的平分线上. 教师问4：这个结论与角的平分线的性质在应用上有什么不同？学生讨论得出结论：叫的判定定理可以判定角的平分线，而角的平分线的性质可用来证明线段相等.教师问5：让我们回到刚上课时的问题：怎样找到集贸市场所在点?师生共同解答如下：1.这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500m处.（出示课件9）\n2.在纸上画图时，我们经常以厘米为单位，而题中距离是以米为单位，这就涉及一个单位换算问题.1m＝100cm，所以比例尺为1∶20000，其实就是图中1cm表示实际距离200m的意思.如图：第一步：尺规作图作出夹角的角平分线OC.第二步：在射线OC上截取OD＝2.5cm，确定D点，D点就是集贸市场所建地了.总结点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点. 教师总结：应用角平分线的性质，可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化.所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，我们可以直接利用性质解决问题.例1：如图,BE⊥AC,CF⊥AB,BE与CF交于点D,DE=DF,连接AD.求证:(1)∠FAD=∠EAD;(2)BD=CD.师生共同解答如下：证明：　(1)∵BE⊥AC,CF⊥AB,DE=DF,\n∴AD是∠BAC的平分线,∴∠FAD=∠EAD.(2)∵△ADF与△ADE是直角三角形,DE=DF,AD=AD,∴Rt△ADF≌Rt△ADE(HL),∴∠ADF=∠ADE,∵∠BDF=∠CDE,∴∠ADF+∠BDF=∠ADE+∠CDE,即∠ADB=∠ADC,在△ABD和△ACD中,∴△ABD≌△ACD(AAS),∴BD=CD.总结点拨：要证明一点在角平分线上，只要证明这点到角两边的距离相等即可.2.师生讨论，探究三角形内角平分线的性质教师问6：我们在学习三角形时，知道三角形的三条内角平分线有怎样的特征吗？学生回答：都在三角形的内部并且交于一点.教师问7：请同学分别画出锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的三条内角平分线,看是否交于一点呢？（出示课件11）学生做图后回答：三角形的三条角平分线相交于一点.\n教师问8：分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？学生测量后回答：过交点作三角形三边的垂线段相等.（出示课件12）教师问9：你能证明这个结论吗？ 师生共同解答如下：（出示课件13）已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P， 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F. ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上， ∴PD=PE.同理PE=PF. ∴PD=PE=PF. 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 教师问10：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？ 学生回答:点P在∠A的平分线上. 教师问11：如何证明呢？学生口答证明过程.结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. （出示课件14）\n总结点拨：（出示课件17）1.应用角平分线性质：存在角平分线条件涉及距离问题2.联系角平分线性质：距离面积S=ch 周长例2：如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为(　　)（出示课件18）师生共同解答如下：解析：由已知，O到三角形三边的距离相等，即三条角 平分线的交点，AO，BO，CO都是角平分线， 所以有∠CBO＝∠ABO＝∠ABC， ∠BCO＝∠ACO＝∠ACB， ∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，\n ∠OBC＋∠OCB＝70°， ∠BOC＝180°－70°＝110°. 故选A.总结点拨：（出示课件19）由已知，O到三角形三边的距离相等，得O是三角形三条内角平分线的交点，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．归纳总结：（出示课件20）角平分线的性质角的平分线的判定图形已知条件OP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEPD⊥OA于DPE⊥OB于E结论PD=PEOP平分∠AOB（三）课堂练习（出示课件23-27）1.如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN，OA，OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA，OB的距离相等，请确定该超市的位置P. \n2.如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由． 3.如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上． 4.如图，直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可选择的地址有几处?画出它的位置.参考答案：1.解答如下图：\n2.解：AD平分∠BAC．理由如下： ∵D到PE的距离与到PF的距离相等， ∴点D在∠EPF的平分线上．∴∠1＝∠2． 又∵PE∥AB， ∴∠1＝∠3． 同理，∠2＝∠4． ∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC． 3.证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M.∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE，FM⊥BC. ∴FG＝FM.又∵点F在∠CBD的平分线上，FH⊥AD，FM⊥BC， ∴FM＝FH，∴FG＝FH. ∴点F在∠DAE的平分线上.　4.答案如下图：\n（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:角的平分线的性质(2)性质：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.（五）课前预习预习下节课（13.1.1）的相关内容。1.知道轴对称图形、轴对称、对称轴、对称点的概念.2.了解轴对称的性质七、课后作业1、教材50页练习1,22、如图(1),已知AC∥BD,AE、BE分别平分∠CAB和∠DBA,CD过点E,则AB与AC+BD相等吗?请说明理由.   八、板书设计：\n九、教学反思：1.本节课的内容是角平分线的判定,有前面角的平分线的性质,这里的教学过程重点应通过学生作图理解判定中“角的内部”四个字的必要性,在角的外部有没有满足条件的点,引导学生从垂线的角度,点到线段、射线的距离方面加以理解.2.本教学设计本着以观察为起点，以问题为主线，以培养能力为核心的宗旨；遵照教师为主导，学生为主体，训练为主线的教学原则，情景引入，激发兴趣.