2.2二次函数的图象与性质第二章二次函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质九年级数学下（BS）教学课件 学习目标1.会画二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象.（难点）2.掌握二次函数y=ax2和y=ax2+c的性质并会应用.（重点）3.比较函数y=ax2与y=ax2+c的联系. 导入新课情境引入门禁反映了图形的平移，大家还记得平移的要点吗？羽毛球的运动轨迹可以用y=ax2的图象刻画,大家能回忆出二次函数y=x2的性质吗？如果二次函数y=ax2的图象与平移碰撞在一起,会擦出怎样的火花呢？让我们拭目以待吧！ 二次函数y=ax2的图象与性质一讲授新课合作探究画出函数的图象.列表.x···－1.5－1－0.500.511.5·········4.520.504.520.5 描点，连线.xyO－222464－48 观察思考问题1二次函数y=2x2的图象是什么形状？二次函数y=2x2的图象是一条抛物线，并且抛物线开口向上.问题2图象的对称轴是什么？y轴就是它的对称轴.xyO－222464－48 问题3图象的顶点坐标是什么？原点(0,0).问题4当x取何值时，y的值最小？最小值是什么？x=0时，ymin=0.xyO－222464－48当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大.问题5当x<0时，随着x值的增大，y值如何变化？当x>0时呢？ y＝ax2a>0a<0图象位置开口方向对称性顶点最值增减性开口向上,在x轴上方开口向下,在x轴下方关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0当x=0时，y最小值=0当x=0时，y最大值=0在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减要点归纳yOxyOx顶点坐标是原点（0，0） 3.函数y=x2的图象的开口,对称轴是,顶点是;顶点是抛物线的最____点.2.函数y=－3x2的图象的开口,对称轴是,顶点是_____顶点是抛物线的最____点1.函数y=4x2的图象的开口,对称轴是,顶点是;向上向下y轴y轴(0,0)(0,0)4.函数y=－0.2x2的图象的开口,对称轴是___,顶点是;向上y轴(0,0)向下y轴(0,0)高低练一练 5.关于二次函数y＝2x2，下列说法正确的是()A．它的开口方向是向下B．当x<0时，y随x的增大而减小C．它的对称轴是x＝2D．当x＝0时，y有最大值是0B 例1若点(x1,y1)，B(x2,y2)是二次函数y=-3x2图象上的两点，且x1＞x2＞0，那么y1与y2的大小关系是_____________.典例精析y2＞y1 例2已知是二次函数，且当x＞0时，y随x增大而增大，则k=.分析：是二次函数，即二次项的系数不为0，x的指数等于2.又因当x＞0时，y随x增大而增大,即说明二次项的系数大于0.因此，解得k=22 xyO－222464－48当a>0时，a的绝对值越大，开口越小.合作探究问题在同一直角坐标系中画出二次函数的图象如图，观察其开口大小与a的绝对值有什么关系？ xyO－22－2－4－64－4－8当a<0时，a的绝对值越大，开口越小.问题在同一直角坐标系中，画出函数的图象如图所示，观察其开口大小与a的绝对值有什么关系？ 要点归纳在二次函数y=ax2中，a的绝对值越大，开口越小. 把图中图象的号码，填在它的函数式后面：（填序号）（1）y=3x2的图象是_______；（2）y=x2的图象是_______；（3）y=-x2的图象是_______；（4）y=x2的图象是_______．针对训练③①④② 二次函数y=ax2+c的图象与性质二合作探究做一做：在同一直角坐标系中，画出二函数y=2x2+1与y=2x2-1的图象．解：先列表：x···－2－1.5－1011.52···y=2x2＋1······y=2x2－1······95.53135.5973.51－113.57再描点，连线 4xyO－22246－4810－2y=2x2＋1y=2x2－1问题：抛物线y=2x2+1,y=2x2-1与抛物线y=2x2有什么关系？可以发现，把抛物线y=2x2向平移1个单位长度，就得到抛物线；把抛物线y=2x2向平移1个单位长度，就得到抛物线y=2x2-1.下y=2x2+1上 二次函数y=ax2+c的图象可以由y=ax2的图象平移得到：当c>0时,向上平移c个单位长度得到.当c<0时,向下平移-c个单位长度得到.二次函数y=ax2与y=ax2+c（a≠0）的图象的关系上下平移规律：平方项不变，常数项上加下减.要点归纳 二次函数y＝－3x2＋1的图象是将()A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到练一练D 4xyO－22246－4810－2y=2x2＋1y=2x2－1问题抛物线y=2x2+1,y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？