24.2点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2直线和圆的位置关系（第2课时）一、教学目标【知识与技能】能判定一条直线是否为一条切线，会过圆上一点作圆的切线.会运用切线的判定定理和性质定理解决问题。【过程与方法】经历切线的判定定理及性质定理的探究过程，养成学生既能自主探究，又能合作探究的良好学习习惯.【情感态度与价值观】体验切线在实际生活中的应用，感受数学就在我们身边，感受证明过程的严谨性及结论的正确性.二、课型新授课三、课时第2课时，共3课时。四、教学重难点【教学重点】切线的判定定理及性质定理的探究和运用.【教学难点】切线的判定定理和性质的应用.\n五、课前准备课件、图片、圆规、直尺等.六、教学过程（一）导入新课教师问：转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？（出示课件2）学生问：都是沿着圆的切线的方向飞出的．（二）探索新知探究一切线的判定方法教师问：如图，在⊙O中经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA,则圆心O到直线l的距离是多少？直线l和⊙O有什么位置关系?（出示课件4）学生答：这时圆心O到直线l的距离就是⊙O的半径．由d=r得到直线l是⊙O的切线．教师问：已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？（出示课件5）\n教师作图，学生观察并思考：（1）圆心O到直线AB的距离和圆的半径有什么数量关系?（2）二者位置有什么关系？为什么？出示课件6：教师归纳:切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.应用格式:∵OA为⊙O的半径，BC⊥OA于A，∴BC为⊙O的切线.教师问：下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？（出示课件7）学生观察交流后口答：(1)不是，因为没有垂直.(2),(3)不是，因为没有经过半径的外端点A.教师强调：在切线的判定定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.教师归纳：判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：（出示课件8）1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;\n2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.出示课件9：例1如图,∠ABC=45°，直线AB是☉O上的直径，且AB=AC.求证：AC是☉O的切线.教师分析：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可.师生共同解答：证明：∵AB=AC，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝∠ABC＝45°.∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=90°.∵AB是☉O的直径，∴AC是☉O的切线.巩固练习：（出示课件10）\n如图所示，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，∠BAD＝∠B＝30°，边BD交圆于点D.BD是⊙O的切线吗？为什么？学生独立思考后板演：解：BD是⊙O的切线．连接OD,∵OD＝OA，∠A＝30°，∴∠DOB＝60°.∵∠B＝30°，∴∠ODB＝90°.∴BD是⊙O的切线．出示课件11：例2已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.学生思考交流后师生共同解答.证明：连接OC(如图).∵OA＝OB,CA＝CB,∴OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.∴AB⊥OC.∵OC是⊙O的半径,\n∴AB是⊙O的切线.巩固练习：（出示课件12-13）如图,△ABC中，AB＝AC，O是BC的中点，⊙O与AB相切于E.求证：AC是⊙O的切线．教师分析：根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OF是⊙O的半径就可以了，而OE是⊙O的半径，因此只需要证明OF=OE.证明：连接OE，OA,过O作OF⊥AC.∵⊙O与AB相切于E，∴OE⊥AB.又∵△ABC中，AB＝AC，O是BC的中点．∴AO平分∠BAC，又OE⊥AB，OF⊥AC.∴OE＝OF.∵OE是⊙O半径，OF＝OE，OF⊥AC.∴AC是⊙O的切线．出示课件14：学生对比思考.1.如图，已知直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB\n求证：直线AB是⊙O的切线.学生答：连接OC.2.如图，OA＝OB=5，AB＝8,⊙O的直径为6.求证：直线AB是⊙O的切线.学生答：作垂直.教师归纳：（出示课件15）证切线时辅助线的添加方法：(1)有交点，连半径,证垂直;(2)无交点，作垂直,证半径.有切线时常用辅助线添加方法：见切点，连半径，得垂直.切线的其他重要结论：(1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；(2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.探究二切线的性质定理教师问：如图，如果直线l是⊙O的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？（出示课件16）\n学生思考后教师总结：切线性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．应用格式：∵直线l是⊙O的切线，A是切点.∴直线l⊥OA.出示课件17-18，教师引导学生进行证明.证法1：反证法.证明：假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD,垂足为M.则OM<OA,即圆心到直线CD的距离小于⊙O的半径,因此,CD与⊙O相交.这与已知条件“直线与⊙O相切”相矛盾.所以AB与CD垂直.证法2：构造法.