y=2x2y=2x2＋1y=2x2－1二次函数开口方向顶点坐标对称轴向上向上(0,1)(0,-1)y轴y轴向上(0,0)y轴合作探究 问题抛物线y=2x2+1,y=2x2-1的增减性又如何？4xyO－22246－4810－2y=2x2＋1y=2x2－1当x=0时，y最小值=0当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大. 二次函数y=ax2+c的性质y=ax2+ca＞0a＜0开口方向对称轴顶点坐标最值增减性要点归纳向上向下直线x=0直线x=0（0,c）当x=0时，y最小值=c当x=0时，y最大值=c当x＜0时，y随x的增大而减小；x＞0时，y随x的增大而增大.当x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大.（0,c） 想一想1.画抛物线y=ax2+c的图象有些方法？2.抛物线y=ax2+c中的a决定什么？c决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？第一种方法：平移法，两步即第一步画y=ax2的图象，再向上（或向下）平移︱c︱单位.第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线.a决定开口方向和大小；c决定顶点的纵坐标.对称轴为y轴；顶点坐标为(0,c). 例3：如图，抛物线y＝x2－4与x轴交于A、B两点，点P为抛物线上一点，且S△PAB＝4，求P点的坐标．解：抛物线y＝x2－4，令y＝0，得到x＝2或－2，即A点的坐标为(－2，0)，B点的坐标为(2，0)，∴AB＝4.∵S△PAB＝4，设P点纵坐标为b，∴×4|b|＝4，∴|b|＝2，即b＝2或－2.当b＝2时，x2－4＝2，解得x＝±，此时P点坐标为(，2)，(－，2)；当b＝－2时，x2－4＝－2，解得x＝±，此时P点坐标为(，2)，(－，2)． 当堂练习1.抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物线．2.填表：y=2x2－４函数开口方向顶点对称轴有最高（低）点y=３x2y=3x2＋1y=-4x2－5向上向上向下（0,0）(0,1)(0,-5)y轴y轴y轴有最低点有最低点有最高点 3.已知（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上，(-m,n)___（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上.4.若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k____；若顶点位于x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方，则k.在=2>2<2 5.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：（1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2.（2）函数y=-x2+1，当x时，y随x的增大而减小；当x时，函数y有最大值，最大值y是，其图象与y轴的交点坐标是，与x轴的交点坐标是.（3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标.向下平移1个单位.>0=01(0,1)(-1,0),(1,0)开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）. 6.在平面直角坐标系xOy中，函数y=2x2的图象经过点M（x1，y1），N（x2，y2）两点，若-4＜x1＜-2，0＜x2＜2，则y1与y2的大小关系是__________.y1＞y2 7.在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝ax2＋c的图象大致为()方法总结：熟记一次函数y＝kx＋b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质(开口方向、对称轴、顶点坐标等)是解决问题的关键．D 8.已知y=(m+1)x是二次函数,且其图象开口向上,求m的值和函数解析式m2+m解:依题意有:m+1>0①m2+m=2②解②得:m1=－2,m2=1由①得:m>－1∴m=1此时,二次函数为:y=2x2. 二次函数y=ax2+c（a≠0)的图象和性质图象性质与y=ax2的关系开口方向由a的符号决定；c决定顶点位置；对称轴是y轴.增减性结合开口方向和对称轴才能确定.平移规律：c正向上；c负向下.课堂小结