作出小⊙O的同心圆大⊙O，CD切小⊙O于点A,且A点为CD的中点.连接OA,根据垂径定理，则CD⊥OA,即圆的切线垂直于经过切点的半径．\n教师总结：利用切线的性质解题时，常需连接辅助线，一般连接圆心与切点，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质解题.（出示课件19）出示课件20：例1如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O交于B、C两点，∠P＝30°，连接AO、AB、AC.(1)求证：△ACB≌△APO；(2)若AP＝，求⊙O的半径．教师分析：(1)根据已知条件我们易得∠CAB=∠PAO=90°，由∠P=30°可得出∠AOP=60°，则∠C=30°=∠P，即AC=AP；这样就凑齐了角边角，可证得△ACB≌△APO；(2)由已知条件可得△AOP为直角三角形，因此可以通过解直角三角形求出半径OA的长.师生共同解答：（出示课件21-22）(1)证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点，∴∠OAP＝90°.又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°，\n又∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形．∴AB＝AO，∠ABO＝60°.又∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.在△ACB和△APO中，∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABO＝∠AOB，∴△ACB≌△APO（ASA）.(2)解：在Rt△AOP中，∠P＝30°，AP=，∴AO＝1，∴CB＝OP＝2，∴OB＝1，即⊙O的半径为1.巩固练习：（出示课件23）如图所示，点A是⊙O外一点，OA交⊙O于点B，AC是⊙O的切线，切点是C，且∠A＝30°，BC＝1.求⊙O的半径．学生独立思考后自主解决.解：连接OC.∵AC是⊙O的切线，∴∠OCA＝90°.\n又∵∠A＝30°，∴∠COB＝60°，∴△OBC是等边三角形．∴OB＝BC＝1，即⊙O的半径为1.（三）课堂练习（出示课件24-33）1.如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF、CM．判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由.2.判断下列命题是否正确.（1）经过半径外端的直线是圆的切线.（）（2）垂直于半径的直线是圆的切线.（）（3）过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.（）（4）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.（）（5）过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线.（）3.如下图所示，A是☉O上一点，且AO=5,PO=13,AP=12,则PA与☉O的位置关系是.\n4.如图，在☉O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．45°5.如图,⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则⊙O的半径多少？6.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，PE⊥AC于E.求证:PE是⊙O的切线.7.如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M.求证：CD与⊙O相切．8.已知：△ABC内接于☉O，过点A作直线EF.\n（1）如图1，AB为直径，要使EF为☉O的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）：①_________；②_____________.（2）如图2，AB是非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：EF是☉O的切线.参考答案：1.解：CM与⊙O相切．理由如下：连接OC，如图，∵GD⊥AO于点D，∴∠G+∠GBD=90°，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵M点为GE的中点，∴MC=MG=ME，∴∠G=∠1，∵OB=OC，∴∠B=∠2，∴∠1+∠2=90°，∴∠OCM=90°，∴OC⊥CM，∴CM为⊙O的切线.2.⑴×⑵×⑶√⑷√⑸√3.相切4.C5.解：连接OB，则∠OBP=90°.\n设⊙O的半径为r,则OA=OB=r,OP=OA+PA=2+r.在Rt△OBP中，OB2+PB2=PO2，即r2+42=(2+r)2.解得r=3，即⊙O的半径为3.6.证明：连接OP.∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵OB=OP，∴∠B=∠OPB.∴∠OBP=∠C.∴OP∥AC.∵PE⊥AC，∴PE⊥OP.∴PE为⊙O的切线.7.证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，∵⊙O与BC相切于点M，\n∴OM⊥BC.又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点，∴OM＝ON，∴CD与⊙O相切．8.解：⑴①BA⊥EF；②∠CAE=∠B.证明：连接AO并延长交☉O于D,连接CD,则AD为☉O的直径.∴∠D+∠DAC=90°,∵∠D与∠B同对,∴∠D=∠B,又∵∠CAE=∠B,∴∠D=∠CAE,∴∠DAC+∠EAC=90°,∴EF是☉O的切线.（四）课堂小结本节课你学到了哪些数学知识和数学方法？请与同伴交流.（五）课前预习预习下节课（24.2.2第3课时）的相关内容.七、课后作业\n配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：本节课从常见的生活情况入手，引入切线的概念，能激发学生的求知欲，接着又得出切线的判定方法及过圆上一点作已知圆的切线，又从另一侧面利用反证法，证明了切线的性质定理，这样，既证明了定理又复习了反证法.